Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du brauchst €10 000 in 2 Jahren. Ein Konto bringt 4 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Wie viel musst du heute einzahlen? Bestimme den Barwert PV.

FV = €10 0004% / 12n = 2

PV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du sparst 11 Jahre lang am Ende jedes Monats €300. Das Konto bringt 5,4 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Wie viel hast du am Ende gespart? Bestimme FV.

A = €3005,4% / 12N = 132

FV = €

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 4,5% in zwei halbjährlichen Raten und wird in 10 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 7% pro Jahr. Bestimme den Kurs P der Anleihe.

F = €1 000Kuponsatz = 4,5%YTM = 7%n = 10

P = €

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 5% wird in 9 Jahren fällig und kostet €1 115. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 5%n = 9P = €1 115

YTM = %

5.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen ist finanziert mit Stammaktien im Wert von €8 000 000, Vorzugsaktien im Wert von €1 500 000 und Fremdkapital im Wert von €2 000 000. Die Eigenkapitalkosten betragen 13%, die Kosten der Vorzugsaktien 8% und die Fremdkapitalkosten vor Steuern 4,5%. Der Steuersatz beträgt 21%. Bestimme den WACC.

E = €8 000 000P_s = €1 500 000D = €2 000 000r_e = 13%r_p = 8%r_d = 4,5%T = 21%

WACC = %

6.CAPM & WACCSchwer

Das Geschäft eines Unternehmens hat ein unverschuldetes Beta (Asset-Beta) von 0,8. Es plant einen Verschuldungsgrad D/E von 0,25. Der Steuersatz beträgt 25%, der risikolose Zinssatz 2,5% und die Marktrisikoprämie 6,5%. Bestimme die Eigenkapitalkosten r_e bei der neuen Kapitalstruktur.

β_U = 0,8D/E = 0,25T = 25%r_f = 2,5%r_m − r_f = 6,5%

r_e = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Maschine kostet heute €100 000. Sie erwirtschaftet 7 Jahre lang am Ende jedes Jahres €18 500 und kann danach für €20 000 verkauft werden. Die Kapitalkosten betragen 10 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

C₀ = €100 000CF = €18 500S = €20 000n = 7r = 10%

NPV = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €20 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 €11 500, €9 500, €12 500. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.

CF₀ = −20 000CF₁ = 11 500CF₂ = 9 500CF₃ = 12 500

IRR = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: PV = 9232 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = 0,04/12 = 0,003333

N = 12·2 = 24

Barwert

PV = FV/(1 + i)^N = 10 000/1,083 = €9 232,39

Antwort

PV = €9 232,39

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 53920 €

Monatszins und Anzahl der Einzahlungen

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·11 = 132

Endwert der Einzahlungen

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(1,809 − 1)/0,0045 = €53 920,46

Antwort

FV = €53 920,46

Du hast selbst €39 600 eingezahlt; der Rest sind Zinsen.

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: P = 822,3 €

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Pro Periode

C = €22,50, i = 0,035, N = 20

Barwert der Kupons

€22,50·(1 − 0,5026)/0,035 = €319,78

Barwert des Nennwerts

€1 000·0,5026 = €502,57

Kurs

P = €822,34

Antwort

P = €822,34

Die Rendite liegt über dem Kuponsatz, also notiert die Anleihe unter pari.

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 3,489 %

Gleichung für die Rendite

€1 115 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

Numerisch lösen

P(3%) = €1 155,72, P(4%) = €1 074,35

YTM = 3,489%

Antwort

YTM = 3,489%

5.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 10,71 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = 8 000 000 + 1 500 000 + 2 000 000 = €11 500 000

E/V = 0,6957, P_s/V = 0,1304, D/V = 0,1739

WACC

WACC = 0,6957·13% + 0,1304·8% + 0,1739·4,5%·(1 − 0,21) = 10,71%

Antwort

WACC = 10,71%

6.CAPM & WACC

Antwort: r_e = 8,675 %

Levered Beta (Hamada): Fremdkapital macht das Eigenkapital riskanter. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), wobei β_U das Beta des Geschäfts ohne Fremdkapital ist. Um ein Beta auf eine andere Kapitalstruktur zu übertragen, entschulde es zuerst und verschulde es dann beim neuen D/E wieder.

Verschuldetes Beta

β_L = 0,8·(1 + 0,75·0,25) = 0,95

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 2,5% + 0,95·6,5% = 8,675%

Antwort

r_e = 8,675%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = 328,9 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert der jährlichen Zahlungen

18 500·4,868 = 90 065,75

Barwert des Restwerts

20 000/1,949 = 10 263,16

NPV

NPV = −100 000 + 90 065,75 + 10 263,16 = €328,91

Antwort

NPV = €328,91

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: IRR = 30,55 %

Den IRR eingrenzen

Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.

NPV(30%) = 157,03

NPV(35%) = −1 188,34

Eingrenzen

Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.

IRR ≈ 30 + 5·157,03/(157,03 − (−1 188,34)) = 30,58%

exakt: NPV(30,55%) = 0 → IRR = 30,55%

Antwort

IRR = 30,55%

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