Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du brauchst €25 000 in 4 Jahren. Ein Konto bringt 3 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Wie viel musst du heute einzahlen? Bestimme den Barwert PV.

FV = €25 0003% / 12n = 4

PV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du sparst 13 Jahre lang am Ende jedes Monats €50. Das Konto bringt 4,8 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Wie viel hast du am Ende gespart? Bestimme FV.

A = €504,8% / 12N = 156

FV = €

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 wird in 6 Jahren fällig und zahlt jährliche Kupons. Sie wird bei einer Rendite bis zur Fälligkeit von 9% für €865 verkauft. Bestimme den Kuponsatz c in Prozent.

F = €1 000n = 6P = €865YTM = 9%

c = %

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 7% wird in 4 Jahren fällig und kostet €935. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 7%n = 4P = €935

YTM = %

5.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen ist finanziert mit Stammaktien im Wert von €10 000 000, Vorzugsaktien im Wert von €500 000 und Fremdkapital im Wert von €4 000 000. Die Eigenkapitalkosten betragen 14%, die Kosten der Vorzugsaktien 6% und die Fremdkapitalkosten vor Steuern 3%. Der Steuersatz beträgt 28%. Bestimme den WACC.

E = €10 000 000P_s = €500 000D = €4 000 000r_e = 14%r_p = 6%r_d = 3%T = 28%

WACC = %

6.CAPM & WACCSchwer

Das Geschäft eines Unternehmens hat ein unverschuldetes Beta (Asset-Beta) von 0,6. Es plant einen Verschuldungsgrad D/E von 0,5. Der Steuersatz beträgt 21%, der risikolose Zinssatz 2,5% und die Marktrisikoprämie 4%. Bestimme die Eigenkapitalkosten r_e bei der neuen Kapitalstruktur.

β_U = 0,6D/E = 0,5T = 21%r_f = 2,5%r_m − r_f = 4%

r_e = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Ein Projekt kostet heute €500 000. Es erwirtschaftet am Ende des ersten Jahres €45 000, danach wächst der Zahlungsüberschuss für immer um 1 % pro Jahr. Die Kapitalkosten betragen 11 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

C₀ = €500 000CF₁ = €45 000g = 1%r = 11%

NPV = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €20 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 2 €12 500, €14 000. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.

CF₀ = −20 000CF₁ = 12 500CF₂ = 14 000

IRR = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: PV = 22176 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·4 = 48

Barwert

PV = FV/(1 + i)^N = 25 000/1,127 = €22 176,33

Antwort

PV = €22 176,33

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 10801 €

Monatszins und Anzahl der Einzahlungen

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·13 = 156

Endwert der Einzahlungen

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 50·(1,864 − 1)/0,004 = €10 800,71

Antwort

FV = €10 800,71

Du hast selbst €7 800 eingezahlt; der Rest sind Zinsen.

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: c = 5,991 %

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Barwert des Nennwerts

1000·(1 + 0,09)⁻⁶ = €596,27

Kupon

C = (865 − 596,27)/4,486 = €59,91

Kuponsatz

c = 59,91/1000 = 5,991%

Antwort

c = 5,991%

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 9,007 %

Gleichung für die Rendite

€935 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴

Numerisch lösen

P(9%) = €935,21, P(10%) = €904,90

YTM = 9,007%

Antwort

YTM = 9,007%

5.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 10,46 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = 10 000 000 + 500 000 + 4 000 000 = €14 500 000

E/V = 0,6897, P_s/V = 0,03448, D/V = 0,2759

WACC

WACC = 0,6897·14% + 0,03448·6% + 0,2759·3%·(1 − 0,28) = 10,46%

Antwort

WACC = 10,46%

6.CAPM & WACC

Antwort: r_e = 5,848 %

Levered Beta (Hamada): Fremdkapital macht das Eigenkapital riskanter. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), wobei β_U das Beta des Geschäfts ohne Fremdkapital ist. Um ein Beta auf eine andere Kapitalstruktur zu übertragen, entschulde es zuerst und verschulde es dann beim neuen D/E wieder.

Verschuldetes Beta

β_L = 0,6·(1 + 0,79·0,5) = 0,837

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 2,5% + 0,837·4% = 5,848%

Antwort

r_e = 5,848%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = −50000 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Wert der Zahlungen

PV = 45 000/(0,11 − 0,01) = 450 000,00

NPV

NPV = 450 000,00 − 500 000 = −€50 000,00

Antwort

NPV = −€50 000,00

Der Kapitalwert ist negativ, das Projekt verdient also weniger als die geforderte Rendite.

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: IRR = 20,56 %

Den IRR eingrenzen

Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.

NPV(20%) = 138,89

NPV(25%) = −1 040,00

Eingrenzen

Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.

IRR ≈ 20 + 5·138,89/(138,89 − (−1 040,00)) = 20,59%

exakt: NPV(20,56%) = 0 → IRR = 20,56%

Antwort

IRR = 20,56%

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