Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du legst €3 000 zu einem Nominalzins von 3 % pro Jahr mit vierteljährlicher Verzinsung an. Bestimme den Wert FV der Anlage nach 8 Jahren.

PV = €3 0003% / 4n = 8

FV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du sparst 28 Jahre lang am Ende jedes Monats €300. Das Konto bringt 3 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Wie viel hast du am Ende gespart? Bestimme FV.

A = €3003% / 12N = 336

FV = €

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 4,5% und wird in 7 Jahren fällig. Ihre Rendite bis zur Fälligkeit ändert sich von 7% auf 5%. Um wie viel ΔP ändert sich der Anleihekurs?

F = €1 000Kuponsatz = 4,5%n = 7y₁ = 7%y₂ = 5%

ΔP = €

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 6% wird in 8 Jahren fällig und kostet €910. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 6%n = 8P = €910

YTM = %

5.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat einen Verschuldungsgrad (zu Marktwerten) von D/E = 0,25. Seine Eigenkapitalkosten betragen 12%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 5% und der Steuersatz 21%. Bestimme den WACC.

D/E = 0,25r_e = 12%r_d = 5%T = 21%

WACC = %

6.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat 4 000 000 Aktien zu je €29,00 und 20 000 Anleihen mit einem Kurs von je €980. Die Fremdkapitalkosten vor Steuern betragen 6% und der Steuersatz 21%. Das Beta der Aktie ist 1,5, der risikofreie Zinssatz 3% und die Marktrendite 9%. Bestimme den WACC.

β = 1,5r_f = 3%r_m = 9%r_d = 6%T = 21%

WACC = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Maschine kostet heute €50 000. Sie erwirtschaftet 5 Jahre lang am Ende jedes Jahres €13 000 und kann danach für €12 500 verkauft werden. Die Kapitalkosten betragen 8 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

C₀ = €50 000CF = €13 000S = €12 500n = 5r = 8%

NPV = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Projekt A kostet €20 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 jeweils €11 500, €8 000, €4 500. Projekt B kostet €22 000 und bringt €5 500, €9 500, €12 500. Bestimme den Schnittpunktzins (Fisher-Zins) r*, bei dem beide Projekte denselben Kapitalwert haben, in Prozent.

A: −20 000, 11 500, 8 000, 4 500B: −22 000, 5 500, 9 500, 12 500

r* = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 3810 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = r/m = 0,03/4 = 0,0075

N = m·n = 4·8 = 32

Endwert

FV = 3 000·(1 + 0,0075)³² = 3 000·1,27 = €3 810,33

Antwort

FV = €3 810,33

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 157673 €

Monatszins und Anzahl der Einzahlungen

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·28 = 336

Endwert der Einzahlungen

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(2,314 − 1)/0,0025 = €157 672,81

Antwort

FV = €157 672,81

Du hast selbst €100 800 eingezahlt; der Rest sind Zinsen.

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: ΔP = 105,8 €

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Kurs bei der alten Rendite

C = €45,00, i = 0,07, N = 7

€45,00·(1 − 0,6227)/0,07 + €1 000·0,6227 = €242,52 + €622,75 = €865,27

Kurs bei der neuen Rendite

C = €45,00, i = 0,05, N = 7

€45,00·(1 − 0,7107)/0,05 + €1 000·0,7107 = €260,39 + €710,68 = €971,07

Änderung

ΔP = 971,07 − 865,27 = €105,80

Antwort

ΔP = €105,80

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 7,539 %

Gleichung für die Rendite

€910 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

Numerisch lösen

P(7%) = €940,29, P(8%) = €885,07

YTM = 7,539%

Antwort

YTM = 7,539%

5.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 10,39 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte aus D/E

E/V = 1/(1 + 0,25) = 0,8

D/V = 0,25/(1 + 0,25) = 0,2

WACC

WACC = 0,8·12% + 0,2·5%·(1 − 0,21) = 10,39%

Antwort

WACC = 10,39%

6.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 10,95 %

Marktwerte

E = 4 000 000·€29,00 = €116 000 000

D = 20 000·€980 = €19 600 000

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 3% + 1,5·6% = 12%

Gewichte

V = €135 600 000, E/V = 0,8555, D/V = 0,1445

WACC

WACC = 0,8555·12% + 0,1445·6%·(1 − 0,21) = 10,95%

Antwort

WACC = 10,95%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = 10413 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert der jährlichen Zahlungen

13 000·3,993 = 51 905,23

Barwert des Restwerts

12 500/1,469 = 8 507,29

NPV

NPV = −50 000 + 51 905,23 + 8 507,29 = €10 412,52

Antwort

NPV = €10 412,52

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: r* = 8,551 %

Schnittpunktzins (Fisher-Zins): der Kalkulationszins, bei dem zwei Projekte denselben Kapitalwert haben. Er ist der interne Zinsfuß der Differenz ihrer Zahlungen (B − A). Darunter hat das Projekt mit den späteren, größeren Zahlungen den höheren Kapitalwert; darüber gewinnt das andere.

Differenz der Zahlungen

ΔCF₀ = −22 000 − (−20 000) = −2 000

ΔCF₁ = 5 500 − 11 500 = −6 000

ΔCF₂ = 9 500 − 8 000 = 1 500

ΔCF₃ = 12 500 − 4 500 = 8 000

Interner Zinsfuß der Differenz

NPV_Δ(8%) = 81,11

NPV_Δ(9%) = −64,60

r* = 8,551%

Antwort

r* = 8,551%

Probe: Bei 8,551% betragen beide Kapitalwerte €901,32.

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