Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Eine Immobilie soll im nächsten Jahr eine Nettomiete von €8 000 erzielen. Die Miete soll für immer um 1 % pro Jahr wachsen. Die geforderte Rendite beträgt 4 % pro Jahr. Bestimme den heutigen Wert PV der Immobilie.

C₁ = €8 000g = 1%r = 4%

PV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Ein Darlehen von €150 000 wird über 30 Jahre mit gleichen Monatsraten bei 4,2 % pro Jahr und monatlicher Verzinsung getilgt. Wie viel Zinsen I werden über die gesamte Laufzeit gezahlt?

P = €150 0004,2% / 12N = 360

I = €

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 wird in 8 Jahren fällig und zahlt jährliche Kupons. Sie wird bei einer Rendite bis zur Fälligkeit von 9% für €723 verkauft. Bestimme den Kuponsatz c in Prozent.

F = €1 000n = 8P = €723YTM = 9%

c = %

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 4% wird in 7 Jahren fällig und kostet €915. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 4%n = 7P = €915

YTM = %

5.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €3 000 000 und Fremdkapital im Wert von €4 000 000. Sein WACC beträgt 8,4%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 6% und der Steuersatz 30%. Bestimme die Eigenkapitalkosten r_e.

E = €3 000 000D = €4 000 000WACC = 8,4%r_d = 6%T = 30%

r_e = %

6.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat Eigenkapital mit einem Marktwert von €6 000 000 und Eigenkapitalkosten von 9%. Sein Fremdkapital besteht aus 8 000 Anleihen (Nennwert €1 000, jährlicher Kupon 7%, 10 Jahre Restlaufzeit), die jeweils bei €902 notieren. Der Steuersatz beträgt 28%. Bestimme den WACC, mit der Rendite bis zur Fälligkeit der Anleihen als Fremdkapitalkosten vor Steuern.

E = €6 000 000r_e = 9%Anleihen: 8 000 × €902Kuponsatz = 7%n = 10T = 28%

WACC = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Maschine kostet heute €50 000. Sie erwirtschaftet 8 Jahre lang am Ende jedes Jahres €7 000 und kann danach für €5 000 verkauft werden. Die Kapitalkosten betragen 8 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

C₀ = €50 000CF = €7 000S = €5 000n = 8r = 8%

NPV = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Projekt A kostet €10 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 jeweils €5 500, €4 000, €2 500. Projekt B kostet €20 000 und bringt €5 000, €8 000, €10 000. Bestimme den Schnittpunktzins (Fisher-Zins) r*, bei dem beide Projekte denselben Kapitalwert haben, in Prozent.

A: −10 000, 5 500, 4 000, 2 500B: −20 000, 5 000, 8 000, 10 000

r* = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: PV = 266667 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Wachsende ewige Rente

PV = C₁/(r − g) = 8 000/(0,04 − 0,01) = 8 000/0,03 = €266 666,67

Antwort

PV = €266 666,67

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: I = 114069 €

Monatliche Rate

i = 0,0035, N = 360

A = 150 000·0,0035/(1 − (1 + 0,0035)⁻³⁶⁰) = €733,53

Gesamtzinsen

I = N·A − P = 360·733,5 − 150 000 = €114 069,27

Antwort

I = €114 069,27

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: c = 3,995 %

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Barwert des Nennwerts

1000·(1 + 0,09)⁻⁸ = €501,87

Kupon

C = (723 − 501,87)/5,535 = €39,95

Kuponsatz

c = 39,95/1000 = 3,995%

Antwort

c = 3,995%

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 5,495 %

Gleichung für die Rendite

€915 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

Numerisch lösen

P(5%) = €942,14, P(6%) = €888,35

YTM = 5,495%

Antwort

YTM = 5,495%

5.CAPM & WACC

Antwort: r_e = 14 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €7 000 000, E/V = 0,4286, D/V = 0,5714

Fremdkapitalanteil am WACC

0,5714·6%·(1 − 0,3) = 2,4%

Eigenkapitalkosten

r_e = (8,4% − 2,4%)/0,4286 = 14%

Antwort

r_e = 14%

6.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 7,425 %

Fremdkapitalkosten (YTM)

902 = 70·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + 1000/(1 + y)¹⁰

y = 8,493%

Marktwerte

D = 8 000·€902 = €7 216 000

V = €13 216 000, E/V = 0,454, D/V = 0,546

WACC

WACC = 0,454·9% + 0,546·8,493%·(1 − 0,28) = 7,425%

Antwort

WACC = 7,425%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = −7072 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert der jährlichen Zahlungen

7 000·5,747 = 40 226,47

Barwert des Restwerts

5 000/1,851 = 2 701,34

NPV

NPV = −50 000 + 40 226,47 + 2 701,34 = −€7 072,18

Antwort

NPV = −€7 072,18

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: r* = 3,559 %

Schnittpunktzins (Fisher-Zins): der Kalkulationszins, bei dem zwei Projekte denselben Kapitalwert haben. Er ist der interne Zinsfuß der Differenz ihrer Zahlungen (B − A). Darunter hat das Projekt mit den späteren, größeren Zahlungen den höheren Kapitalwert; darüber gewinnt das andere.

Differenz der Zahlungen

ΔCF₀ = −20 000 − (−10 000) = −10 000

ΔCF₁ = 5 000 − 5 500 = −500

ΔCF₂ = 8 000 − 4 000 = 4 000

ΔCF₃ = 10 000 − 2 500 = 7 500

Interner Zinsfuß der Differenz

NPV_Δ(3%) = 148,51

NPV_Δ(4%) = −115,07

r* = 3,559%

Antwort

r* = 3,559%

Probe: Bei 3,559% betragen beide Kapitalwerte €1 291,79.

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