Kapitalanlage und Bewertung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du brauchst €40 000 in 5 Jahren. Ein Konto bringt 4,8 % pro Jahr bei vierteljährlicher Verzinsung. Wie viel musst du heute einzahlen? Bestimme den Barwert PV.

FV = €40 0004,8% / 4n = 5

PV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du möchtest in 17 Jahren €20 000 haben. Du sparst am Ende jedes Monats denselben Betrag auf einem Konto mit 2,4 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Bestimme die monatliche Einzahlung A.

FV = €20 0002,4% / 12N = 204

A = €

3.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 wird in 7 Jahren fällig und zahlt jährliche Kupons. Sie wird bei einer Rendite bis zur Fälligkeit von 9% für €648 verkauft. Bestimme den Kuponsatz c in Prozent.

F = €1 000n = 7P = €648YTM = 9%

c = %

4.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit 13 Jahren Restlaufzeit (Nennwert €1 000, jährlicher Kupon 9%) wird für €1 079 verkauft. Der Emittent kann sie in 6 Jahren zu einem Kündigungskurs von €1 090 kündigen. Bestimme die Rendite bis zur Kündigung YTC in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 9%P = €1 079Kündigungskurs = €1 090Kündigung in 6 Jahre

YTC = %

5.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €5 000 000 und Fremdkapital im Wert von €5 000 000. Seine Eigenkapitalkosten betragen 14%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 4,5% und der Steuersatz 21%. Bestimme den WACC.

E = €5 000 000D = €5 000 000r_e = 14%r_d = 4,5%T = 21%

WACC = %

6.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat 5 000 000 Aktien zu je €19,00 und 5 000 Anleihen mit einem Kurs von je €1 020. Die Fremdkapitalkosten vor Steuern betragen 3,5% und der Steuersatz 21%. Das Beta der Aktie ist 1,5, der risikofreie Zinssatz 2,5% und die Marktrendite 8%. Bestimme den WACC.

β = 1,5r_f = 2,5%r_m = 8%r_d = 3,5%T = 21%

WACC = %

7.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Investition von €45 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 diese Zahlungen: €13 000, €21 000, €17 000. Die Kapitalkosten betragen 9 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 9%CF₀ = −45 000CF₁ = 13 000CF₂ = 21 000CF₃ = 17 000

NPV = €

8.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €40 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 €21 000, €25 500, €15 500. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.

CF₀ = −40 000CF₁ = 21 000CF₂ = 25 500CF₃ = 15 500

IRR = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: PV = 31510 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = 0,048/4 = 0,012

N = 4·5 = 20

Barwert

PV = FV/(1 + i)^N = 40 000/1,269 = €31 510,10

Antwort

PV = €31 510,10

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: A = 79,49 €

Monatszins und Anzahl der Einzahlungen

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·17 = 204

Einzahlung

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 20 000·0,002/(1,503 − 1) = €79,49

Antwort

A = €79,49

3.Anleihekurs & Rendite

Antwort: c = 2,006 %

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Barwert des Nennwerts

1000·(1 + 0,09)⁻⁷ = €547,03

Kupon

C = (648 − 547,03)/5,033 = €20,06

Kuponsatz

c = 20,06/1000 = 2,006%

Antwort

c = 2,006%

4.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTC = 8,478 %

Gleichung für die Rendite

1079 = 90·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + 1090/(1 + y)⁶

Numerisch lösen

y = 8%: €1 102,94

y = 9%: €1 053,66

YTC = 8,478%

Antwort

YTC = 8,478%

Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 8%. Anleger in einer Anleihe über pari rechnen mit einer Kündigung, daher ist die niedrigere Rendite bis zur Kündigung die realistischere.

5.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 8,777 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €10 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·14% + 0,5·4,5%·(1 − 0,21) = 8,777%

Antwort

WACC = 8,777%

6.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 10,34 %

Marktwerte

E = 5 000 000·€19,00 = €95 000 000

D = 5 000·€1 020 = €5 100 000

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 2,5% + 1,5·5,5% = 10,75%

Gewichte

V = €100 100 000, E/V = 0,9491, D/V = 0,05095

WACC

WACC = 0,9491·10,75% + 0,05095·3,5%·(1 − 0,21) = 10,34%

Antwort

WACC = 10,34%

7.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = −2271 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,09)¹ = 13 000/1,09 = 11 926,61

CF₂/(1 + 0,09)² = 21 000/1,188 = 17 675,28

CF₃/(1 + 0,09)³ = 17 000/1,295 = 13 127,12

Addieren

NPV = €−2 271,00

Antwort

NPV = €−2 271,00

Der Kapitalwert ist negativ, das Projekt verdient also weniger als die geforderte Rendite.

8.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: IRR = 26,84 %

Den IRR eingrenzen

Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.

NPV(25%) = 1 056,00

NPV(30%) = −1 702,32

Eingrenzen

Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.

IRR ≈ 25 + 5·1 056,00/(1 056,00 − (−1 702,32)) = 26,91%

exakt: NPV(26,84%) = 0 → IRR = 26,84%

Antwort

IRR = 26,84%

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