Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du brauchst €25 000 in 4 Jahren. Ein Konto bringt 4,8 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Wie viel musst du heute einzahlen? Bestimme den Barwert PV.

FV = €25 0004,8% / 12n = 4

PV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du zahlst 11 Jahre lang am Anfang jedes Jahres €3 000 ein, die erste Einzahlung heute. Das Konto bringt 8 % pro Jahr. Wie viel ist am Ende von Jahr 11 auf dem Konto? Bestimme FV.

A = €3 000i = 8%n = 11

FV = €

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 4,5% in zwei halbjährlichen Raten und wird in 8 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 4% pro Jahr. Bestimme den Kurs P der Anleihe.

F = €1 000Kuponsatz = 4,5%YTM = 4%n = 8

P = €

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 7% wird in 3 Jahren fällig und kostet €975. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 7%n = 3P = €975

YTM = %

5.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen ist finanziert mit Stammaktien im Wert von €10 000 000, Vorzugsaktien im Wert von €1 000 000 und Fremdkapital im Wert von €2 000 000. Die Eigenkapitalkosten betragen 9%, die Kosten der Vorzugsaktien 7,5% und die Fremdkapitalkosten vor Steuern 4,5%. Der Steuersatz beträgt 20%. Bestimme den WACC.

E = €10 000 000P_s = €1 000 000D = €2 000 000r_e = 9%r_p = 7,5%r_d = 4,5%T = 20%

WACC = %

6.CAPM & WACCSchwer

Das Geschäft eines Unternehmens hat ein unverschuldetes Beta (Asset-Beta) von 0,6. Es plant einen Verschuldungsgrad D/E von 1,5. Der Steuersatz beträgt 28%, der risikolose Zinssatz 4% und die Marktrisikoprämie 4,5%. Bestimme die Eigenkapitalkosten r_e bei der neuen Kapitalstruktur.

β_U = 0,6D/E = 1,5T = 28%r_f = 4%r_m − r_f = 4,5%

r_e = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Investition von €30 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 4 diese Zahlungen: €7 000, €13 000, €8 000, €12 000. Die Kapitalkosten betragen 7,000000000000001 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 7,000000000000001%CF₀ = −30 000CF₁ = 7 000CF₂ = 13 000CF₃ = 8 000CF₄ = 12 000

NPV = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Projekt A kostet €30 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 jeweils €16 500, €11 500, €7 000. Projekt B kostet €35 000 und bringt €9 500, €13 500, €18 000. Bestimme den Schnittpunktzins (Fisher-Zins) r*, bei dem beide Projekte denselben Kapitalwert haben, in Prozent.

A: −30 000, 16 500, 11 500, 7 000B: −35 000, 9 500, 13 500, 18 000

r* = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: PV = 20641 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·4 = 48

Barwert

PV = FV/(1 + i)^N = 25 000/1,211 = €20 640,58

Antwort

PV = €20 640,58

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 53931 €

Endwertfaktor der nachschüssigen Rente

((1 + 0,08)¹¹ − 1)/0,08 = 16,65

Vorschüssige Rente

Jede Einzahlung ist ein Jahr länger angelegt.

FV = 3 000·16,65·1,08 = €53 931,38

Antwort

FV = €53 931,38

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: P = 1034 €

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Pro Periode

C = €22,50, i = 0,02, N = 16

Barwert der Kupons

€22,50·(1 − 0,7284)/0,02 = €305,50

Barwert des Nennwerts

€1 000·0,7284 = €728,45

Kurs

P = €1 033,94

Antwort

P = €1 033,94

Die Rendite liegt unter dem Kuponsatz, also notiert die Anleihe über pari.

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 7,97 %

Gleichung für die Rendite

€975 = €70·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

Numerisch lösen

P(7%) = €1 000,00, P(8%) = €974,23

YTM = 7,97%

Antwort

YTM = 7,97%

5.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 8,054 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = 10 000 000 + 1 000 000 + 2 000 000 = €13 000 000

E/V = 0,7692, P_s/V = 0,07692, D/V = 0,1538

WACC

WACC = 0,7692·9% + 0,07692·7,5% + 0,1538·4,5%·(1 − 0,2) = 8,054%

Antwort

WACC = 8,054%

6.CAPM & WACC

Antwort: r_e = 9,616 %

Levered Beta (Hamada): Fremdkapital macht das Eigenkapital riskanter. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), wobei β_U das Beta des Geschäfts ohne Fremdkapital ist. Um ein Beta auf eine andere Kapitalstruktur zu übertragen, entschulde es zuerst und verschulde es dann beim neuen D/E wieder.

Verschuldetes Beta

β_L = 0,6·(1 + 0,72·1,5) = 1,248

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 4% + 1,248·4,5% = 9,616%

Antwort

r_e = 9,616%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = 3582 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,07)¹ = 7 000/1,07 = 6 542,06

CF₂/(1 + 0,07)² = 13 000/1,145 = 11 354,70

CF₃/(1 + 0,07)³ = 8 000/1,225 = 6 530,38

CF₄/(1 + 0,07)⁴ = 12 000/1,311 = 9 154,74

Addieren

NPV = €3 581,89

Antwort

NPV = €3 581,89

Der Kapitalwert ist positiv, das Projekt verdient also mehr als die geforderte Rendite.

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: r* = 3,597 %

Schnittpunktzins (Fisher-Zins): der Kalkulationszins, bei dem zwei Projekte denselben Kapitalwert haben. Er ist der interne Zinsfuß der Differenz ihrer Zahlungen (B − A). Darunter hat das Projekt mit den späteren, größeren Zahlungen den höheren Kapitalwert; darüber gewinnt das andere.

Differenz der Zahlungen

ΔCF₀ = −35 000 − (−30 000) = −5 000

ΔCF₁ = 9 500 − 16 500 = −7 000

ΔCF₂ = 13 500 − 11 500 = 2 000

ΔCF₃ = 18 000 − 7 000 = 11 000

Interner Zinsfuß der Differenz

NPV_Δ(3%) = 155,63

NPV_Δ(4%) = −102,70

r* = 3,597%

Antwort

r* = 3,597%

Probe: Bei 3,597% betragen beide Kapitalwerte €2 938,05.

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