Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du brauchst €10 000 in 4 Jahren. Ein Konto bringt 4,8 % pro Jahr bei vierteljährlicher Verzinsung. Wie viel musst du heute einzahlen? Bestimme den Barwert PV.

FV = €10 0004,8% / 4n = 4

PV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Ein Darlehen von €12 000 wird über 5 Jahre in gleichen Monatsraten zurückgezahlt. Der Zinssatz beträgt 4,2 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Bestimme die Monatsrate A.

P = €12 0004,2% / 12N = 60

A = €

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Du kaufst eine Anleihe mit 12 Jahren Restlaufzeit (Nennwert €1 000, jährlicher Kupon 8%), wenn ihre Rendite bis zur Fälligkeit 2,5% beträgt. Ein Jahr später, direkt nach Erhalt des ersten Kupons, verkaufst du sie bei einer Rendite bis zur Fälligkeit von 2%. Bestimme deine Haltedauerrendite HPR in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 8%n = 12y₀ = 2,5%y₁ = 2%

HPR = %

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 8% in zwei Halbjahresraten und wird in 8 Jahren fällig. Sie wird für €1 312 verkauft. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM als Jahreszins (das Doppelte der Halbjahresrendite) in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 8% (2×)n = 8P = €1 312

YTM = %

5.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €2 000 000 und Fremdkapital im Wert von €4 000 000. Seine Eigenkapitalkosten betragen 11%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 3,5% und der Steuersatz 25,8%. Bestimme den WACC.

E = €2 000 000D = €4 000 000r_e = 11%r_d = 3,5%T = 25,8%

WACC = %

6.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat 1 000 000 Aktien zu je €13,00 und 40 000 Anleihen mit einem Kurs von je €980. Die Fremdkapitalkosten vor Steuern betragen 5% und der Steuersatz 30%. Das Beta der Aktie ist 1,1, der risikofreie Zinssatz 2% und die Marktrendite 7,5%. Bestimme den WACC.

β = 1,1r_f = 2%r_m = 7,5%r_d = 5%T = 30%

WACC = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Investition von €75 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 4 diese Zahlungen: €21 000, €28 000, €31 000, €19 000. Die Kapitalkosten betragen 5 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 5%CF₀ = −75 000CF₁ = 21 000CF₂ = 28 000CF₃ = 31 000CF₄ = 19 000

NPV = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €20 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 €14 500, €14 000, €15 000. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.

CF₀ = −20 000CF₁ = 14 500CF₂ = 14 000CF₃ = 15 000

IRR = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: PV = 8263 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = 0,048/4 = 0,012

N = 4·4 = 16

Barwert

PV = FV/(1 + i)^N = 10 000/1,21 = €8 262,51

Antwort

PV = €8 262,51

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: A = 222,1 €

Monatszins und Anzahl der Raten

i = 0,042/12 = 0,0035

N = 12·5 = 60

Rate

Der Barwert von N gleichen Raten A ist A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Setze ihn gleich dem Darlehen und löse nach A auf.

(1 + i)^−N = 0,8109

A = 12 000·0,0035/(1 − 0,8109) = €222,08

Antwort

A = €222,08

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: HPR = 6,587 %

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Kaufpreis

C = €80,00, i = 0,025, N = 12

€80,00·(1 − 0,7436)/0,025 + €1 000·0,7436 = €820,62 + €743,56 = €1 564,18

Verkaufspreis

C = €80,00, i = 0,02, N = 11

€80,00·(1 − 0,8043)/0,02 + €1 000·0,8043 = €782,95 + €804,26 = €1 587,21

Haltedauerrendite

HPR = (80 + 1 587,21 − 1 564,18)/1 564,18 = 6,587%

Antwort

HPR = 6,587%

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 3,496 %

Pro Periode

C = €40,00, N = 16

Numerisch lösen

i = 1,748% pro Halbjahr

YTM

YTM = 2·1,748% = 3,496%

Antwort

YTM = 3,496%

5.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 5,398 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €6 000 000, E/V = 0,3333, D/V = 0,6667

WACC

WACC = 0,3333·11% + 0,6667·3,5%·(1 − 0,258) = 5,398%

Antwort

WACC = 5,398%

6.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 4,633 %

Marktwerte

E = 1 000 000·€13,00 = €13 000 000

D = 40 000·€980 = €39 200 000

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 2% + 1,1·5,5% = 8,05%

Gewichte

V = €52 200 000, E/V = 0,249, D/V = 0,751

WACC

WACC = 0,249·8,05% + 0,751·5%·(1 − 0,3) = 4,633%

Antwort

WACC = 4,633%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = 12807 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,05)¹ = 21 000/1,05 = 20 000,00

CF₂/(1 + 0,05)² = 28 000/1,103 = 25 396,83

CF₃/(1 + 0,05)³ = 31 000/1,158 = 26 778,97

CF₄/(1 + 0,05)⁴ = 19 000/1,216 = 15 631,35

Addieren

NPV = €12 807,14

Antwort

NPV = €12 807,14

Der Kapitalwert ist positiv, das Projekt verdient also mehr als die geforderte Rendite.

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: IRR = 51,43 %

Den IRR eingrenzen

Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.

NPV(50%) = 333,33

NPV(55%) = −789,84

Eingrenzen

Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.

IRR ≈ 50 + 5·333,33/(333,33 − (−789,84)) = 51,48%

exakt: NPV(51,43%) = 0 → IRR = 51,43%

Antwort

IRR = 51,43%

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