Hydrostatische Kraft
- Druck in der Tiefe
- p = ρgh
- Kraft auf eine senkrechte Wand
- F = ρg·hc·A
- Druckmittelpunkt
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rechteck
- Ic = bH³/12
Hydromechanik und Wasserbau: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Kontinuität und Bernoulli
- Kontinuität
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Volumenstrom
- Q = A·v
- Kreisfläche
- A = πd²/4
Rohrreibung und Verlusthöhe
- Reynolds-Zahl
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Strömungsform
- laminar unter Re ≈ 2000, turbulent über Re ≈ 4000
- Mittlere Geschwindigkeit
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Örtliche Verluste
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Typische K-Werte
- Einlauf 0,5, Auslauf 1,0, 90°-Krümmer ≈ 0,3
- Druckverlust
- Δp = ρ·g·hf
- Zwei offene Behälter
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Freier Auslauf
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pumpen und Pumpenleistung
- Hydraulische Leistung
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Wellenleistung
- Pshaft = Ph/ηpump
- Elektrische Leistung
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Förderhöhe
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Anlagenverluste
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Gerinneströmung (Manning)
- Manning-Gleichung
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Volumenstrom
- Q = A·V
- Hydraulischer Radius
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Rechteck
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapez (Böschungsneigung z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Kreisrohr, voll oder halb gefüllt
- R = D/4
- Erforderliches Gefälle
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Übungsaufgaben
1.Hydrostatische KraftMittel
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 1 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.
d = 1 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Hydrostatische KraftSchwer
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 3 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Glycerin, seine Oberkante liegt 0,5 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.
d = 0,5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Kontinuität und BernoulliMittel
Wasser strömt durch ein waagerechtes Venturi-Rohr mit 100 mm Eintrittsdurchmesser und 50 mm Engstellendurchmesser. Der Druck am Eintritt ist 34 kPa höher als in der Engstelle. Bestimme unter Vernachlässigung von Verlusten den Volumenstrom Q.
d1 = 100 mmd2 = 50 mmp1 − p2 = 34 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Kontinuität und BernoulliSchwer
Ein Schlauch mit 25 mm Innendurchmesser saugt als Saugheber Wasser aus einem offenen Behälter. Der höchste Punkt C des Schlauchs liegt 3 m über dem Wasserspiegel, und der Auslass (zur Luft hin offen) liegt 3,5 m unter dem Wasserspiegel. Vernachlässige Verluste und nimm g = 9,81 m/s². Bestimme den absoluten Druck pC im Punkt C. Der Atmosphärendruck beträgt 101,3 kPa.
d = 25 mmzC = +3 mz2 = −3,5 mg = 9,81 m/s²patm = 101,3 kPa
pC = kPa
5.Rohrreibung und VerlusthöheMittel
Wasser (ρ = 1000 kg/m³) fließt mit 3 m/s durch ein waagerechtes, 100 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 75 mm. Verwende die Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,015 und g = 9,81 m/s². Bestimme den Druckverlust Δp über das Rohr in kPa.
V = 3 m/sL = 100 mD = 75 mmf = 0,015ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Rohrreibung und VerlusthöheSchwer
Zwei offene Behälter sind durch ein 100 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 100 mm und einer Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,015 verbunden. Die örtlichen Verluste sind: ein scharfkantiger Einlauf (K = 0,5), 4 Krümmer (je K = 0,3), ein Ventil (K = 10) und der Auslauf in den unteren Behälter (K = 1,0). Verwende g = 9,81 m/s². Welcher Wasserspiegelunterschied Δz zwischen den Behältern ergibt einen Durchfluss von 15 L/s?
Q = 15 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Δz = m
7.Pumpen und PumpenleistungMittel
In einem Versuch fördert eine Pumpe 15 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) gegen eine Förderhöhe von 18 m, während ihre Welle 3,8 kW aufnimmt. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme den Pumpenwirkungsgrad η in Prozent.
Q = 15 L/sH = 18 mPshaft = 3,8 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pumpen und PumpenleistungSchwer
Eine Pumpe fördert 120 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) aus einem offenen unteren Behälter in einen oberen Tank, dessen Wasserspiegel 12 m höher liegt. Die Rohrleitung ist 500 m lang, hat einen Innendurchmesser von 250 mm und eine Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,018; die Beiwerte der örtlichen Verluste ergeben zusammen ΣK = 6 (Einlauf und Auslauf eingeschlossen). Verwende g = 9,81 m/s². Der Pumpenwirkungsgrad beträgt 80 %. Bestimme die Wellenleistung Pshaft in kW.
Q = 120 L/sΔz = 12 mL = 500 mD = 250 mmf = 0,018ΣK = 6η = 80%
Pshaft = kW
9.Gerinneströmung (Manning)Mittel
Ein Trapezgerinne (sauberes Erdreich) hat eine Sohlbreite von 1,5 m und eine Böschungsneigung von 3:1 (horizontal:vertikal). Wasser fließt gleichförmig 1 m tief. Manning n = 0,022, und das Sohlgefälle ist S = 0,001. Bestimme den Durchfluss Q in m³/s.
b = 1,5 my = 1 mz = 3n = 0,022S = 0,001
Q = m³/s
10.Gerinneströmung (Manning)Schwer
Ein Betonkanal mit einem Innendurchmesser von 600 mm (Manning n = 0,013) muss bei gerade voller Füllung eine Selbstreinigungsgeschwindigkeit von 0,75 m/s erreichen. Bestimme das Mindestgefälle S (in m/m).
