Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du legst €20 000 zu einem Nominalzins von 4,8 % pro Jahr mit vierteljährlicher Verzinsung an. Bestimme den Wert FV der Anlage nach 10 Jahren.

PV = €20 0004,8% / 4n = 10

FV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du sparst 19 Jahre lang am Ende jedes Monats €200. Das Konto bringt 2,4 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Wie viel hast du am Ende gespart? Bestimme FV.

A = €2002,4% / 12N = 228

FV = €

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Du kaufst eine Anleihe mit 3 Jahren Restlaufzeit (Nennwert €1 000, jährlicher Kupon 3%), wenn ihre Rendite bis zur Fälligkeit 8% beträgt. Ein Jahr später, direkt nach Erhalt des ersten Kupons, verkaufst du sie bei einer Rendite bis zur Fälligkeit von 7%. Bestimme deine Haltedauerrendite HPR in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 3%n = 3y₀ = 8%y₁ = 7%

HPR = %

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 4% wird in 4 Jahren fällig und kostet €1 055. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 4%n = 4P = €1 055

YTM = %

5.CAPM & WACCMittel

Eine Aktie mit einem Beta von 1,2 hat eine geforderte Rendite von 9,4%. Der risikolose Zinssatz beträgt 1%. Welche erwartete Marktrendite r_m folgt aus dem CAPM?

β = 1,2r_e = 9,4%r_f = 1%

r_m = %

6.CAPM & WACCSchwer

Die Aktien eines Unternehmens haben beim aktuellen Verschuldungsgrad D/E von 0,2 ein Beta von 1,5. Es plant, den Verschuldungsgrad auf 0,75 zu erhöhen. Der Steuersatz beträgt 21%, der risikolose Zinssatz 3,5% und die Marktrisikoprämie 7%. Bestimme die Eigenkapitalkosten r_e nach der Änderung.

β_L = 1,5D/E₁ = 0,2D/E₂ = 0,75T = 21%r_f = 3,5%r_m − r_f = 7%

r_e = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Maschine kostet heute €100 000. Sie erwirtschaftet 5 Jahre lang am Ende jedes Jahres €20 000 und kann danach für €10 000 verkauft werden. Die Kapitalkosten betragen 8 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

C₀ = €100 000CF = €20 000S = €10 000n = 5r = 8%

NPV = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet heute €80 000. Seine Zahlung beträgt €12 000 am Ende von Jahr 1 und wächst um 2 % pro Jahr bis zur letzten Zahlung am Ende von Jahr 8. Die Kapitalkosten betragen 10 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

C₀ = €80 000CF₁ = €12 000g = 2%n = 8r = 10%

NPV = €

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 32229 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = r/m = 0,048/4 = 0,012

N = m·n = 4·10 = 40

Endwert

FV = 20 000·(1 + 0,012)⁴⁰ = 20 000·1,611 = €32 229,27

Antwort

FV = €32 229,27

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 57703 €

Monatszins und Anzahl der Einzahlungen

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·19 = 228

Endwert der Einzahlungen

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 200·(1,577 − 1)/0,002 = €57 703,20

Antwort

FV = €57 703,20

Du hast selbst €45 600 eingezahlt; der Rest sind Zinsen.

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: HPR = 9,933 %

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Kaufpreis

C = €30,00, i = 0,08, N = 3

€30,00·(1 − 0,7938)/0,08 + €1 000·0,7938 = €77,31 + €793,83 = €871,15

Verkaufspreis

C = €30,00, i = 0,07, N = 2

€30,00·(1 − 0,8734)/0,07 + €1 000·0,8734 = €54,24 + €873,44 = €927,68

Haltedauerrendite

HPR = (30 + 927,68 − 871,15)/871,15 = 9,933%

Antwort

HPR = 9,933%

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 2,537 %

Gleichung für die Rendite

€1 055 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴

Numerisch lösen

P(2%) = €1 076,15, P(3%) = €1 037,17

YTM = 2,537%

Antwort

YTM = 2,537%

5.CAPM & WACC

Antwort: r_m = 8 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Marktrisikoprämie

r_m − r_f = (9,4% − 1%)/1,2 = 7%

Marktrendite

r_m = 1% + 7% = 8%

Antwort

r_m = 8%

6.CAPM & WACC

Antwort: r_e = 17,94 %

Levered Beta (Hamada): Fremdkapital macht das Eigenkapital riskanter. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), wobei β_U das Beta des Geschäfts ohne Fremdkapital ist. Um ein Beta auf eine andere Kapitalstruktur zu übertragen, entschulde es zuerst und verschulde es dann beim neuen D/E wieder.

Das Beta entschulden

β_U = 1,5/(1 + 0,79·0,2) = 1,295

Beim neuen D/E wieder verschulden

β_L = 1,295·(1 + 0,79·0,75) = 2,063

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 3,5% + 2,063·7% = 17,94%

Antwort

r_e = 17,94%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = −13340 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert der jährlichen Zahlungen

20 000·3,993 = 79 854,20

Barwert des Restwerts

10 000/1,469 = 6 805,83

NPV

NPV = −100 000 + 79 854,20 + 6 805,83 = −€13 339,97

Antwort

NPV = −€13 339,97

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = −11988 €

Barwert der wachsenden Rente

((1,02)/(1,1))⁸ = 0,5466

PV = 12 000/(0,1 − 0,02)·(1 − 0,5466) = 68 011,84

NPV

NPV = 68 011,84 − 80 000 = −€11 988,16

Antwort

NPV = −€11 988,16

Der Kapitalwert ist negativ, das Projekt verdient also weniger als die geforderte Rendite.

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