Hydromechanik und Wasserbau: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Hydrostatische Kraft

Druck in der Tiefe: p = ρgh
Kraft auf eine senkrechte Wand: F = ρg·h_c·A
Druckmittelpunkt: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rechteck: I_c = bH³/12

Kontinuität und Bernoulli

Kontinuität: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Volumenstrom: Q = A·v
Kreisfläche: A = πd²/4

Rohrreibung und Verlusthöhe

Reynolds-Zahl: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Strömungsform: laminar unter Re ≈ 2000, turbulent über Re ≈ 4000
Mittlere Geschwindigkeit: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Örtliche Verluste: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typische K-Werte: Einlauf 0,5, Auslauf 1,0, 90°-Krümmer ≈ 0,3
Druckverlust: Δp = ρ·g·h_f
Zwei offene Behälter: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Freier Auslauf: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pumpen und Pumpenleistung

Hydraulische Leistung: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Wellenleistung: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrische Leistung: P_el = P_shaft/η_motor
Förderhöhe: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Anlagenverluste: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Gerinneströmung (Manning)

Manning-Gleichung: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Volumenstrom: Q = A·V
Hydraulischer Radius: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rechteck: A = b·y, P = b + 2y
Trapez (Böschungsneigung z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Kreisrohr, voll oder halb gefüllt: R = D/4
Erforderliches Gefälle: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Übungsaufgaben

1.Hydrostatische KraftMittel

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 3 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.

d = 3 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Hydrostatische KraftSchwer

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 3 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Öl, seine Oberkante liegt 1 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.

d = 1 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Kontinuität und BernoulliMittel

Wasser fließt durch ein waagerechtes Rohr, das sich von 75 mm auf 25 mm verengt. Im weiten Abschnitt beträgt der Druck 160 kPa und die Geschwindigkeit 0,5 m/s. Bestimme ohne Verluste den Druck p₂ im engen Abschnitt.

d₁ = 75 mmd₂ = 25 mmp₁ = 160 kPav₁ = 0,5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Kontinuität und BernoulliSchwer

Wasser fließt aufwärts durch ein Rohr, das sich von 75 mm auf 40 mm verengt und dabei um 3 m ansteigt. In Querschnitt 1 beträgt der Druck 150 kPa und die Geschwindigkeit 3 m/s. Bestimme ohne Verluste den Druck p₂ in Querschnitt 2.

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 150 kPav₁ = 3 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Rohrreibung und VerlusthöheMittel

Wasser (ρ = 1000 kg/m³) fließt mit 1,2 m/s durch ein waagerechtes, 50 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 300 mm. Verwende die Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,018 und g = 9,81 m/s². Bestimme den Druckverlust Δp über das Rohr in kPa.

V = 1,2 m/sL = 50 mD = 300 mmf = 0,018ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Rohrreibung und VerlusthöheSchwer

Zwei offene Behälter sind durch ein 200 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 300 mm und einer Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,02 verbunden. Die örtlichen Verluste sind: ein scharfkantiger Einlauf (K = 0,5), 3 Krümmer (je K = 0,3), ein Ventil (K = 5) und der Auslauf in den unteren Behälter (K = 1,0). Verwende g = 9,81 m/s². Welcher Wasserspiegelunterschied Δz zwischen den Behältern ergibt einen Durchfluss von 100 L/s?

Q = 100 L/sL = 200 mD = 300 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pumpen und PumpenleistungMittel

Eine Pumpe mit einem Wirkungsgrad von 85 % fördert 50 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) gegen eine Förderhöhe von 18 m. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die benötigte Wellenleistung P_shaft in kW.

Q = 50 L/sH = 18 mη = 85%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Pumpen und PumpenleistungSchwer

Eine Pumpe fördert 120 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) aus einem offenen unteren Behälter in einen oberen Tank, dessen Wasserspiegel 5 m höher liegt. Die Rohrleitung ist 150 m lang, hat einen Innendurchmesser von 250 mm und eine Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,018; die Beiwerte der örtlichen Verluste ergeben zusammen ΣK = 8 (Einlauf und Auslauf eingeschlossen). Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Förderhöhe H, die die Pumpe aufbringen muss.

Q = 120 L/sΔz = 5 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,018ΣK = 8

H = m

9.Gerinneströmung (Manning)Mittel

Ein Trapezgerinne (glatter Beton) hat eine Sohlbreite von 6 m und eine Böschungsneigung von 1:1 (horizontal:vertikal). Wasser fließt gleichförmig 1,9 m tief. Manning n = 0,012, und das Sohlgefälle ist S = 0,001. Bestimme den Durchfluss Q in m³/s.

b = 6 my = 1,9 mz = 1n = 0,012S = 0,001

Q = m³/s

10.Gerinneströmung (Manning)Schwer

Ein 2,5 m breites Rechteckgerinne (sauberes Erdreich) soll bei gleichförmiger Strömung mit einer Tiefe von 1,6 m 3,2 m³/s abführen. Manning n = 0,022. Bestimme das erforderliche Sohlgefälle S (in m/m).