D = 600 mmn = 0,013V = 0,75 m/s
S = m/m
3Lösungen
1.Hydrostatische Kraft
Antwort: F = 73,58 kN
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Schwerpunkttiefe und Fläche
yc = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2,5 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
Resultierende Kraft
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,5·3 = 73,58 kN
Antwort
F = 73,58 kN
2.Hydrostatische Kraft
Antwort: F = 111,2 kN
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Schwerpunkttiefe und Fläche
yc = d + H/2 = 0,5 + 2/2 = 1,5 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
Resultierende Kraft
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·1,5·6 = 111,2 kN
Antwort
F = 111,2 kN
3.Kontinuität und Bernoulli
Antwort: Q = 16,72 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Kontinuität
v1 = v2·(50/100)² = 0,25·v2
Bernoulli zwischen Eintritt und Engstelle
Das Rohr liegt waagerecht, es ändern sich also nur Druck und Geschwindigkeit.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·34000/(1000·(1 − 0,0625))) = 8,517 m/s
v1 = 2,129 m/s
Volumenstrom
Q = A2·v2 = 0,001963·8,517 = 0,01672 m³/s = 16,72 L/s
Antwort
Q = 16,72 L/s
4.Kontinuität und Bernoulli
Antwort: pC = 37,53 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Geschwindigkeit im Schlauch
Wasserspiegel und Auslass sind beide zur Luft hin offen, die Druckterme heben sich also auf.
v = √(2g·3,5) = √(2·9,81·3,5) = 8,287 m/s
Bernoulli vom Wasserspiegel bis C
patm = pC + ½ρv² + ρgzC
pC = 101,3 − 1000·(8,287²/2 + 9,81·3)/1000 = 101,3 − 63,77 = 37,53 kPa
Antwort
pC = 37,53 kPa
Fällt dieser Druck auf den Dampfdruck des Wassers, hört der Saugheber auf zu funktionieren.
5.Rohrreibung und Verlusthöhe
Antwort: Δp = 90 kPa
Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.
Verlusthöhe
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(100/0,075)·3²/(2·9,81) = 9,174 m
Druckverlust
Das Rohr ist waagerecht und die Geschwindigkeit ändert sich nicht, daher reduziert sich die Energiegleichung auf Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·9,174 = 90000 Pa = 90 kPa
Antwort
Δp = 90 kPa
6.Rohrreibung und Verlusthöhe
Antwort: Δz = 5,15 m
Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.
Geschwindigkeit
V = Q/A = 0,015/0,007854 = 1,91 m/s
V²/(2g) = 0,1859 m
Verlustbeiwerte
f·L/D = 0,015·100/0,1 = 15
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 + 1,0 = 12,7
Gesamte Verlusthöhe
hf = 15·0,1859 = 2,789 m
hm = 12,7·0,1859 = 2,361 m
Δz = hf + hm = 5,15 m
Antwort
Δz = 5,15 m
7.Pumpen und Pumpenleistung
Antwort: η = 69,7 %
Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.
Hydraulische Leistung
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·18 = 2,649 kW
Wirkungsgrad
η = Ph/Pshaft = 2,649/3,8 = 69,7%
Antwort
η = 69,7%
8.Pumpen und Pumpenleistung
Antwort: Pshaft = 36,48 kW
Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.
Geschwindigkeit
V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s
V²/(2g) = 0,3046 m
Verlusthöhen
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (36 + 6)·0,3046 = 12,79 m
Förderhöhe
H = Δz + hL = 12 + 12,79 = 24,79 m
Wellenleistung
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,12·24,79/0,8 = 36,48 kW
Antwort
Pshaft = 36,48 kW
9.Gerinneströmung (Manning)
Antwort: Q = 4,473 m³/s
Manning-Gleichung (SI): Für gleichförmige Strömung in einem offenen Gerinne gilt V = (1/n)·R2/3·S1/2 und Q = A·V, mit dem Rauheitsbeiwert n, dem Sohlgefälle S (m/m) und dem hydraulischen Radius R = A/P: Fließquerschnitt geteilt durch benetzten Umfang. In P zählt nur der Rand, der mit dem Wasser in Berührung ist, nicht der Wasserspiegel. Rechteck: A = b·y, P = b + 2y. Trapez mit Böschungsneigung z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Ein voll oder halb gefülltes Kreisrohr hat R = D/4.
Geometrie
A = (b + z·y)·y = (1,5 + 3·1)·1 = 4,5 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 1,5 + 2·1·√(1 + 3²) = 7,825 m
R = A/P = 0,5751 m
Geschwindigkeit
V = (1/0,022)·0,57512/3·0,0011/2 = 0,9941 m/s
Volumenstrom
Q = A·V = 4,5·0,9941 = 4,473 m³/s
Antwort
Q = 4,473 m³/s
10.Gerinneströmung (Manning)
Antwort: S = 0,001193 m/m
Manning-Gleichung (SI): Für gleichförmige Strömung in einem offenen Gerinne gilt V = (1/n)·R2/3·S1/2 und Q = A·V, mit dem Rauheitsbeiwert n, dem Sohlgefälle S (m/m) und dem hydraulischen Radius R = A/P: Fließquerschnitt geteilt durch benetzten Umfang. In P zählt nur der Rand, der mit dem Wasser in Berührung ist, nicht der Wasserspiegel. Rechteck: A = b·y, P = b + 2y. Trapez mit Böschungsneigung z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Ein voll oder halb gefülltes Kreisrohr hat R = D/4.
Hydraulischer Radius
R = D/4 = 0,6/4 = 0,15 m
Manning nach S auflösen
S = (n·V/R2/3)² = (0,013·0,75/0,2823)² = 0,001193
Antwort
S = 0,001193
Das ist ein Gefälle von 1,193 m pro Kilometer.
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