Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du legst €8 000 zu einem Nominalzins von 3 % pro Jahr mit vierteljährlicher Verzinsung an. Bestimme den Wert FV der Anlage nach 6 Jahren.

PV = €8 0003% / 4n = 6

FV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du leihst dir €8 000 zu 4,2 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung und zahlst am Ende jedes Monats €150 zurück. Wie viele Monate dauert es, bis das Darlehen getilgt ist (die letzte Rate darf kleiner sein)? Gib die Anzahl der Raten N an.

P = €8 000A = €1504,2% / 12

N = Raten

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 3% in zwei halbjährlichen Raten und wird in 4 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 5,5% pro Jahr. Bestimme den Kurs P der Anleihe.

F = €1 000Kuponsatz = 3%YTM = 5,5%n = 4

P = €

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 3% wird in 10 Jahren fällig und kostet €810. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 3%n = 10P = €810

YTM = %

5.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €3 000 000 und Fremdkapital im Wert von €1 000 000. Seine Eigenkapitalkosten betragen 10%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 4,5% und der Steuersatz 21%. Bestimme den WACC.

E = €3 000 000D = €1 000 000r_e = 10%r_d = 4,5%T = 21%

WACC = %

6.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat 2 000 000 Aktien zu je €28,50 und 20 000 Anleihen mit einem Kurs von je €1 050. Die Fremdkapitalkosten vor Steuern betragen 4,5% und der Steuersatz 21%. Das Beta der Aktie ist 0,8, der risikofreie Zinssatz 2,5% und die Marktrendite 9%. Bestimme den WACC.

β = 0,8r_f = 2,5%r_m = 9%r_d = 4,5%T = 21%

WACC = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Investition von €75 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 4 diese Zahlungen: €20 000, €34 000, €25 000, €21 000. Die Kapitalkosten betragen 6 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 6%CF₀ = −75 000CF₁ = 20 000CF₂ = 34 000CF₃ = 25 000CF₄ = 21 000

NPV = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €25 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 €15 500, €18 500, €10 500. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.

CF₀ = −25 000CF₁ = 15 500CF₂ = 18 500CF₃ = 10 500

IRR = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 9571 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = r/m = 0,03/4 = 0,0075

N = m·n = 4·6 = 24

Endwert

FV = 8 000·(1 + 0,0075)²⁴ = 8 000·1,196 = €9 571,31

Antwort

FV = €9 571,31

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: N = 60 Raten

Die Rentenformel umstellen

i = 0,0035

(1 + i)^−N = 1 − 8 000·0,0035/150 = 0,8133

Mit Logarithmen lösen

N = −ln(0,8133)/ln(1,004) = 59,14

Auf ganze Raten aufrunden

59 volle Raten lassen eine kleine Restschuld, die die letzte, kleinere Rate tilgt.

N = 60

Antwort

N = 60 Raten

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: P = 911,3 €

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Pro Periode

C = €15,00, i = 0,0275, N = 8

Barwert der Kupons

€15,00·(1 − 0,8049)/0,0275 = €106,41

Barwert des Nennwerts

€1 000·0,8049 = €804,91

Kurs

P = €911,32

Antwort

P = €911,32

Die Rendite liegt über dem Kuponsatz, also notiert die Anleihe unter pari.

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 5,524 %

Gleichung für die Rendite

€810 = €30·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

Numerisch lösen

P(5%) = €845,57, P(6%) = €779,20

YTM = 5,524%

Antwort

YTM = 5,524%

5.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 8,389 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €4 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25

WACC

WACC = 0,75·10% + 0,25·4,5%·(1 − 0,21) = 8,389%

Antwort

WACC = 8,389%

6.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 6,584 %

Marktwerte

E = 2 000 000·€28,50 = €57 000 000

D = 20 000·€1 050 = €21 000 000

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 2,5% + 0,8·6,5% = 7,7%

Gewichte

V = €78 000 000, E/V = 0,7308, D/V = 0,2692

WACC

WACC = 0,7308·7,7% + 0,2692·4,5%·(1 − 0,21) = 6,584%

Antwort

WACC = 6,584%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = 11752 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,06)¹ = 20 000/1,06 = 18 867,92

CF₂/(1 + 0,06)² = 34 000/1,124 = 30 259,88

CF₃/(1 + 0,06)³ = 25 000/1,191 = 20 990,48

CF₄/(1 + 0,06)⁴ = 21 000/1,262 = 16 633,97

Addieren

NPV = €11 752,25

Antwort

NPV = €11 752,25

Der Kapitalwert ist positiv, das Projekt verdient also mehr als die geforderte Rendite.

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: IRR = 37,81 %

Den IRR eingrenzen

Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.

NPV(35%) = 900,02

NPV(40%) = −663,27

Eingrenzen

Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.

IRR ≈ 35 + 5·900,02/(900,02 − (−663,27)) = 37,88%

exakt: NPV(37,81%) = 0 → IRR = 37,81%

Antwort

IRR = 37,81%

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