Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du legst €8 000 zu einem Nominalzins von 3,6 % pro Jahr mit vierteljährlicher Verzinsung an. Bestimme den Wert FV der Anlage nach 2 Jahren.

PV = €8 0003,6% / 4n = 2

FV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Ein Darlehen von €12 000 wird über 6 Jahre in gleichen Monatsraten zurückgezahlt. Der Zinssatz beträgt 6 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Bestimme die Monatsrate A.

P = €12 0006% / 12N = 72

A = €

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 7% in zwei halbjährlichen Raten und wird in 10 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 3% pro Jahr. Bestimme den Kurs P der Anleihe.

F = €1 000Kuponsatz = 7%YTM = 3%n = 10

P = €

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 4% wird in 7 Jahren fällig und kostet €865. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 4%n = 7P = €865

YTM = %

5.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €12 000 000 und Fremdkapital im Wert von €6 000 000. Seine Eigenkapitalkosten betragen 12%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 5% und der Steuersatz 25%. Bestimme den WACC.

E = €12 000 000D = €6 000 000r_e = 12%r_d = 5%T = 25%

WACC = %

6.CAPM & WACCSchwer

Die Aktien eines Unternehmens haben beim aktuellen Verschuldungsgrad D/E von 0,5 ein Beta von 1,2. Es plant, den Verschuldungsgrad auf 1 zu erhöhen. Der Steuersatz beträgt 25%, der risikolose Zinssatz 4% und die Marktrisikoprämie 6%. Bestimme die Eigenkapitalkosten r_e nach der Änderung.

β_L = 1,2D/E₁ = 0,5D/E₂ = 1T = 25%r_f = 4%r_m − r_f = 6%

r_e = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Investition von €45 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 diese Zahlungen: €19 000, €20 000, €15 000. Die Kapitalkosten betragen 6 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 6%CF₀ = −45 000CF₁ = 19 000CF₂ = 20 000CF₃ = 15 000

NPV = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Projekt A kostet €40 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 jeweils €20 000, €16 000, €9 500. Projekt B kostet €42 000 und bringt €10 500, €16 500, €22 000. Bestimme den Schnittpunktzins (Fisher-Zins) r*, bei dem beide Projekte denselben Kapitalwert haben, in Prozent.

A: −40 000, 20 000, 16 000, 9 500B: −42 000, 10 500, 16 500, 22 000

r* = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 8594 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = r/m = 0,036000000000000004/4 = 0,009

N = m·n = 4·2 = 8

Endwert

FV = 8 000·(1 + 0,009)⁸ = 8 000·1,074 = €8 594,47

Antwort

FV = €8 594,47

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: A = 198,9 €

Monatszins und Anzahl der Raten

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·6 = 72

Rate

Der Barwert von N gleichen Raten A ist A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Setze ihn gleich dem Darlehen und löse nach A auf.

(1 + i)^−N = 0,6983

A = 12 000·0,005/(1 − 0,6983) = €198,87

Antwort

A = €198,87

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: P = 1343 €

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Pro Periode

C = €35,00, i = 0,015, N = 20

Barwert der Kupons

€35,00·(1 − 0,7425)/0,015 = €600,90

Barwert des Nennwerts

€1 000·0,7425 = €742,47

Kurs

P = €1 343,37

Antwort

P = €1 343,37

Die Rendite liegt unter dem Kuponsatz, also notiert die Anleihe über pari.

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 6,458 %

Gleichung für die Rendite

€865 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

Numerisch lösen

P(6%) = €888,35, P(7%) = €838,32

YTM = 6,458%

Antwort

YTM = 6,458%

5.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 9,25 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €18 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·12% + 0,3333·5%·(1 − 0,25) = 9,25%

Antwort

WACC = 9,25%

6.CAPM & WACC

Antwort: r_e = 13,16 %

Levered Beta (Hamada): Fremdkapital macht das Eigenkapital riskanter. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), wobei β_U das Beta des Geschäfts ohne Fremdkapital ist. Um ein Beta auf eine andere Kapitalstruktur zu übertragen, entschulde es zuerst und verschulde es dann beim neuen D/E wieder.

Das Beta entschulden

β_U = 1,2/(1 + 0,75·0,5) = 0,8727

Beim neuen D/E wieder verschulden

β_L = 0,8727·(1 + 0,75·1) = 1,527

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 4% + 1,527·6% = 13,16%

Antwort

r_e = 13,16%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = 3319 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,06)¹ = 19 000/1,06 = 17 924,53

CF₂/(1 + 0,06)² = 20 000/1,124 = 17 799,93

CF₃/(1 + 0,06)³ = 15 000/1,191 = 12 594,29

Addieren

NPV = €3 318,75

Antwort

NPV = €3 318,75

Der Kapitalwert ist positiv, das Projekt verdient also mehr als die geforderte Rendite.

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: r* = 5,901 %

Schnittpunktzins (Fisher-Zins): der Kalkulationszins, bei dem zwei Projekte denselben Kapitalwert haben. Er ist der interne Zinsfuß der Differenz ihrer Zahlungen (B − A). Darunter hat das Projekt mit den späteren, größeren Zahlungen den höheren Kapitalwert; darüber gewinnt das andere.

Differenz der Zahlungen

ΔCF₀ = −42 000 − (−40 000) = −2 000

ΔCF₁ = 10 500 − 20 000 = −9 500

ΔCF₂ = 16 500 − 16 000 = 500

ΔCF₃ = 22 000 − 9 500 = 12 500

Interner Zinsfuß der Differenz

NPV_Δ(5%) = 203,87

NPV_Δ(6%) = −22,02

r* = 5,901%

Antwort

r* = 5,901%

Probe: Bei 5,901% betragen beide Kapitalwerte €1 151,25.

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