Hydromechanik und Wasserbau: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Hydrostatische Kraft

Druck in der Tiefe
p = ρgh
Kraft auf eine senkrechte Wand
F = ρg·hc·A
Druckmittelpunkt
yp = yc + Ic/(ycA)
Rechteck
Ic = bH³/12

Kontinuität und Bernoulli

Kontinuität
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Volumenstrom
Q = A·v
Kreisfläche
A = πd²/4

Rohrreibung und Verlusthöhe

Reynolds-Zahl
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Strömungsform
laminar unter Re ≈ 2000, turbulent über Re ≈ 4000
Mittlere Geschwindigkeit
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Örtliche Verluste
hm = ΣK·V²/(2g)
Typische K-Werte
Einlauf 0,5, Auslauf 1,0, 90°-Krümmer ≈ 0,3
Druckverlust
Δp = ρ·g·hf
Zwei offene Behälter
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Freier Auslauf
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pumpen und Pumpenleistung

Hydraulische Leistung
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Wellenleistung
Pshaft = Ph/ηpump
Elektrische Leistung
Pel = Pshaft/ηmotor
Förderhöhe
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Anlagenverluste
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Gerinneströmung (Manning)

Manning-Gleichung
V = (1/n)·R2/3·S1/2
Volumenstrom
Q = A·V
Hydraulischer Radius
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rechteck
A = b·y, P = b + 2y
Trapez (Böschungsneigung z:1)
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Kreisrohr, voll oder halb gefüllt
R = D/4
Erforderliches Gefälle
S = (n·Q/(A·R2/3))²

2Übungsaufgaben

1.Hydrostatische KraftMittel
Schützd = 2 mH = 1 m

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 2 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.

d = 2 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Hydrostatische KraftSchwer
Schützd = 0,5 mH = 3 m

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Glycerin, seine Oberkante liegt 0,5 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.

d = 0,5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Kontinuität und BernoulliMittel
12d1​ = 75 mm, p1​ = 160 kPad2​ = 50 mm, p2​ = ?

Wasser fließt durch ein waagerechtes Rohr, das sich von 75 mm auf 50 mm verengt. Im weiten Abschnitt beträgt der Druck 160 kPa und die Geschwindigkeit 0,5 m/s. Bestimme ohne Verluste den Druck p2 im engen Abschnitt.

d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 160 kPav1 = 0,5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Kontinuität und BernoulliSchwer
12d1​ = 200 mm, p1​ = 200 kPad2​ = 100 mm, p2​ = ?Δz = 3 m

Wasser fließt aufwärts durch ein Rohr, das sich von 200 mm auf 100 mm verengt und dabei um 3 m ansteigt. In Querschnitt 1 beträgt der Druck 200 kPa und die Geschwindigkeit 3 m/s. Bestimme ohne Verluste den Druck p2 in Querschnitt 2.

d1 = 200 mmd2 = 100 mmp1 = 200 kPav1 = 3 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Rohrreibung und VerlusthöheMittel
V = 1 m/sD = 100 mmL = 1000 mf = 0,025

Wasser fließt mit einer mittleren Geschwindigkeit von 1 m/s durch ein 1000 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 100 mm. Verwende die Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,025 und g = 9,81 m/s². Bestimme die Reibungsverlusthöhe hf.

V = 1 m/sL = 1000 mD = 100 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Rohrreibung und VerlusthöheSchwer
K = 10Δz = 13 mL = 100 m, D = 150 mm, f = 0,0253× Krümmer (K = 0,3)

Zwei offene Behälter sind durch ein 100 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 150 mm und einer Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,025 verbunden. Der Wasserspiegel des oberen Behälters liegt 13 m über dem des unteren. Die örtlichen Verluste sind: ein scharfkantiger Einlauf (K = 0,5), 3 Krümmer (je K = 0,3), ein Ventil (K = 10) und der Auslauf in den unteren Behälter (K = 1,0). Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme den Durchfluss Q in L/s.

Δz = 13 mL = 100 mD = 150 mmf = 0,025Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pumpen und PumpenleistungMittel
PQ = 25 L/sH = 52 m

In einem Versuch fördert eine Pumpe 25 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) gegen eine Förderhöhe von 52 m, während ihre Welle 17,7 kW aufnimmt. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme den Pumpenwirkungsgrad η in Prozent.

Q = 25 L/sH = 52 mPshaft = 17,7 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pumpen und PumpenleistungSchwer
PQ = 40 L/sΔz = 6 mL = 150 m, D = 150 mm, f = 0,025, ΣK = 3

Eine Pumpe fördert 40 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) aus einem offenen unteren Behälter in einen oberen Tank, dessen Wasserspiegel 6 m höher liegt. Die Rohrleitung ist 150 m lang, hat einen Innendurchmesser von 150 mm und eine Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,025; die Beiwerte der örtlichen Verluste ergeben zusammen ΣK = 3 (Einlauf und Auslauf eingeschlossen). Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Förderhöhe H, die die Pumpe aufbringen muss.

Q = 40 L/sΔz = 6 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,025ΣK = 3
H = m
9.Gerinneströmung (Manning)Mittel
D = 600 mmn = 0,013, S = 0,001

Ein Regenwasserkanal aus Beton mit einem Innendurchmesser von 600 mm ist halb gefüllt. Manning n = 0,013, und das Gefälle ist S = 0,001. Bestimme den Durchfluss Q in m³/s.

D = 600 mmn = 0,013S = 0,001
Q = m³/s
10.Gerinneströmung (Manning)Schwer
D = 300 mmn = 0,013, V = 1 m/s

Ein Betonkanal mit einem Innendurchmesser von 300 mm (Manning n = 0,013) muss bei gerade voller Füllung eine Selbstreinigungsgeschwindigkeit von 1 m/s erreichen. Bestimme das Mindestgefälle S (in m/m).

