Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du legst €3 000 zu einem Nominalzins von 4,8 % pro Jahr mit monatlicher Verzinsung an. Bestimme den Wert FV der Anlage nach 6 Jahren.

PV = €3 0004,8% / 12n = 6

FV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du zahlst 28 Jahre lang am Anfang jedes Jahres €3 000 ein, die erste Einzahlung heute. Das Konto bringt 6 % pro Jahr. Wie viel ist am Ende von Jahr 28 auf dem Konto? Bestimme FV.

A = €3 000i = 6%n = 28

FV = €

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 3% in zwei halbjährlichen Raten und wird in 10 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 7% pro Jahr. Bestimme den Kurs P der Anleihe.

F = €1 000Kuponsatz = 3%YTM = 7%n = 10

P = €

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 4% wird in 6 Jahren fällig und kostet €1 085. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 4%n = 6P = €1 085

YTM = %

5.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat einen Verschuldungsgrad (zu Marktwerten) von D/E = 0,6. Seine Eigenkapitalkosten betragen 9%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 3,5% und der Steuersatz 28%. Bestimme den WACC.

D/E = 0,6r_e = 9%r_d = 3,5%T = 28%

WACC = %

6.CAPM & WACCSchwer

Die Aktien eines Unternehmens haben beim aktuellen Verschuldungsgrad D/E von 0,5 ein Beta von 1,1. Es plant, den Verschuldungsgrad auf 0,75 zu erhöhen. Der Steuersatz beträgt 25,8%, der risikolose Zinssatz 1% und die Marktrisikoprämie 5,5%. Bestimme die Eigenkapitalkosten r_e nach der Änderung.

β_L = 1,1D/E₁ = 0,5D/E₂ = 0,75T = 25,8%r_f = 1%r_m − r_f = 5,5%

r_e = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Investition von €75 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 4 diese Zahlungen: €26 000, €34 000, €35 000, €29 000. Die Kapitalkosten betragen 15 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 15%CF₀ = −75 000CF₁ = 26 000CF₂ = 34 000CF₃ = 35 000CF₄ = 29 000

NPV = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €25 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 €11 000, €9 500, €11 000. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.

CF₀ = −25 000CF₁ = 11 000CF₂ = 9 500CF₃ = 11 000

IRR = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 3999 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = r/m = 0,048/12 = 0,004

N = m·n = 12·6 = 72

Endwert

FV = 3 000·(1 + 0,004)⁷² = 3 000·1,333 = €3 998,97

Antwort

FV = €3 998,97

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 217919 €

Endwertfaktor der nachschüssigen Rente

((1 + 0,06)²⁸ − 1)/0,06 = 68,53

Vorschüssige Rente

Jede Einzahlung ist ein Jahr länger angelegt.

FV = 3 000·68,53·1,06 = €217 919,39

Antwort

FV = €217 919,39

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: P = 715,8 €

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Pro Periode

C = €15,00, i = 0,035, N = 20

Barwert der Kupons

€15,00·(1 − 0,5026)/0,035 = €213,19

Barwert des Nennwerts

€1 000·0,5026 = €502,57

Kurs

P = €715,75

Antwort

P = €715,75

Die Rendite liegt über dem Kuponsatz, also notiert die Anleihe unter pari.

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 2,459 %

Gleichung für die Rendite

€1 085 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

Numerisch lösen

P(2%) = €1 112,03, P(3%) = €1 054,17

YTM = 2,459%

Antwort

YTM = 2,459%

5.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 6,57 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte aus D/E

E/V = 1/(1 + 0,6) = 0,625

D/V = 0,6/(1 + 0,6) = 0,375

WACC

WACC = 0,625·9% + 0,375·3,5%·(1 − 0,28) = 6,57%

Antwort

WACC = 6,57%

6.CAPM & WACC

Antwort: r_e = 7,869 %

Levered Beta (Hamada): Fremdkapital macht das Eigenkapital riskanter. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), wobei β_U das Beta des Geschäfts ohne Fremdkapital ist. Um ein Beta auf eine andere Kapitalstruktur zu übertragen, entschulde es zuerst und verschulde es dann beim neuen D/E wieder.

Das Beta entschulden

β_U = 1,1/(1 + 0,742·0,5) = 0,8023

Beim neuen D/E wieder verschulden

β_L = 0,8023·(1 + 0,742·0,75) = 1,249

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 1% + 1,249·5,5% = 7,869%

Antwort

r_e = 7,869%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = 12911 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,15)¹ = 26 000/1,15 = 22 608,70

CF₂/(1 + 0,15)² = 34 000/1,322 = 25 708,88

CF₃/(1 + 0,15)³ = 35 000/1,521 = 23 013,07

CF₄/(1 + 0,15)⁴ = 29 000/1,749 = 16 580,84

Addieren

NPV = €12 911,49

Antwort

NPV = €12 911,49

Der Kapitalwert ist positiv, das Projekt verdient also mehr als die geforderte Rendite.

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: IRR = 12,52 %

Den IRR eingrenzen

Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.

NPV(10%) = 1 115,70

NPV(15%) = −1 018,74

Eingrenzen

Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.

IRR ≈ 10 + 5·1 115,70/(1 115,70 − (−1 018,74)) = 12,61%

exakt: NPV(12,52%) = 0 → IRR = 12,52%

Antwort

IRR = 12,52%

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