Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du legst €5 000 zu 5 % pro Jahr bei stetiger Verzinsung an. Bestimme den Wert FV nach 19 Jahren.

PV = €5 000r = 5%t = 19

FV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du zahlst 5 Jahre lang am Anfang jedes Jahres €5 000 ein, die erste Einzahlung heute. Das Konto bringt 8 % pro Jahr. Wie viel ist am Ende von Jahr 5 auf dem Konto? Bestimme FV.

A = €5 000i = 8%n = 5

FV = €

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 wird in 3 Jahren fällig und zahlt jährliche Kupons. Sie wird bei einer Rendite bis zur Fälligkeit von 9% für €823 verkauft. Bestimme den Kuponsatz c in Prozent.

F = €1 000n = 3P = €823YTM = 9%

c = %

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 6% wird in 9 Jahren fällig und kostet €1 110. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 6%n = 9P = €1 110

YTM = %

5.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €4 000 000 und Fremdkapital im Wert von €6 000 000. Seine Eigenkapitalkosten betragen 10%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 7% und der Steuersatz 21%. Bestimme den WACC.

E = €4 000 000D = €6 000 000r_e = 10%r_d = 7%T = 21%

WACC = %

6.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat 5 000 000 Aktien zu je €28,00 und 5 000 Anleihen mit einem Kurs von je €980. Die Fremdkapitalkosten vor Steuern betragen 5% und der Steuersatz 28%. Das Beta der Aktie ist 0,8, der risikofreie Zinssatz 4% und die Marktrendite 9%. Bestimme den WACC.

β = 0,8r_f = 4%r_m = 9%r_d = 5%T = 28%

WACC = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Ein Projekt kostet heute €50 000 und bringt 5 Jahre lang am Ende jedes Jahres €17 000. Die Kapitalkosten betragen 5 %. Nimm an, dass die Zahlungen gleichmäßig über jedes Jahr eingehen. Bestimme die dynamische Amortisationsdauer DPB in Jahren.

r = 5%CF₀ = −50 000CF₁ = 17 000CF₂ = 17 000CF₃ = 17 000CF₄ = 17 000CF₅ = 17 000

DPB = Jahre

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €20 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 4 jeweils €7 500, €7 500, €11 000, €7 000. Die Zahlungen können zu den Kapitalkosten von 6 % wieder angelegt werden. Bestimme den modifizierten internen Zinsfuß MIRR in Prozent.

r = 6%CF₀ = −20 000CF₁ = 7 500CF₂ = 7 500CF₃ = 11 000CF₄ = 7 000

MIRR = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 12929 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Exponent

r·t = 0,05·19 = 0,95

e^0,95 = 2,586

Endwert

FV = 5 000·2,586 = €12 928,55

Antwort

FV = €12 928,55

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 31680 €

Endwertfaktor der nachschüssigen Rente

((1 + 0,08)⁵ − 1)/0,08 = 5,867

Vorschüssige Rente

Jede Einzahlung ist ein Jahr länger angelegt.

FV = 5 000·5,867·1,08 = €31 679,65

Antwort

FV = €31 679,65

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: c = 2,008 %

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Barwert des Nennwerts

1000·(1 + 0,09)⁻³ = €772,18

Kupon

C = (823 − 772,18)/2,531 = €20,08

Kuponsatz

c = 20,08/1000 = 2,008%

Antwort

c = 2,008%

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 4,488 %

Gleichung für die Rendite

€1 110 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

Numerisch lösen

P(4%) = €1 148,71, P(5%) = €1 071,08

YTM = 4,488%

Antwort

YTM = 4,488%

5.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 7,318 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €10 000 000, E/V = 0,4, D/V = 0,6

WACC

WACC = 0,4·10% + 0,6·7%·(1 − 0,21) = 7,318%

Antwort

WACC = 7,318%

6.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 7,851 %

Marktwerte

E = 5 000 000·€28,00 = €140 000 000

D = 5 000·€980 = €4 900 000

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 4% + 0,8·5% = 8%

Gewichte

V = €144 900 000, E/V = 0,9662, D/V = 0,03382

WACC

WACC = 0,9662·8% + 0,03382·5%·(1 − 0,28) = 7,851%

Antwort

WACC = 7,851%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: DPB = 3,265 Jahre

Amortisationsdauer: die Zeit, bis die kumulierten Zahlungsüberschüsse die Anfangsinvestition zurückgezahlt haben. Man nimmt an, dass das Geld gleichmäßig über jedes Jahr eingeht, der letzte Teil ist also ein Bruchteil eines Jahres. Die statische Amortisationsdauer vernachlässigt den Zeitwert des Geldes; die dynamische Amortisationsdauer verwendet stattdessen die abgezinsten Zahlungen.

Abgezinste und kumulierte Zahlungen

Jahr 1: 17 000/1,05 = 16 190,48 → Σ = 16 190,48

Jahr 2: 17 000/1,103 = 15 419,50 → Σ = 31 609,98

Jahr 3: 17 000/1,158 = 14 685,24 → Σ = 46 295,22

Jahr 4: 17 000/1,216 = 13 985,94 → Σ = 60 281,16

Bruchteil des letzten Jahres

DPB = 3 + 3 704,78/13 985,94 = 3,265

Antwort

DPB = 3,265 Jahre

Die dynamische Amortisationsdauer ist immer länger als die statische (2,941 Jahre).

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: MIRR = 15,84 %

Modifizierter interner Zinsfuß: Zinse jede Einzahlung mit dem Wiederanlagezins (meist den Kapitalkosten) bis zum Projektende auf, um den Endwert TV zu erhalten. Der MIRR ist der Zinssatz, der die Anfangsinvestition in TV überführt: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Endwert der Einzahlungen

7 500·1,06³ = 8 932,62

7 500·1,06² = 8 427,00

11 000·1,06¹ = 11 660,00

7 000·1,06⁰ = 7 000,00

TV = 36 019,62

MIRR

MIRR = (36 019,62/20 000)^1/4 − 1 = 15,84%

Antwort

MIRR = 15,84%

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