Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Eine Rente zahlt am Ende jedes Jahres €8 000, 19 Jahre lang. Der Zinssatz beträgt 7 % pro Jahr. Bestimme den Barwert PV der Rente.

A = €8 000i = 7%n = 19

PV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Ein Darlehen von €200 000 wird über 30 Jahre mit gleichen Monatsraten bei 4,2 % pro Jahr und monatlicher Verzinsung getilgt. Wie viel Zinsen I werden über die gesamte Laufzeit gezahlt?

P = €200 0004,2% / 12N = 360

I = €

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 4% in zwei halbjährlichen Raten und wird in 5 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 3,5% pro Jahr. Bestimme den Kurs P der Anleihe.

F = €1 000Kuponsatz = 4%YTM = 3,5%n = 5

P = €

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 3% wird in 5 Jahren fällig und kostet €955. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 3%n = 5P = €955

YTM = %

5.CAPM & WACCMittel

Eine Aktie mit einem Beta von 0,8 hat eine geforderte Rendite von 6,6%. Der risikolose Zinssatz beträgt 3%. Welche erwartete Marktrendite r_m folgt aus dem CAPM?

β = 0,8r_e = 6,6%r_f = 3%

r_m = %

6.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat Eigenkapital mit einem Marktwert von €8 000 000 und Eigenkapitalkosten von 14%. Sein Fremdkapital besteht aus 5 000 Anleihen (Nennwert €1 000, jährlicher Kupon 5%, 8 Jahre Restlaufzeit), die jeweils bei €1 033 notieren. Der Steuersatz beträgt 25%. Bestimme den WACC, mit der Rendite bis zur Fälligkeit der Anleihen als Fremdkapitalkosten vor Steuern.

E = €8 000 000r_e = 14%Anleihen: 5 000 × €1 033Kuponsatz = 5%n = 8T = 25%

WACC = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Investition von €75 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 diese Zahlungen: €28 000, €22 000, €28 000. Die Kapitalkosten betragen 10 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 10%CF₀ = −75 000CF₁ = 28 000CF₂ = 22 000CF₃ = 28 000

NPV = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €10 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 4 jeweils €6 000, €4 000, €3 500, €5 000. Die Zahlungen können zu den Kapitalkosten von 12 % wieder angelegt werden. Bestimme den modifizierten internen Zinsfuß MIRR in Prozent.

r = 12%CF₀ = −10 000CF₁ = 6 000CF₂ = 4 000CF₃ = 3 500CF₄ = 5 000

MIRR = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: PV = 82685 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Rentenbarwertfaktor

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,2765)/0,07 = 10,34

Barwert

PV = 8 000·10,34 = €82 684,76

Antwort

PV = €82 684,76

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: I = 152092 €

Monatliche Rate

i = 0,0035, N = 360

A = 200 000·0,0035/(1 − (1 + 0,0035)⁻³⁶⁰) = €978,03

Gesamtzinsen

I = N·A − P = 360·978 − 200 000 = €152 092,37

Antwort

I = €152 092,37

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: P = 1023 €

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Pro Periode

C = €20,00, i = 0,0175, N = 10

Barwert der Kupons

€20,00·(1 − 0,8407)/0,0175 = €182,02

Barwert des Nennwerts

€1 000·0,8407 = €840,73

Kurs

P = €1 022,75

Antwort

P = €1 022,75

Die Rendite liegt unter dem Kuponsatz, also notiert die Anleihe über pari.

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 4,011 %

Gleichung für die Rendite

€955 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

Numerisch lösen

P(4%) = €955,48, P(5%) = €913,41

YTM = 4,011%

Antwort

YTM = 4,011%

5.CAPM & WACC

Antwort: r_m = 7,5 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Marktrisikoprämie

r_m − r_f = (6,6% − 3%)/0,8 = 4,5%

Marktrendite

r_m = 3% + 4,5% = 7,5%

Antwort

r_m = 7,5%

6.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 9,831 %

Fremdkapitalkosten (YTM)

1033 = 50·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + 1000/(1 + y)⁸

y = 4,5%

Marktwerte

D = 5 000·€1 033 = €5 165 000

V = €13 165 000, E/V = 0,6077, D/V = 0,3923

WACC

WACC = 0,6077·14% + 0,3923·4,5%·(1 − 0,25) = 9,831%

Antwort

WACC = 9,831%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = −10327 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 28 000/1,1 = 25 454,55

CF₂/(1 + 0,1)² = 22 000/1,21 = 18 181,82

CF₃/(1 + 0,1)³ = 28 000/1,331 = 21 036,81

Addieren

NPV = €−10 326,82

Antwort

NPV = €−10 326,82

Der Kapitalwert ist negativ, das Projekt verdient also weniger als die geforderte Rendite.

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: MIRR = 22,29 %

Modifizierter interner Zinsfuß: Zinse jede Einzahlung mit dem Wiederanlagezins (meist den Kapitalkosten) bis zum Projektende auf, um den Endwert TV zu erhalten. Der MIRR ist der Zinssatz, der die Anfangsinvestition in TV überführt: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Endwert der Einzahlungen

6 000·1,12³ = 8 429,57

4 000·1,12² = 5 017,60

3 500·1,12¹ = 3 920,00

5 000·1,12⁰ = 5 000,00

TV = 22 367,17

MIRR

MIRR = (22 367,17/10 000)^1/4 − 1 = 22,29%

Antwort

MIRR = 22,29%

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