Q = 3,2 m³/sb = 2,5 my = 1,6 mn = 0,022

S = m/m

3Lösungen

1.Hydrostatische Kraft

Antwort: F = 78,48 kN

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·y_c·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

Resultierende Kraft

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4·2 = 78,48 kN

Antwort

F = 78,48 kN

2.Hydrostatische Kraft

Antwort: F = 67,98 kN

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·y_c·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

y_c = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Resultierende Kraft

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·1,75·4,5 = 67,98 kN

Antwort

F = 67,98 kN

3.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: p₂ = 150 kPa

Kontinuität und Bernoulli: Bei einem inkompressiblen Fluid ist der Volumenstrom in jedem Querschnitt gleich, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Entlang einer Stromlinie ohne Verluste ist p + ½ρv² + ρgz konstant, daher ist der Druck dort niedriger, wo das Fluid schneller oder höher ist.

Kontinuität und Bernoulli

Rechne in Pa und teile dann durch 1000, um kPa zu erhalten.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,5·(75/25)² = 4,5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,5² − 4,5²)/1000 = −10 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 160 + (−10) = 150 kPa

Antwort

p₂ = 150 kPa

4.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: p₂ = 69,45 kPa

Kontinuität und Bernoulli

Rechne in Pa und teile dann durch 1000, um kPa zu erhalten.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 3·(75/40)² = 10,55 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(3² − 10,55²)/1000 = −51,12 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·3/1000 = 29,43 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 150 + (−51,12) − 29,43 = 69,45 kPa

Antwort

p₂ = 69,45 kPa

5.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: Δp = 2,16 kPa

Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste h_m = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = h_f + h_m, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.

Verlusthöhe

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(50/0,3)·1,2²/(2·9,81) = 0,2202 m

Druckverlust

Das Rohr ist waagerecht und die Geschwindigkeit ändert sich nicht, daher reduziert sich die Energiegleichung auf Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·0,2202 = 2160 Pa = 2,16 kPa

Antwort

Δp = 2,16 kPa

6.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: Δz = 2,115 m

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,1/0,07069 = 1,415 m/s

V²/(2g) = 0,102 m

Verlustbeiwerte

f·L/D = 0,02·200/0,3 = 13,33

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 + 1,0 = 7,4

Gesamte Verlusthöhe

h_f = 13,33·0,102 = 1,36 m

h_m = 7,4·0,102 = 0,7549 m

Δz = h_f + h_m = 2,115 m

Antwort

Δz = 2,115 m

7.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: P_shaft = 10,39 kW

Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: P_shaft = P_h/η_pump, und der Motor nimmt P_el = P_shaft/η_motor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.

Hydraulische Leistung

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·18 = 8,829 kW

Wellenleistung

P_shaft = P_h/η = 8,829/0,85 = 10,39 kW

Antwort

P_shaft = 10,39 kW

8.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: H = 10,73 m

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Verlusthöhen

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (10,8 + 8)·0,3046 = 5,726 m

Förderhöhe

Beide Wasserspiegel sind offen und praktisch in Ruhe, daher entfallen Druck- und Geschwindigkeitsterme.

H = Δz + h_L = 5 + 5,726 = 10,73 m

Antwort

H = 10,73 m

9.Gerinneströmung (Manning)

Antwort: Q = 47,59 m³/s

Manning-Gleichung (SI): Für gleichförmige Strömung in einem offenen Gerinne gilt V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 und Q = A·V, mit dem Rauheitsbeiwert n, dem Sohlgefälle S (m/m) und dem hydraulischen Radius R = A/P: Fließquerschnitt geteilt durch benetzten Umfang. In P zählt nur der Rand, der mit dem Wasser in Berührung ist, nicht der Wasserspiegel. Rechteck: A = b·y, P = b + 2y. Trapez mit Böschungsneigung z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Ein voll oder halb gefülltes Kreisrohr hat R = D/4.

Geometrie

A = (b + z·y)·y = (6 + 1·1,9)·1,9 = 15,01 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·1,9·√(1 + 1²) = 11,37 m

R = A/P = 1,32 m

Geschwindigkeit

V = (1/0,012)·1,32^2/3·0,001^1/2 = 3,171 m/s

Volumenstrom

Q = A·V = 15,01·3,171 = 47,59 m³/s

Antwort

Q = 47,59 m³/s

10.Gerinneströmung (Manning)

Antwort: S = 0,0004967 m/m

Geometrie

A = b·y = 2,5·1,6 = 4 m²

P = b + 2y = 2,5 + 2·1,6 = 5,7 m

R = A/P = 0,7018 m

Manning nach S auflösen

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·3,2/(4·0,7897) = 0,02229

S = 0,02229² = 0,0004967

Antwort

S = 0,0004967

Das ist ein Gefälle von 0,4967 m pro Kilometer.

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