Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du brauchst €5 000 in 4 Jahren. Ein Konto bringt 3,6 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Wie viel musst du heute einzahlen? Bestimme den Barwert PV.

FV = €5 0003,6% / 12n = 4

PV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Eine Hypothek von €300 000 wird über 20 Jahre mit gleichen Monatsraten bei 2,4 % pro Jahr und monatlicher Verzinsung getilgt. Wie viel ist direkt nach der Rate am Ende von Jahr 12 noch geschuldet? Bestimme die Restschuld B.

P = €300 0002,4% / 12N = 240k = 144

B = €

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Du kaufst eine Anleihe mit 11 Jahren Restlaufzeit (Nennwert €1 000, jährlicher Kupon 5%), wenn ihre Rendite bis zur Fälligkeit 3% beträgt. Ein Jahr später, direkt nach Erhalt des ersten Kupons, verkaufst du sie bei einer Rendite bis zur Fälligkeit von 4,5%. Bestimme deine Haltedauerrendite HPR in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 5%n = 11y₀ = 3%y₁ = 4,5%

HPR = %

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 2% in zwei Halbjahresraten und wird in 5 Jahren fällig. Sie wird für €757 verkauft. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM als Jahreszins (das Doppelte der Halbjahresrendite) in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 2% (2×)n = 5P = €757

YTM = %

5.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €3 000 000 und Fremdkapital im Wert von €1 000 000. Sein WACC beträgt 7,54%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 4,5% und der Steuersatz 30%. Bestimme die Eigenkapitalkosten r_e.

E = €3 000 000D = €1 000 000WACC = 7,54%r_d = 4,5%T = 30%

r_e = %

6.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat 4 000 000 Aktien zu je €28,00 und 40 000 Anleihen mit einem Kurs von je €980. Die Fremdkapitalkosten vor Steuern betragen 4,5% und der Steuersatz 25,8%. Das Beta der Aktie ist 1,5, der risikofreie Zinssatz 2% und die Marktrendite 9%. Bestimme den WACC.

β = 1,5r_f = 2%r_m = 9%r_d = 4,5%T = 25,8%

WACC = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Ein Projekt kostet heute €400 000. Es erwirtschaftet am Ende des ersten Jahres €32 000, danach wächst der Zahlungsüberschuss für immer um 2 % pro Jahr. Die Kapitalkosten betragen 11 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

C₀ = €400 000CF₁ = €32 000g = 2%r = 11%

NPV = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €10 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 €5 500, €4 000, €6 000. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.

CF₀ = −10 000CF₁ = 5 500CF₂ = 4 000CF₃ = 6 000

IRR = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: PV = 4330 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·4 = 48

Barwert

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1,155 = €4 330,37

Antwort

PV = €4 330,37

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: B = 137458 €

Monatliche Rate

i = 0,002, N = 240

A = 300 000·0,002/(1 − (1 + 0,002)⁻²⁴⁰) = €1 575,13

Barwert der verbleibenden Raten

Was noch geschuldet wird, muss genau durch die verbleibenden Raten getilgt werden.

N − k = 240 − 144 = 96

B = 1575·(1 − (1 + 0,002)⁻⁹⁶)/0,002 = €137 457,92

Antwort

B = €137 457,92

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: HPR = −8,058 %

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Kaufpreis

C = €50,00, i = 0,03, N = 11

€50,00·(1 − 0,7224)/0,03 + €1 000·0,7224 = €462,63 + €722,42 = €1 185,05

Verkaufspreis

C = €50,00, i = 0,045, N = 10

€50,00·(1 − 0,6439)/0,045 + €1 000·0,6439 = €395,64 + €643,93 = €1 039,56

Haltedauerrendite

HPR = (50 + 1 039,56 − 1 185,05)/1 185,05 = −8,058%

Antwort

HPR = −8,058%

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 7,991 %

Pro Periode

C = €10,00, N = 10

Numerisch lösen

i = 3,995% pro Halbjahr

YTM

YTM = 2·3,995% = 7,991%

Antwort

YTM = 7,991%

5.CAPM & WACC

Antwort: r_e = 9,003 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €4 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25

Fremdkapitalanteil am WACC

0,25·4,5%·(1 − 0,3) = 0,7875%

Eigenkapitalkosten

r_e = (7,54% − 0,7875%)/0,75 = 9,003%

Antwort

r_e = 9,003%

6.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 10,12 %

Marktwerte

E = 4 000 000·€28,00 = €112 000 000

D = 40 000·€980 = €39 200 000

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 2% + 1,5·7% = 12,5%

Gewichte

V = €151 200 000, E/V = 0,7407, D/V = 0,2593

WACC

WACC = 0,7407·12,5% + 0,2593·4,5%·(1 − 0,258) = 10,12%

Antwort

WACC = 10,12%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = −44444 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Wert der Zahlungen

PV = 32 000/(0,11 − 0,02) = 355 555,56

NPV

NPV = 355 555,56 − 400 000 = −€44 444,44

Antwort

NPV = −€44 444,44

Der Kapitalwert ist negativ, das Projekt verdient also weniger als die geforderte Rendite.

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: IRR = 25,21 %

Den IRR eingrenzen

Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.

NPV(25%) = 32,00

NPV(30%) = −671,37

Eingrenzen

Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.

IRR ≈ 25 + 5·32,00/(32,00 − (−671,37)) = 25,23%

exakt: NPV(25,21%) = 0 → IRR = 25,21%

Antwort

IRR = 25,21%

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