Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue Aufgaben Zurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Eine Rente zahlt am Ende jedes Jahres €1 500, 12 Jahre lang. Der Zinssatz beträgt 4 % pro Jahr. Bestimme den Barwert PV der Rente.

A = €1 500i = 4%n = 12

PV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Ein Darlehen von €200 000 wird über 30 Jahre in gleichen Monatsraten zurückgezahlt. Der Zinssatz beträgt 4,2 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Bestimme die Monatsrate A.

P = €200 0004,2% / 12N = 360

A = €

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Du kaufst eine Anleihe mit 6 Jahren Restlaufzeit (Nennwert €1 000, jährlicher Kupon 6%), wenn ihre Rendite bis zur Fälligkeit 8% beträgt. Ein Jahr später, direkt nach Erhalt des ersten Kupons, verkaufst du sie bei einer Rendite bis zur Fälligkeit von 8,5%. Bestimme deine Haltedauerrendite HPR in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 6%n = 6y₀ = 8%y₁ = 8,5%

HPR = %

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 4% wird in 4 Jahren fällig und kostet €945. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 4%n = 4P = €945

YTM = %

5.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €8 000 000 und Fremdkapital im Wert von €3 000 000. Seine Eigenkapitalkosten betragen 11%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 3,5% und der Steuersatz 20%. Bestimme den WACC.

E = €8 000 000D = €3 000 000r_e = 11%r_d = 3,5%T = 20%

WACC = %

6.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat 2 500 000 Aktien zu je €45,50 und 5 000 Anleihen mit einem Kurs von je €980. Die Fremdkapitalkosten vor Steuern betragen 5% und der Steuersatz 21%. Das Beta der Aktie ist 1,8, der risikofreie Zinssatz 3% und die Marktrendite 7,5%. Bestimme den WACC.

β = 1,8r_f = 3%r_m = 7,5%r_d = 5%T = 21%

WACC = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Investition von €60 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 diese Zahlungen: €28 000, €17 000, €27 000. Die Kapitalkosten betragen 10 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 10%CF₀ = −60 000CF₁ = 28 000CF₂ = 17 000CF₃ = 27 000

NPV = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €40 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 jeweils €16 500, €19 500, €20 500. Die Zahlungen können zu den Kapitalkosten von 12 % wieder angelegt werden. Bestimme den modifizierten internen Zinsfuß MIRR in Prozent.

r = 12%CF₀ = −40 000CF₁ = 16 500CF₂ = 19 500CF₃ = 20 500

MIRR = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: PV = 14078 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Rentenbarwertfaktor

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,6246)/0,04 = 9,385

Barwert

PV = 1 500·9,385 = €14 077,61

Antwort

PV = €14 077,61

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: A = 978 €

Monatszins und Anzahl der Raten

i = 0,042/12 = 0,0035

N = 12·30 = 360

Rate

Der Barwert von N gleichen Raten A ist A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Setze ihn gleich dem Darlehen und löse nach A auf.

(1 + i)^−N = 0,2843

A = 200 000·0,0035/(1 − 0,2843) = €978,03

Antwort

A = €978,03

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: HPR = 5,944 %

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Kaufpreis

C = €60,00, i = 0,08, N = 6

€60,00·(1 − 0,6302)/0,08 + €1 000·0,6302 = €277,37 + €630,17 = €907,54

Verkaufspreis

C = €60,00, i = 0,085, N = 5

€60,00·(1 − 0,665)/0,085 + €1 000·0,665 = €236,44 + €665,05 = €901,48

Haltedauerrendite

HPR = (60 + 901,48 − 907,54)/907,54 = 5,944%

Antwort

HPR = 5,944%

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 5,572 %

Gleichung für die Rendite

€945 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴

Numerisch lösen

P(5%) = €964,54, P(6%) = €930,70

YTM = 5,572%

Antwort

YTM = 5,572%

5.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 8,764 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €11 000 000, E/V = 0,7273, D/V = 0,2727

WACC

WACC = 0,7273·11% + 0,2727·3,5%·(1 − 0,2) = 8,764%

Antwort

WACC = 8,764%

6.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 10,8 %

Marktwerte

E = 2 500 000·€45,50 = €113 750 000

D = 5 000·€980 = €4 900 000

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 3% + 1,8·4,5% = 11,1%

Gewichte

V = €118 650 000, E/V = 0,9587, D/V = 0,0413

WACC

WACC = 0,9587·11,1% + 0,0413·5%·(1 − 0,21) = 10,8%

Antwort

WACC = 10,8%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = −210,4 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 28 000/1,1 = 25 454,55

CF₂/(1 + 0,1)² = 17 000/1,21 = 14 049,59

CF₃/(1 + 0,1)³ = 27 000/1,331 = 20 285,50

Addieren

NPV = €−210,37

Antwort

NPV = €−210,37

Der Kapitalwert ist negativ, das Projekt verdient also weniger als die geforderte Rendite.

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: MIRR = 16,37 %

Modifizierter interner Zinsfuß: Zinse jede Einzahlung mit dem Wiederanlagezins (meist den Kapitalkosten) bis zum Projektende auf, um den Endwert TV zu erhalten. Der MIRR ist der Zinssatz, der die Anfangsinvestition in TV überführt: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Endwert der Einzahlungen

16 500·1,12² = 20 697,60

19 500·1,12¹ = 21 840,00

20 500·1,12⁰ = 20 500,00

TV = 63 037,60

MIRR

MIRR = (63 037,60/40 000)^1/3 − 1 = 16,37%

Antwort

MIRR = 16,37%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation