Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
Du brauchst €5 000 in 3 Jahren. Ein Konto bringt 3 % pro Jahr bei vierteljährlicher Verzinsung. Wie viel musst du heute einzahlen? Bestimme den Barwert PV.
Du zahlst 25 Jahre lang am Anfang jedes Jahres €1 000 ein, die erste Einzahlung heute. Das Konto bringt 4 % pro Jahr. Wie viel ist am Ende von Jahr 25 auf dem Konto? Bestimme FV.
Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 4,5% in zwei halbjährlichen Raten und wird in 5 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 6% pro Jahr. Bestimme den Kurs P der Anleihe.
Eine Anleihe notiert bei €1 010 mit einer Rendite bis zur Fälligkeit von 3% (jährliche Verzinsung) und einer Macaulay-Duration von 7,2 Jahren. Schätze mit der modifizierten Duration den neuen Kurs P, wenn die Rendite um 75 Basispunkte sinkt.
Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €4 000 000 und Fremdkapital im Wert von €2 000 000. Sein WACC beträgt 7,87%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 5% und der Steuersatz 28%. Bestimme die Eigenkapitalkosten re.
Ein Unternehmen hat 1 000 000 Aktien mit einem Kurs von €47,00; der Buchwert seines Eigenkapitals beträgt €23 500 000. Es hat gerade eine Dividende von €2,20 pro Aktie gezahlt, und die Dividenden wachsen um 5% pro Jahr. Sein Fremdkapital hat einen Marktwert von €47 000 000 und Kosten vor Steuern von 6%. Der Steuersatz beträgt 21%. Bestimme den WACC, mit dem Dividendenwachstumsmodell für die Eigenkapitalkosten.
Eine Investition von €45 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 4 diese Zahlungen: €9 000, €16 000, €21 000, €22 000. Die Kapitalkosten betragen 5 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.
Projekt A kostet €30 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 jeweils €17 500, €11 500, €7 000. Projekt B kostet €35 000 und bringt €9 500, €15 000, €18 500. Bestimme den Schnittpunktzins (Fisher-Zins) r*, bei dem beide Projekte denselben Kapitalwert haben, in Prozent.
Antwort: PV = 4571 €
Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)n. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.
Antwort: FV = 43312 €
Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)n. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.
Jede Einzahlung ist ein Jahr länger angelegt.
Antwort: P = 936 €
Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.
Die Rendite liegt über dem Kuponsatz, also notiert die Anleihe unter pari.
Antwort: P = 1063 €
Duration: Die Macaulay-Duration ist der gewichtete mittlere Zeitpunkt, zu dem eine Anleihe ihre Zahlungen leistet, mit den Barwerten der Zahlungen als Gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. Die modifizierte Duration D/(1 + y) schätzt die prozentuale Kursänderung bei einer kleinen Renditeänderung: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Die Duration ist eine lineare Schätzung; bei großen Renditeänderungen macht die Konvexität den tatsächlichen Kurs etwas höher.
Antwort: re = 10,01 %
Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: re = rf + β·(rm − rf). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).
Antwort: WACC = 7,327 %
Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: re = rf + β·(rm − rf). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).
Antwort: NPV = 14324 €
Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.
Der Kapitalwert ist positiv, das Projekt verdient also mehr als die geforderte Rendite.
Antwort: r* = 6,872 %
Schnittpunktzins (Fisher-Zins): der Kalkulationszins, bei dem zwei Projekte denselben Kapitalwert haben. Er ist der interne Zinsfuß der Differenz ihrer Zahlungen (B − A). Darunter hat das Projekt mit den späteren, größeren Zahlungen den höheren Kapitalwert; darüber gewinnt das andere.
Probe: Bei 6,872% betragen beide Kapitalwerte €2 178,05.
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