Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du legst €20 000 zu einem Nominalzins von 4 % pro Jahr mit monatlicher Verzinsung an. Bestimme den Wert FV der Anlage nach 5 Jahren.

PV = €20 0004% / 12n = 5

FV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Ein Darlehen von €15 000 wird über 3 Jahre mit gleichen Monatsraten bei 5,4 % pro Jahr und monatlicher Verzinsung getilgt. Wie viel Zinsen I werden über die gesamte Laufzeit gezahlt?

P = €15 0005,4% / 12N = 36

I = €

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 4% in zwei halbjährlichen Raten und wird in 4 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 5,5% pro Jahr. Bestimme den Kurs P der Anleihe.

F = €1 000Kuponsatz = 4%YTM = 5,5%n = 4

P = €

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 3% wird in 5 Jahren fällig und kostet €1 070. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 3%n = 5P = €1 070

YTM = %

5.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €10 000 000 und Fremdkapital im Wert von €6 000 000. Seine Eigenkapitalkosten betragen 10%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 5% und der Steuersatz 30%. Bestimme den WACC.

E = €10 000 000D = €6 000 000r_e = 10%r_d = 5%T = 30%

WACC = %

6.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat 5 000 000 Aktien zu je €18,00 und 10 000 Anleihen mit einem Kurs von je €1 000. Die Fremdkapitalkosten vor Steuern betragen 4,5% und der Steuersatz 21%. Das Beta der Aktie ist 0,6, der risikofreie Zinssatz 1% und die Marktrendite 6%. Bestimme den WACC.

β = 0,6r_f = 1%r_m = 6%r_d = 4,5%T = 21%

WACC = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Ein Projekt kostet heute €500 000. Es erwirtschaftet am Ende des ersten Jahres €46 000, danach wächst der Zahlungsüberschuss für immer um 4 % pro Jahr. Die Kapitalkosten betragen 11 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

C₀ = €500 000CF₁ = €46 000g = 4%r = 11%

NPV = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Eine Investition von €10 000 bringt 3 Jahre lang am Ende jedes Jahres €4 500. Bestimme ihren internen Zinsfuß IRR in Prozent.

C₀ = €10 000CF = €4 500n = 3

IRR = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 24420 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = r/m = 0,04/12 = 0,003333

N = m·n = 12·5 = 60

Endwert

FV = 20 000·(1 + 0,003333)⁶⁰ = 20 000·1,221 = €24 419,93

Antwort

FV = €24 419,93

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: I = 1281 €

Monatliche Rate

i = 0,0045, N = 36

A = 15 000·0,0045/(1 − (1 + 0,0045)⁻³⁶) = €452,26

Gesamtzinsen

I = N·A − P = 36·452,3 − 15 000 = €1 281,44

Antwort

I = €1 281,44

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: P = 946,8 €

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Pro Periode

C = €20,00, i = 0,0275, N = 8

Barwert der Kupons

€20,00·(1 − 0,8049)/0,0275 = €141,89

Barwert des Nennwerts

€1 000·0,8049 = €804,91

Kurs

P = €946,79

Antwort

P = €946,79

Die Rendite liegt über dem Kuponsatz, also notiert die Anleihe unter pari.

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 1,535 %

Gleichung für die Rendite

€1 070 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

Numerisch lösen

P(1%) = €1 097,07, P(2%) = €1 047,13

YTM = 1,535%

Antwort

YTM = 1,535%

5.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 7,563 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €16 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375

WACC

WACC = 0,625·10% + 0,375·5%·(1 − 0,3) = 7,563%

Antwort

WACC = 7,563%

6.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 3,956 %

Marktwerte

E = 5 000 000·€18,00 = €90 000 000

D = 10 000·€1 000 = €10 000 000

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 1% + 0,6·5% = 4%

Gewichte

V = €100 000 000, E/V = 0,9, D/V = 0,1

WACC

WACC = 0,9·4% + 0,1·4,5%·(1 − 0,21) = 3,956%

Antwort

WACC = 3,956%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = 157143 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Wert der Zahlungen

PV = 46 000/(0,11 − 0,04) = 657 142,86

NPV

NPV = 657 142,86 − 500 000 = €157 142,86

Antwort

NPV = €157 142,86

Der Kapitalwert ist positiv, das Projekt verdient also mehr als die geforderte Rendite.

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: IRR = 16,65 %

Erforderlicher Rentenbarwertfaktor

(1 − (1 + i)⁻³)/i = 10 000/4 500 = 2,222

Nach dem Zinssatz auflösen

Der Rentenbarwertfaktor sinkt, wenn der Zinssatz steigt; schließe den Zinssatz ein und grenze ihn ein.

i = 16%: 2,246

i = 17%: 2,21

IRR = 16,65%

Antwort

IRR = 16,65%

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