Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du legst €2 000 zu 6 % pro Jahr bei stetiger Verzinsung an. Bestimme den Wert FV nach 3 Jahren.

PV = €2 000r = 6%t = 3

FV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du zahlst 15 Jahre lang am Anfang jedes Jahres €2 500 ein, die erste Einzahlung heute. Das Konto bringt 6 % pro Jahr. Wie viel ist am Ende von Jahr 15 auf dem Konto? Bestimme FV.

A = €2 500i = 6%n = 15

FV = €

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 2% in zwei halbjährlichen Raten und wird in 9 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 5% pro Jahr. Bestimme den Kurs P der Anleihe.

F = €1 000Kuponsatz = 2%YTM = 5%n = 9

P = €

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 5% wird in 4 Jahren fällig und kostet €915. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 5%n = 4P = €915

YTM = %

5.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €12 000 000 und Fremdkapital im Wert von €3 000 000. Seine Eigenkapitalkosten betragen 12%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 6% und der Steuersatz 20%. Bestimme den WACC.

E = €12 000 000D = €3 000 000r_e = 12%r_d = 6%T = 20%

WACC = %

6.CAPM & WACCSchwer

Die Aktien eines Unternehmens haben beim aktuellen Verschuldungsgrad D/E von 0,25 ein Beta von 0,9. Es plant, den Verschuldungsgrad auf 0,75 zu erhöhen. Der Steuersatz beträgt 21%, der risikolose Zinssatz 1% und die Marktrisikoprämie 6%. Bestimme die Eigenkapitalkosten r_e nach der Änderung.

β_L = 0,9D/E₁ = 0,25D/E₂ = 0,75T = 21%r_f = 1%r_m − r_f = 6%

r_e = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Maschine kostet heute €30 000. Sie erwirtschaftet 7 Jahre lang am Ende jedes Jahres €5 500 und kann danach für €4 500 verkauft werden. Die Kapitalkosten betragen 6 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

C₀ = €30 000CF = €5 500S = €4 500n = 7r = 6%

NPV = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €10 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 jeweils €4 500, €5 500, €3 500. Die Zahlungen können zu den Kapitalkosten von 12 % wieder angelegt werden. Bestimme den modifizierten internen Zinsfuß MIRR in Prozent.

r = 12%CF₀ = −10 000CF₁ = 4 500CF₂ = 5 500CF₃ = 3 500

MIRR = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 2394 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Exponent

r·t = 0,06·3 = 0,18

e^0,18 = 1,197

Endwert

FV = 2 000·1,197 = €2 394,43

Antwort

FV = €2 394,43

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 61681 €

Endwertfaktor der nachschüssigen Rente

((1 + 0,06)¹⁵ − 1)/0,06 = 23,28

Vorschüssige Rente

Jede Einzahlung ist ein Jahr länger angelegt.

FV = 2 500·23,28·1,06 = €61 681,32

Antwort

FV = €61 681,32

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: P = 784,7 €

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Pro Periode

C = €10,00, i = 0,025, N = 18

Barwert der Kupons

€10,00·(1 − 0,6412)/0,025 = €143,53

Barwert des Nennwerts

€1 000·0,6412 = €641,17

Kurs

P = €784,70

Antwort

P = €784,70

Die Rendite liegt über dem Kuponsatz, also notiert die Anleihe unter pari.

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 7,54 %

Gleichung für die Rendite

€915 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴

Numerisch lösen

P(7%) = €932,26, P(8%) = €900,64

YTM = 7,54%

Antwort

YTM = 7,54%

5.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 10,56 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €15 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2

WACC

WACC = 0,8·12% + 0,2·6%·(1 − 0,2) = 10,56%

Antwort

WACC = 10,56%

6.CAPM & WACC

Antwort: r_e = 8,181 %

Levered Beta (Hamada): Fremdkapital macht das Eigenkapital riskanter. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), wobei β_U das Beta des Geschäfts ohne Fremdkapital ist. Um ein Beta auf eine andere Kapitalstruktur zu übertragen, entschulde es zuerst und verschulde es dann beim neuen D/E wieder.

Das Beta entschulden

β_U = 0,9/(1 + 0,79·0,25) = 0,7516

Beim neuen D/E wieder verschulden

β_L = 0,7516·(1 + 0,79·0,75) = 1,197

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 1% + 1,197·6% = 8,181%

Antwort

r_e = 8,181%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = 3696 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert der jährlichen Zahlungen

5 500·5,582 = 30 703,10

Barwert des Restwerts

4 500/1,504 = 2 992,76

NPV

NPV = −30 000 + 30 703,10 + 2 992,76 = €3 695,85

Antwort

NPV = €3 695,85

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: MIRR = 15,24 %

Modifizierter interner Zinsfuß: Zinse jede Einzahlung mit dem Wiederanlagezins (meist den Kapitalkosten) bis zum Projektende auf, um den Endwert TV zu erhalten. Der MIRR ist der Zinssatz, der die Anfangsinvestition in TV überführt: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Endwert der Einzahlungen

4 500·1,12² = 5 644,80

5 500·1,12¹ = 6 160,00

3 500·1,12⁰ = 3 500,00

TV = 15 304,80

MIRR

MIRR = (15 304,80/10 000)^1/3 − 1 = 15,24%

Antwort

MIRR = 15,24%

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