D = 300 mmn = 0,013V = 1 m/s
S = m/m

3Lösungen

1.Hydrostatische Kraft

Antwort: F = 24,52 kN

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

yc = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m
A = H·b = 1·1 = 1 m²
Schützd = 2 mH = 1 mF

Resultierende Kraft

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,5·1 = 24,52 kN

Antwort

F = 24,52 kN
2.Hydrostatische Kraft

Antwort: F = 74,16 kN

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

yc = d + H/2 = 0,5 + 3/2 = 2 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
Schützd = 0,5 mH = 3 mF

Resultierende Kraft

F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·2·3 = 74,16 kN

Antwort

F = 74,16 kN
3.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: p2 = 159,5 kPa

Kontinuität und Bernoulli: Bei einem inkompressiblen Fluid ist der Volumenstrom in jedem Querschnitt gleich, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Entlang einer Stromlinie ohne Verluste ist p + ½ρv² + ρgz konstant, daher ist der Druck dort niedriger, wo das Fluid schneller oder höher ist.

Kontinuität und Bernoulli

Rechne in Pa und teile dann durch 1000, um kPa zu erhalten.

v2 = v1·(d1/d2)² = 0,5·(75/50)² = 1,125 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,5² − 1,125²)/1000 = −0,5078 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 160 + (−0,5078) = 159,5 kPa

Antwort

p2 = 159,5 kPa
4.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: p2 = 103,1 kPa

Kontinuität und Bernoulli: Bei einem inkompressiblen Fluid ist der Volumenstrom in jedem Querschnitt gleich, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Entlang einer Stromlinie ohne Verluste ist p + ½ρv² + ρgz konstant, daher ist der Druck dort niedriger, wo das Fluid schneller oder höher ist.

Kontinuität und Bernoulli

Rechne in Pa und teile dann durch 1000, um kPa zu erhalten.

v2 = v1·(d1/d2)² = 3·(200/100)² = 12 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(3² − 12²)/1000 = −67,5 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·3/1000 = 29,43 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 200 + (−67,5) − 29,43 = 103,1 kPa

Antwort

p2 = 103,1 kPa
5.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: hf = 12,74 m

Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.

Geschwindigkeitshöhe

V²/(2g) = 1²/(2·9,81) = 0,05097 m

Darcy–Weisbach

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(1000/0,1)·1²/(2·9,81) = 12,74 m

Antwort

hf = 12,74 m
6.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: Q = 52,35 L/s

Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.

Verlustbeiwerte

f·L/D = 0,025·100/0,15 = 16,67
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4

Energiegleichung

Beide Wasserspiegel sind offen zur Atmosphäre und praktisch in Ruhe, daher geht das gesamte Δz in der Rohrleitung verloren.

13 = (16,67 + 12,4)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·13/29,07) = 2,962 m/s

Volumenstrom

Q = V·π·D²/4 = 2,962·0,01767 = 0,05235 m³/s = 52,35 L/s

Antwort

Q = 52,35 L/s
7.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: η = 72,05 %

Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.

Hydraulische Leistung

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·52 = 12,75 kW

Wirkungsgrad

η = Ph/Pshaft = 12,75/17,7 = 72,05%

Antwort

η = 72,05%
8.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: H = 13,31 m

Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s
V²/(2g) = 0,2611 m

Verlusthöhen

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (25 + 3)·0,2611 = 7,312 m

Förderhöhe

Beide Wasserspiegel sind offen und praktisch in Ruhe, daher entfallen Druck- und Geschwindigkeitsterme.

H = Δz + hL = 6 + 7,312 = 13,31 m

Antwort

H = 13,31 m
9.Gerinneströmung (Manning)

Antwort: Q = 0,09708 m³/s

Manning-Gleichung (SI): Für gleichförmige Strömung in einem offenen Gerinne gilt V = (1/n)·R2/3·S1/2 und Q = A·V, mit dem Rauheitsbeiwert n, dem Sohlgefälle S (m/m) und dem hydraulischen Radius R = A/P: Fließquerschnitt geteilt durch benetzten Umfang. In P zählt nur der Rand, der mit dem Wasser in Berührung ist, nicht der Wasserspiegel. Rechteck: A = b·y, P = b + 2y. Trapez mit Böschungsneigung z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Ein voll oder halb gefülltes Kreisrohr hat R = D/4.

Geometrie

A = 0,1414 m², R = D/4 = 0,15 m

Geschwindigkeit

V = (1/0,013)·0,152/3·0,0011/2 = 0,6867 m/s

Volumenstrom

Q = A·V = 0,1414·0,6867 = 0,09708 m³/s

Antwort

Q = 0,09708 m³/s
10.Gerinneströmung (Manning)

Antwort: S = 0,005343 m/m

Manning-Gleichung (SI): Für gleichförmige Strömung in einem offenen Gerinne gilt V = (1/n)·R2/3·S1/2 und Q = A·V, mit dem Rauheitsbeiwert n, dem Sohlgefälle S (m/m) und dem hydraulischen Radius R = A/P: Fließquerschnitt geteilt durch benetzten Umfang. In P zählt nur der Rand, der mit dem Wasser in Berührung ist, nicht der Wasserspiegel. Rechteck: A = b·y, P = b + 2y. Trapez mit Böschungsneigung z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Ein voll oder halb gefülltes Kreisrohr hat R = D/4.

Hydraulischer Radius

R = D/4 = 0,3/4 = 0,075 m

Manning nach S auflösen

S = (n·V/R2/3)² = (0,013·1/0,1778)² = 0,005343

Antwort

S = 0,005343

Das ist ein Gefälle von 5,343 m pro Kilometer.

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