Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du legst €20 000 zu einem Nominalzins von 6 % pro Jahr mit monatlicher Verzinsung an. Bestimme den Wert FV der Anlage nach 8 Jahren.

PV = €20 0006% / 12n = 8

FV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du sparst 23 Jahre lang am Ende jedes Monats €200. Das Konto bringt 2,4 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Wie viel hast du am Ende gespart? Bestimme FV.

A = €2002,4% / 12N = 276

FV = €

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 3% in zwei halbjährlichen Raten und wird in 8 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 3,5% pro Jahr. Bestimme den Kurs P der Anleihe.

F = €1 000Kuponsatz = 3%YTM = 3,5%n = 8

P = €

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit 20 Jahren Restlaufzeit (Nennwert €1 000, jährlicher Kupon 8%) wird für €1 165 verkauft. Der Emittent kann sie in 4 Jahren zu einem Kündigungskurs von €1 080 kündigen. Bestimme die Rendite bis zur Kündigung YTC in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 8%P = €1 165Kündigungskurs = €1 080Kündigung in 4 Jahre

YTC = %

5.CAPM & WACCMittel

Eine Aktie mit einem Beta von 1,4 hat eine geforderte Rendite von 9,8%. Der risikolose Zinssatz beträgt 3,5%. Welche erwartete Marktrendite r_m folgt aus dem CAPM?

β = 1,4r_e = 9,8%r_f = 3,5%

r_m = %

6.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat 5 000 000 Aktien zu je €17,00 und 40 000 Anleihen mit einem Kurs von je €1 020. Die Fremdkapitalkosten vor Steuern betragen 4% und der Steuersatz 28%. Das Beta der Aktie ist 0,6, der risikofreie Zinssatz 2,5% und die Marktrendite 9,5%. Bestimme den WACC.

β = 0,6r_f = 2,5%r_m = 9,5%r_d = 4%T = 28%

WACC = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Investition von €30 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 4 diese Zahlungen: €13 000, €12 000, €13 000, €9 000. Die Kapitalkosten betragen 9 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 9%CF₀ = −30 000CF₁ = 13 000CF₂ = 12 000CF₃ = 13 000CF₄ = 9 000

NPV = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €40 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 4 jeweils €16 500, €21 000, €23 500, €24 000. Die Zahlungen können zu den Kapitalkosten von 12 % wieder angelegt werden. Bestimme den modifizierten internen Zinsfuß MIRR in Prozent.

r = 12%CF₀ = −40 000CF₁ = 16 500CF₂ = 21 000CF₃ = 23 500CF₄ = 24 000

MIRR = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 32283 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = r/m = 0,06/12 = 0,005

N = m·n = 12·8 = 96

Endwert

FV = 20 000·(1 + 0,005)⁹⁶ = 20 000·1,614 = €32 282,85

Antwort

FV = €32 282,85

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 73577 €

Monatszins und Anzahl der Einzahlungen

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·23 = 276

Endwert der Einzahlungen

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 200·(1,736 − 1)/0,002 = €73 576,59

Antwort

FV = €73 576,59

Du hast selbst €55 200 eingezahlt; der Rest sind Zinsen.

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: P = 965,4 €

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Pro Periode

C = €15,00, i = 0,0175, N = 16

Barwert der Kupons

€15,00·(1 − 0,7576)/0,0175 = €207,76

Barwert des Nennwerts

€1 000·0,7576 = €757,62

Kurs

P = €965,37

Antwort

P = €965,37

Die Rendite liegt über dem Kuponsatz, also notiert die Anleihe unter pari.

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTC = 5,179 %

Gleichung für die Rendite

1165 = 80·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + 1080/(1 + y)⁴

Numerisch lösen

y = 5%: €1 172,19

y = 6%: €1 132,67

YTC = 5,179%

Antwort

YTC = 5,179%

Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 6,502%. Anleger in einer Anleihe über pari rechnen mit einer Kündigung, daher ist die niedrigere Rendite bis zur Kündigung die realistischere.

5.CAPM & WACC

Antwort: r_m = 8 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Marktrisikoprämie

r_m − r_f = (9,8% − 3,5%)/1,4 = 4,5%

Marktrendite

r_m = 3,5% + 4,5% = 8%

Antwort

r_m = 8%

6.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 5,461 %

Marktwerte

E = 5 000 000·€17,00 = €85 000 000

D = 40 000·€1 020 = €40 800 000

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 2,5% + 0,6·7% = 6,7%

Gewichte

V = €125 800 000, E/V = 0,6757, D/V = 0,3243

WACC

WACC = 0,6757·6,7% + 0,3243·4%·(1 − 0,28) = 5,461%

Antwort

WACC = 5,461%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = 8441 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,09)¹ = 13 000/1,09 = 11 926,61

CF₂/(1 + 0,09)² = 12 000/1,188 = 10 100,16

CF₃/(1 + 0,09)³ = 13 000/1,295 = 10 038,39

CF₄/(1 + 0,09)⁴ = 9 000/1,412 = 6 375,83

Addieren

NPV = €8 440,98

Antwort

NPV = €8 440,98

Der Kapitalwert ist positiv, das Projekt verdient also mehr als die geforderte Rendite.

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: MIRR = 25,69 %

Modifizierter interner Zinsfuß: Zinse jede Einzahlung mit dem Wiederanlagezins (meist den Kapitalkosten) bis zum Projektende auf, um den Endwert TV zu erhalten. Der MIRR ist der Zinssatz, der die Anfangsinvestition in TV überführt: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Endwert der Einzahlungen

16 500·1,12³ = 23 181,31

21 000·1,12² = 26 342,40

23 500·1,12¹ = 26 320,00

24 000·1,12⁰ = 24 000,00

TV = 99 843,71

MIRR

MIRR = (99 843,71/40 000)^1/4 − 1 = 25,69%

Antwort

MIRR = 25,69%

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