Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du brauchst €40 000 in 3 Jahren. Ein Konto bringt 6 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Wie viel musst du heute einzahlen? Bestimme den Barwert PV.

FV = €40 0006% / 12n = 3

PV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du leihst dir €8 000 zu 2,4 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung und zahlst am Ende jedes Monats €100 zurück. Wie viele Monate dauert es, bis das Darlehen getilgt ist (die letzte Rate darf kleiner sein)? Gib die Anzahl der Raten N an.

P = €8 000A = €1002,4% / 12

N = Raten

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 8% in zwei halbjährlichen Raten und wird in 7 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 3,5% pro Jahr. Bestimme den Kurs P der Anleihe.

F = €1 000Kuponsatz = 8%YTM = 3,5%n = 7

P = €

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 4% wird in 6 Jahren fällig und kostet €900. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 4%n = 6P = €900

YTM = %

5.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €12 000 000 und Fremdkapital im Wert von €4 000 000. Seine Eigenkapitalkosten betragen 9%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 3% und der Steuersatz 25%. Bestimme den WACC.

E = €12 000 000D = €4 000 000r_e = 9%r_d = 3%T = 25%

WACC = %

6.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat 2 000 000 Aktien zu je €36,00 und 40 000 Anleihen mit einem Kurs von je €960. Die Fremdkapitalkosten vor Steuern betragen 4% und der Steuersatz 21%. Das Beta der Aktie ist 0,8, der risikofreie Zinssatz 2% und die Marktrendite 8,5%. Bestimme den WACC.

β = 0,8r_f = 2%r_m = 8,5%r_d = 4%T = 21%

WACC = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Investition von €45 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 4 diese Zahlungen: €16 000, €16 000, €11 000, €15 000. Die Kapitalkosten betragen 6 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 6%CF₀ = −45 000CF₁ = 16 000CF₂ = 16 000CF₃ = 11 000CF₄ = 15 000

NPV = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €25 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 €17 000, €14 500, €11 500. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.

CF₀ = −25 000CF₁ = 17 000CF₂ = 14 500CF₃ = 11 500

IRR = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: PV = 33426 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·3 = 36

Barwert

PV = FV/(1 + i)^N = 40 000/1,197 = €33 425,80

Antwort

PV = €33 425,80

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: N = 88 Raten

Die Rentenformel umstellen

i = 0,002

(1 + i)^−N = 1 − 8 000·0,002/100 = 0,84

Mit Logarithmen lösen

N = −ln(0,84)/ln(1,002) = 87,26

Auf ganze Raten aufrunden

87 volle Raten lassen eine kleine Restschuld, die die letzte, kleinere Rate tilgt.

N = 88

Antwort

N = 88 Raten

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: P = 1277 €

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Pro Periode

C = €40,00, i = 0,0175, N = 14

Barwert der Kupons

€40,00·(1 − 0,7844)/0,0175 = €492,88

Barwert des Nennwerts

€1 000·0,7844 = €784,36

Kurs

P = €1 277,25

Antwort

P = €1 277,25

Die Rendite liegt unter dem Kuponsatz, also notiert die Anleihe über pari.

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 6,036 %

Gleichung für die Rendite

€900 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

Numerisch lösen

P(6%) = €901,65, P(7%) = €857,00

YTM = 6,036%

Antwort

YTM = 6,036%

5.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 7,313 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €16 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25

WACC

WACC = 0,75·9% + 0,25·3%·(1 − 0,25) = 7,313%

Antwort

WACC = 7,313%

6.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 5,795 %

Marktwerte

E = 2 000 000·€36,00 = €72 000 000

D = 40 000·€960 = €38 400 000

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 2% + 0,8·6,5% = 7,2%

Gewichte

V = €110 400 000, E/V = 0,6522, D/V = 0,3478

WACC

WACC = 0,6522·7,2% + 0,3478·4%·(1 − 0,21) = 5,795%

Antwort

WACC = 5,795%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = 5451 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,06)¹ = 16 000/1,06 = 15 094,34

CF₂/(1 + 0,06)² = 16 000/1,124 = 14 239,94

CF₃/(1 + 0,06)³ = 11 000/1,191 = 9 235,81

CF₄/(1 + 0,06)⁴ = 15 000/1,262 = 11 881,40

Addieren

NPV = €5 451,50

Antwort

NPV = €5 451,50

Der Kapitalwert ist positiv, das Projekt verdient also mehr als die geforderte Rendite.

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: IRR = 35,71 %

Den IRR eingrenzen

Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.

NPV(35%) = 222,78

NPV(40%) = −1 268,22

Eingrenzen

Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.

IRR ≈ 35 + 5·222,78/(222,78 − (−1 268,22)) = 35,75%

exakt: NPV(35,71%) = 0 → IRR = 35,71%

Antwort

IRR = 35,71%

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