Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du legst €2 000 zu 2 % pro Jahr bei stetiger Verzinsung an. Bestimme den Wert FV nach 7 Jahren.

PV = €2 000r = 2%t = 7

FV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du sparst 21 Jahre lang am Ende jedes Monats €100. Das Konto bringt 7,2 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Wie viel hast du am Ende gespart? Bestimme FV.

A = €1007,2% / 12N = 252

FV = €

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Du kaufst eine Anleihe mit 8 Jahren Restlaufzeit (Nennwert €1 000, jährlicher Kupon 7%), wenn ihre Rendite bis zur Fälligkeit 3,5% beträgt. Ein Jahr später, direkt nach Erhalt des ersten Kupons, verkaufst du sie bei einer Rendite bis zur Fälligkeit von 2,5%. Bestimme deine Haltedauerrendite HPR in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 7%n = 8y₀ = 3,5%y₁ = 2,5%

HPR = %

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 8% wird in 4 Jahren fällig und kostet €920. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 8%n = 4P = €920

YTM = %

5.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €10 000 000 und Fremdkapital im Wert von €6 000 000. Seine Eigenkapitalkosten betragen 12%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 3% und der Steuersatz 25,8%. Bestimme den WACC.

E = €10 000 000D = €6 000 000r_e = 12%r_d = 3%T = 25,8%

WACC = %

6.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat 5 000 000 Aktien zu je €52,50 und 40 000 Anleihen mit einem Kurs von je €960. Die Fremdkapitalkosten vor Steuern betragen 7% und der Steuersatz 20%. Das Beta der Aktie ist 1,3, der risikofreie Zinssatz 1,5% und die Marktrendite 7,5%. Bestimme den WACC.

β = 1,3r_f = 1,5%r_m = 7,5%r_d = 7%T = 20%

WACC = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Investition von €20 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 4 diese Zahlungen: €4 000, €7 000, €6 000, €9 000. Die Kapitalkosten betragen 12 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 12%CF₀ = −20 000CF₁ = 4 000CF₂ = 7 000CF₃ = 6 000CF₄ = 9 000

NPV = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €20 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 2 €10 000, €12 500. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.

CF₀ = −20 000CF₁ = 10 000CF₂ = 12 500

IRR = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 2301 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Exponent

r·t = 0,02·7 = 0,14

e^0,14 = 1,15

Endwert

FV = 2 000·1,15 = €2 300,55

Antwort

FV = €2 300,55

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 58589 €

Monatszins und Anzahl der Einzahlungen

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·21 = 252

Endwert der Einzahlungen

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 100·(4,515 − 1)/0,006 = €58 589,12

Antwort

FV = €58 589,12

Du hast selbst €25 200 eingezahlt; der Rest sind Zinsen.

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: HPR = 9,281 %

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Kaufpreis

C = €70,00, i = 0,035, N = 8

€70,00·(1 − 0,7594)/0,035 + €1 000·0,7594 = €481,18 + €759,41 = €1 240,59

Verkaufspreis

C = €70,00, i = 0,025, N = 7

€70,00·(1 − 0,8413)/0,025 + €1 000·0,8413 = €444,46 + €841,27 = €1 285,72

Haltedauerrendite

HPR = (70 + 1 285,72 − 1 240,59)/1 240,59 = 9,281%

Antwort

HPR = 9,281%

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 10,55 %

Gleichung für die Rendite

€920 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴

Numerisch lösen

P(10%) = €936,60, P(11%) = €906,93

YTM = 10,55%

Antwort

YTM = 10,55%

5.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 8,335 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €16 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375

WACC

WACC = 0,625·12% + 0,375·3%·(1 − 0,258) = 8,335%

Antwort

WACC = 8,335%

6.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 8,828 %

Marktwerte

E = 5 000 000·€52,50 = €262 500 000

D = 40 000·€960 = €38 400 000

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 1,5% + 1,3·6% = 9,3%

Gewichte

V = €300 900 000, E/V = 0,8724, D/V = 0,1276

WACC

WACC = 0,8724·9,3% + 0,1276·7%·(1 − 0,2) = 8,828%

Antwort

WACC = 8,828%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = −857,9 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,12)¹ = 4 000/1,12 = 3 571,43

CF₂/(1 + 0,12)² = 7 000/1,254 = 5 580,36

CF₃/(1 + 0,12)³ = 6 000/1,405 = 4 270,68

CF₄/(1 + 0,12)⁴ = 9 000/1,574 = 5 719,66

Addieren

NPV = €−857,87

Antwort

NPV = €−857,87

Der Kapitalwert ist negativ, das Projekt verdient also weniger als die geforderte Rendite.

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: IRR = 7,916 %

Den IRR eingrenzen

Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.

NPV(5%) = 861,68

NPV(10%) = −578,51

Eingrenzen

Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.

IRR ≈ 5 + 5·861,68/(861,68 − (−578,51)) = 7,992%

exakt: NPV(7,916%) = 0 → IRR = 7,916%

Antwort

IRR = 7,916%

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