Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du brauchst €15 000 in 3 Jahren. Ein Konto bringt 3 % pro Jahr bei vierteljährlicher Verzinsung. Wie viel musst du heute einzahlen? Bestimme den Barwert PV.

FV = €15 0003% / 4n = 3

PV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du möchtest in 18 Jahren €25 000 haben. Du sparst am Ende jedes Monats denselben Betrag auf einem Konto mit 3 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Bestimme die monatliche Einzahlung A.

FV = €25 0003% / 12N = 216

A = €

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 6% in zwei halbjährlichen Raten und wird in 9 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 5% pro Jahr. Bestimme den Kurs P der Anleihe.

F = €1 000Kuponsatz = 6%YTM = 5%n = 9

P = €

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 5% wird in 3 Jahren fällig und kostet €935. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 5%n = 3P = €935

YTM = %

5.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €2 000 000 und Fremdkapital im Wert von €6 000 000. Seine Eigenkapitalkosten betragen 8%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 5% und der Steuersatz 28%. Bestimme den WACC.

E = €2 000 000D = €6 000 000r_e = 8%r_d = 5%T = 28%

WACC = %

6.CAPM & WACCSchwer

Das Geschäft eines Unternehmens hat ein unverschuldetes Beta (Asset-Beta) von 0,9. Es plant einen Verschuldungsgrad D/E von 0,6. Der Steuersatz beträgt 20%, der risikolose Zinssatz 1,5% und die Marktrisikoprämie 5%. Bestimme die Eigenkapitalkosten r_e bei der neuen Kapitalstruktur.

β_U = 0,9D/E = 0,6T = 20%r_f = 1,5%r_m − r_f = 5%

r_e = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Maschine kostet heute €100 000. Sie erwirtschaftet 7 Jahre lang am Ende jedes Jahres €16 500 und kann danach für €10 000 verkauft werden. Die Kapitalkosten betragen 8 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

C₀ = €100 000CF = €16 500S = €10 000n = 7r = 8%

NPV = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Eine Investition von €50 000 bringt 8 Jahre lang am Ende jedes Jahres €8 500. Bestimme ihren internen Zinsfuß IRR in Prozent.

C₀ = €50 000CF = €8 500n = 8

IRR = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: PV = 13714 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = 0,03/4 = 0,0075

N = 4·3 = 12

Barwert

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1,094 = €13 713,57

Antwort

PV = €13 713,57

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: A = 87,43 €

Monatszins und Anzahl der Einzahlungen

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·18 = 216

Einzahlung

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 25 000·0,0025/(1,715 − 1) = €87,43

Antwort

A = €87,43

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: P = 1072 €

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Pro Periode

C = €30,00, i = 0,025, N = 18

Barwert der Kupons

€30,00·(1 − 0,6412)/0,025 = €430,60

Barwert des Nennwerts

€1 000·0,6412 = €641,17

Kurs

P = €1 071,77

Antwort

P = €1 071,77

Die Rendite liegt unter dem Kuponsatz, also notiert die Anleihe über pari.

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 7,499 %

Gleichung für die Rendite

€935 = €50·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

Numerisch lösen

P(7%) = €947,51, P(8%) = €922,69

YTM = 7,499%

Antwort

YTM = 7,499%

5.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 4,7 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €8 000 000, E/V = 0,25, D/V = 0,75

WACC

WACC = 0,25·8% + 0,75·5%·(1 − 0,28) = 4,7%

Antwort

WACC = 4,7%

6.CAPM & WACC

Antwort: r_e = 8,16 %

Levered Beta (Hamada): Fremdkapital macht das Eigenkapital riskanter. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), wobei β_U das Beta des Geschäfts ohne Fremdkapital ist. Um ein Beta auf eine andere Kapitalstruktur zu übertragen, entschulde es zuerst und verschulde es dann beim neuen D/E wieder.

Verschuldetes Beta

β_L = 0,9·(1 + 0,8·0,6) = 1,332

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 1,5% + 1,332·5% = 8,16%

Antwort

r_e = 8,16%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = −8260 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert der jährlichen Zahlungen

16 500·5,206 = 85 905,11

Barwert des Restwerts

10 000/1,714 = 5 834,90

NPV

NPV = −100 000 + 85 905,11 + 5 834,90 = −€8 259,99

Antwort

NPV = −€8 259,99

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: IRR = 7,389 %

Erforderlicher Rentenbarwertfaktor

(1 − (1 + i)⁻⁸)/i = 50 000/8 500 = 5,882

Nach dem Zinssatz auflösen

Der Rentenbarwertfaktor sinkt, wenn der Zinssatz steigt; schließe den Zinssatz ein und grenze ihn ein.

i = 7%: 5,971

i = 8%: 5,747

IRR = 7,389%

Antwort

IRR = 7,389%

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