Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du legst €1 000 zu 2 % pro Jahr bei stetiger Verzinsung an. Bestimme den Wert FV nach 15 Jahren.

PV = €1 000r = 2%t = 15

FV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Eine Hypothek von €300 000 wird über 20 Jahre mit gleichen Monatsraten bei 3,6 % pro Jahr und monatlicher Verzinsung getilgt. Wie viel ist direkt nach der Rate am Ende von Jahr 7 noch geschuldet? Bestimme die Restschuld B.

P = €300 0003,6% / 12N = 240k = 84

B = €

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 3% in zwei halbjährlichen Raten und wird in 5 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 7% pro Jahr. Bestimme den Kurs P der Anleihe.

F = €1 000Kuponsatz = 3%YTM = 7%n = 5

P = €

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 6% wird in 3 Jahren fällig und kostet €960. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 6%n = 3P = €960

YTM = %

5.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat einen Verschuldungsgrad (zu Marktwerten) von D/E = 0,25. Seine Eigenkapitalkosten betragen 12%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 4% und der Steuersatz 25,8%. Bestimme den WACC.

D/E = 0,25r_e = 12%r_d = 4%T = 25,8%

WACC = %

6.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat Eigenkapital mit einem Marktwert von €6 000 000 und Eigenkapitalkosten von 12%. Sein Fremdkapital besteht aus 2 000 Anleihen (Nennwert €1 000, jährlicher Kupon 5%, 4 Jahre Restlaufzeit), die jeweils bei €1 018 notieren. Der Steuersatz beträgt 28%. Bestimme den WACC, mit der Rendite bis zur Fälligkeit der Anleihen als Fremdkapitalkosten vor Steuern.

E = €6 000 000r_e = 12%Anleihen: 2 000 × €1 018Kuponsatz = 5%n = 4T = 28%

WACC = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Investition von €20 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 diese Zahlungen: €8 000, €5 000, €7 000. Die Kapitalkosten betragen 8 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 8%CF₀ = −20 000CF₁ = 8 000CF₂ = 5 000CF₃ = 7 000

NPV = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €20 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 €7 500, €8 500, €8 000. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.

CF₀ = −20 000CF₁ = 7 500CF₂ = 8 500CF₃ = 8 000

IRR = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 1350 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Exponent

r·t = 0,02·15 = 0,3

e^0,3 = 1,35

Endwert

FV = 1 000·1,35 = €1 349,86

Antwort

FV = €1 349,86

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: B = 218427 €

Monatliche Rate

i = 0,003, N = 240

A = 300 000·0,003/(1 − (1 + 0,003)⁻²⁴⁰) = €1 755,33

Barwert der verbleibenden Raten

Was noch geschuldet wird, muss genau durch die verbleibenden Raten getilgt werden.

N − k = 240 − 84 = 156

B = 1755·(1 − (1 + 0,003)⁻¹⁵⁶)/0,003 = €218 426,54

Antwort

B = €218 426,54

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: P = 833,7 €

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Pro Periode

C = €15,00, i = 0,035, N = 10

Barwert der Kupons

€15,00·(1 − 0,7089)/0,035 = €124,75

Barwert des Nennwerts

€1 000·0,7089 = €708,92

Kurs

P = €833,67

Antwort

P = €833,67

Die Rendite liegt über dem Kuponsatz, also notiert die Anleihe unter pari.

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 7,539 %

Gleichung für die Rendite

€960 = €60·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

Numerisch lösen

P(7%) = €973,76, P(8%) = €948,46

YTM = 7,539%

Antwort

YTM = 7,539%

5.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 10,19 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte aus D/E

E/V = 1/(1 + 0,25) = 0,8

D/V = 0,25/(1 + 0,25) = 0,2

WACC

WACC = 0,8·12% + 0,2·4%·(1 − 0,258) = 10,19%

Antwort

WACC = 10,19%

6.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 9,78 %

Fremdkapitalkosten (YTM)

1018 = 50·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + 1000/(1 + y)⁴

y = 4,498%

Marktwerte

D = 2 000·€1 018 = €2 036 000

V = €8 036 000, E/V = 0,7466, D/V = 0,2534

WACC

WACC = 0,7466·12% + 0,2534·4,498%·(1 − 0,28) = 9,78%

Antwort

WACC = 9,78%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = −2749 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,08)¹ = 8 000/1,08 = 7 407,41

CF₂/(1 + 0,08)² = 5 000/1,166 = 4 286,69

CF₃/(1 + 0,08)³ = 7 000/1,26 = 5 556,83

Addieren

NPV = €−2 749,07

Antwort

NPV = €−2 749,07

Der Kapitalwert ist negativ, das Projekt verdient also weniger als die geforderte Rendite.

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: IRR = 9,588 %

Den IRR eingrenzen

Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.

NPV(5%) = 1 763,31

NPV(10%) = −146,51

Eingrenzen

Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.

IRR ≈ 5 + 5·1 763,31/(1 763,31 − (−146,51)) = 9,616%

exakt: NPV(9,588%) = 0 → IRR = 9,588%

Antwort

IRR = 9,588%

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