Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du brauchst €20 000 in 10 Jahren. Ein Konto bringt 3 % pro Jahr bei vierteljährlicher Verzinsung. Wie viel musst du heute einzahlen? Bestimme den Barwert PV.

FV = €20 0003% / 4n = 10

PV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du leihst dir €12 000 zu 7,2 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung und zahlst am Ende jedes Monats €175 zurück. Wie viele Monate dauert es, bis das Darlehen getilgt ist (die letzte Rate darf kleiner sein)? Gib die Anzahl der Raten N an.

P = €12 000A = €1757,2% / 12

N = Raten

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 4,5% in zwei halbjährlichen Raten und wird in 7 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 5% pro Jahr. Bestimme den Kurs P der Anleihe.

F = €1 000Kuponsatz = 4,5%YTM = 5%n = 7

P = €

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 6% wird in 7 Jahren fällig und kostet €1 090. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 6%n = 7P = €1 090

YTM = %

5.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €5 000 000 und Fremdkapital im Wert von €4 000 000. Seine Eigenkapitalkosten betragen 8%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 4% und der Steuersatz 21%. Bestimme den WACC.

E = €5 000 000D = €4 000 000r_e = 8%r_d = 4%T = 21%

WACC = %

6.CAPM & WACCSchwer

Die Aktien eines Unternehmens haben beim aktuellen Verschuldungsgrad D/E von 0,4 ein Beta von 1,2. Es plant, den Verschuldungsgrad auf 1,25 zu erhöhen. Der Steuersatz beträgt 30%, der risikolose Zinssatz 3,5% und die Marktrisikoprämie 5%. Bestimme die Eigenkapitalkosten r_e nach der Änderung.

β_L = 1,2D/E₁ = 0,4D/E₂ = 1,25T = 30%r_f = 3,5%r_m − r_f = 5%

r_e = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Investition von €30 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 4 diese Zahlungen: €10 000, €15 000, €13 000, €6 000. Die Kapitalkosten betragen 9 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 9%CF₀ = −30 000CF₁ = 10 000CF₂ = 15 000CF₃ = 13 000CF₄ = 6 000

NPV = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €40 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 €25 000, €18 000, €24 000. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.

CF₀ = −40 000CF₁ = 25 000CF₂ = 18 000CF₃ = 24 000

IRR = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: PV = 14833 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = 0,03/4 = 0,0075

N = 4·10 = 40

Barwert

PV = FV/(1 + i)^N = 20 000/1,348 = €14 832,96

Antwort

PV = €14 832,96

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: N = 89 Raten

Die Rentenformel umstellen

i = 0,006

(1 + i)^−N = 1 − 12 000·0,006/175 = 0,5886

Mit Logarithmen lösen

N = −ln(0,5886)/ln(1,006) = 88,61

Auf ganze Raten aufrunden

88 volle Raten lassen eine kleine Restschuld, die die letzte, kleinere Rate tilgt.

N = 89

Antwort

N = 89 Raten

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: P = 970,8 €

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Pro Periode

C = €22,50, i = 0,025, N = 14

Barwert der Kupons

€22,50·(1 − 0,7077)/0,025 = €263,05

Barwert des Nennwerts

€1 000·0,7077 = €707,73

Kurs

P = €970,77

Antwort

P = €970,77

Die Rendite liegt über dem Kuponsatz, also notiert die Anleihe unter pari.

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 4,474 %

Gleichung für die Rendite

€1 090 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

Numerisch lösen

P(4%) = €1 120,04, P(5%) = €1 057,86

YTM = 4,474%

Antwort

YTM = 4,474%

5.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 5,849 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €9 000 000, E/V = 0,5556, D/V = 0,4444

WACC

WACC = 0,5556·8% + 0,4444·4%·(1 − 0,21) = 5,849%

Antwort

WACC = 5,849%

6.CAPM & WACC

Antwort: r_e = 12,29 %

Levered Beta (Hamada): Fremdkapital macht das Eigenkapital riskanter. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), wobei β_U das Beta des Geschäfts ohne Fremdkapital ist. Um ein Beta auf eine andere Kapitalstruktur zu übertragen, entschulde es zuerst und verschulde es dann beim neuen D/E wieder.

Das Beta entschulden

β_U = 1,2/(1 + 0,7·0,4) = 0,9375

Beim neuen D/E wieder verschulden

β_L = 0,9375·(1 + 0,7·1,25) = 1,758

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 3,5% + 1,758·5% = 12,29%

Antwort

r_e = 12,29%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = 6088 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,09)¹ = 10 000/1,09 = 9 174,31

CF₂/(1 + 0,09)² = 15 000/1,188 = 12 625,20

CF₃/(1 + 0,09)³ = 13 000/1,295 = 10 038,39

CF₄/(1 + 0,09)⁴ = 6 000/1,412 = 4 250,55

Addieren

NPV = €6 088,45

Antwort

NPV = €6 088,45

Der Kapitalwert ist positiv, das Projekt verdient also mehr als die geforderte Rendite.

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: IRR = 31,45 %

Den IRR eingrenzen

Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.

NPV(30%) = 805,64

NPV(35%) = −1 850,33

Eingrenzen

Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.

IRR ≈ 30 + 5·805,64/(805,64 − (−1 850,33)) = 31,52%

exakt: NPV(31,45%) = 0 → IRR = 31,45%

Antwort

IRR = 31,45%

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