Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du legst €3 000 zu einem Nominalzins von 3,6 % pro Jahr mit vierteljährlicher Verzinsung an. Bestimme den Wert FV der Anlage nach 10 Jahren.

PV = €3 0003,6% / 4n = 10

FV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Ein Darlehen von €15 000 wird über 5 Jahre mit gleichen Monatsraten bei 2,4 % pro Jahr und monatlicher Verzinsung getilgt. Wie viel Zinsen I werden über die gesamte Laufzeit gezahlt?

P = €15 0002,4% / 12N = 60

I = €

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Du kaufst eine Anleihe mit 9 Jahren Restlaufzeit (Nennwert €1 000, jährlicher Kupon 2%), wenn ihre Rendite bis zur Fälligkeit 8% beträgt. Ein Jahr später, direkt nach Erhalt des ersten Kupons, verkaufst du sie bei einer Rendite bis zur Fälligkeit von 9,5%. Bestimme deine Haltedauerrendite HPR in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 2%n = 9y₀ = 8%y₁ = 9,5%

HPR = %

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 6% wird in 9 Jahren fällig und kostet €1 110. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 6%n = 9P = €1 110

YTM = %

5.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen ist finanziert mit Stammaktien im Wert von €5 000 000, Vorzugsaktien im Wert von €1 000 000 und Fremdkapital im Wert von €2 000 000. Die Eigenkapitalkosten betragen 11%, die Kosten der Vorzugsaktien 7,5% und die Fremdkapitalkosten vor Steuern 4%. Der Steuersatz beträgt 20%. Bestimme den WACC.

E = €5 000 000P_s = €1 000 000D = €2 000 000r_e = 11%r_p = 7,5%r_d = 4%T = 20%

WACC = %

6.CAPM & WACCSchwer

Die Aktien eines Unternehmens haben beim aktuellen Verschuldungsgrad D/E von 0,25 ein Beta von 1,4. Es plant, den Verschuldungsgrad auf 1 zu erhöhen. Der Steuersatz beträgt 20%, der risikolose Zinssatz 2,5% und die Marktrisikoprämie 6%. Bestimme die Eigenkapitalkosten r_e nach der Änderung.

β_L = 1,4D/E₁ = 0,25D/E₂ = 1T = 20%r_f = 2,5%r_m − r_f = 6%

r_e = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Maschine kostet heute €60 000. Sie erwirtschaftet 4 Jahre lang am Ende jedes Jahres €16 000 und kann danach für €12 000 verkauft werden. Die Kapitalkosten betragen 10 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

C₀ = €60 000CF = €16 000S = €12 000n = 4r = 10%

NPV = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €20 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 2 €11 500, €10 000. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.

CF₀ = −20 000CF₁ = 11 500CF₂ = 10 000

IRR = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 4293 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = r/m = 0,036000000000000004/4 = 0,009

N = m·n = 4·10 = 40

Endwert

FV = 3 000·(1 + 0,009)⁴⁰ = 3 000·1,431 = €4 293,07

Antwort

FV = €4 293,07

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: I = 933 €

Monatliche Rate

i = 0,002, N = 60

A = 15 000·0,002/(1 − (1 + 0,002)⁻⁶⁰) = €265,55

Gesamtzinsen

I = N·A − P = 60·265,5 − 15 000 = €932,97

Antwort

I = €932,97

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: HPR = −2,03 %

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Kaufpreis

C = €20,00, i = 0,08, N = 9

€20,00·(1 − 0,5002)/0,08 + €1 000·0,5002 = €124,94 + €500,25 = €625,19

Verkaufspreis

C = €20,00, i = 0,095, N = 8

€20,00·(1 − 0,4838)/0,095 + €1 000·0,4838 = €108,67 + €483,82 = €592,49

Haltedauerrendite

HPR = (20 + 592,49 − 625,19)/625,19 = −2,03%

Antwort

HPR = −2,03%

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 4,488 %

Gleichung für die Rendite

€1 110 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

Numerisch lösen

P(4%) = €1 148,71, P(5%) = €1 071,08

YTM = 4,488%

Antwort

YTM = 4,488%

5.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 8,613 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = 5 000 000 + 1 000 000 + 2 000 000 = €8 000 000

E/V = 0,625, P_s/V = 0,125, D/V = 0,25

WACC

WACC = 0,625·11% + 0,125·7,5% + 0,25·4%·(1 − 0,2) = 8,613%

Antwort

WACC = 8,613%

6.CAPM & WACC

Antwort: r_e = 15,1 %

Levered Beta (Hamada): Fremdkapital macht das Eigenkapital riskanter. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), wobei β_U das Beta des Geschäfts ohne Fremdkapital ist. Um ein Beta auf eine andere Kapitalstruktur zu übertragen, entschulde es zuerst und verschulde es dann beim neuen D/E wieder.

Das Beta entschulden

β_U = 1,4/(1 + 0,8·0,25) = 1,167

Beim neuen D/E wieder verschulden

β_L = 1,167·(1 + 0,8·1) = 2,1

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 2,5% + 2,1·6% = 15,1%

Antwort

r_e = 15,1%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = −1086 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert der jährlichen Zahlungen

16 000·3,17 = 50 717,85

Barwert des Restwerts

12 000/1,464 = 8 196,16

NPV

NPV = −60 000 + 50 717,85 + 8 196,16 = −€1 085,99

Antwort

NPV = −€1 085,99

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: IRR = 5,082 %

Den IRR eingrenzen

Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.

NPV(5%) = 22,68

NPV(10%) = −1 280,99

Eingrenzen

Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.

IRR ≈ 5 + 5·22,68/(22,68 − (−1 280,99)) = 5,087%

exakt: NPV(5,082%) = 0 → IRR = 5,082%

Antwort

IRR = 5,082%

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