Messtechnik und Sensorik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Wheatstone-Brücke und Dehnungsmessstreifen

Teilerspannungen: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Ausfuhr: V_ab = V_a − V_b
Bilanz: R₁/R₂ = R₃/R₄
Schleifdrahtbrücke: R/R_x = l/(100 − l)
Thévenin-Widerstand: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
k-Faktor: ΔR/R = GF·ε
Brückenausgangsspannung: Viertelbrücke V_s·GF·ε/4, Halbbrücke V_s·GF·ε/2, Vollbrücke V_s·GF·ε
Kleine Änderung, ein Zweig: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Spannung: σ = E·ε

Methode

Behandle die Brücke als zwei Spannungsteiler an derselben Versorgung.
Setze für den Abgleich R₁/R₂ = R₃/R₄ und löse nach dem unbekannten Widerstand auf.
Bestimme bei einer nicht abgeglichenen Brücke V_a und V_b aus den Teilern und bilde die Differenz; verwende die Thevenin-Ersatzschaltung, wenn ein Messgerät den Ausgang belastet.
Rechne bei Dehnungsmessstreifen die Dehnung in ΔR/R = GF·ε um und verwende V_s·GF·ε/4, /2 oder ×1 für eine Viertel-, Halb- oder Vollbrücke.

Messdatenerfassung und Abtastung

Nyquist-Kriterium: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Alias-Frequenz: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Schrittweite: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Quantisierungsfehler (Runden): ±½ LSB
ADC-Code bei Abschneiden: D = ⌊V_in/LSB⌋
Bits für eine Auflösung r: 2ᴺ ≥ span/r
Ideales SQNR, Sinus mit Vollaussteuerung: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Datenrate: Kanäle × f_s × N bit/s
Gemultiplexter ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/Baudrate; 8N1 = 10 Bit pro Byte; Byte/s = Baudrate/Bits pro Frame
Baudraten-Teiler: baud = f_clk/(16·D)

Methode

Schreibe auf, was gegeben ist: Abtastrate, Signalfrequenzen, Bitanzahl, Eingangsbereich, Baudrate.
Vergleiche bei Abtastaufgaben jede Frequenz mit f_s/2; eine höhere Frequenz erscheint bei f_a = |f − k·f_s| mit dem nächstgelegenen Vielfachen von f_s.
Bestimme bei Auflösungsaufgaben 1 LSB = V_FSR/2ᴺ oder das kleinste N mit 2ᴺ ≥ Spanne/Auflösung.
Zähle bei Datenraten und UART-Verbindungen alles, was gesendet wird: Kanäle, Abtastwerte pro Sekunde, Bits oder ganze Bytes pro Abtastwert sowie Start-, Paritäts- und Stoppbits jedes Frames.

Operationsverstärker

Invertierender Verstärker: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Nichtinvertierender Verstärker: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Summierverstärker: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Idealer Operationsverstärker: V₊ = V₋, I_in = 0

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe: R_eq = R₁ + R₂ + …
Widerstände parallel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zwei parallel: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Ohmsches Gesetz: V = I·R
Leistung: P = V·I = I²R = V²/R

Methode

Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

Thévenin und Norton

Thévenin-Spannung: V_th = V_{open circuit}
Thévenin-Widerstand: R_th: alle Quellen abgeschaltet, von a–b aus gesehen
Norton-Strom: I_N = V_th/R_th
Laststrom: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maximale Leistungsübertragung: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Methode

Entferne die Last und markiere die beiden Klemmen a und b.
Bestimme die Leerlaufspannung zwischen a und b: Das ist V_th.
Schalte alle unabhängigen Quellen ab und bestimme den Widerstand, den man von a–b aus sieht: Das ist R_th.
Schließe die Last wieder an die Ersatzschaltung an: V_th in Reihe mit R_th.
Für die Norton-Ersatzschaltung umrechnen: I_N = V_th/R_th, mit R_N = R_th parallel.

2Übungsaufgaben

1.Wheatstone-Brücke und DehnungsmessstreifenMittel

Bestimme den Thevenin-Widerstand R_th der gezeigten Brücke, von den Ausgangsklemmen a und b aus gesehen.

V_s = 5 VR₁ = 500 ΩR₂ = 150 ΩR₃ = 800 ΩR₄ = 600 Ω

R_th = Ω

2.Wheatstone-Brücke und DehnungsmessstreifenSchwer

Ein Dehnungsmessstreifen mit 120 Ω und dem k-Faktor 2,1 ist auf einen Stahlstab geklebt. Unter Last steigt sein Widerstand um 0,1008 Ω. Bestimme die Dehnung ε in Mikrodehnung (µε).

R = 120 ΩGF = 2,1ΔR = 0,1008 Ω

ε = µε

3.Messdatenerfassung und AbtastungMittel

Ein UART sendet Bytes mit 38400 Baud im Format 8E2: 8 Datenbits, ein gerades Paritätsbit und 2 Stoppbit(s), plus das Startbit. Bestimme die größte Anzahl an Datenbytes pro Sekunde, die er übertragen kann.

baud = 38400 Bd8E2

R_B = B/s

4.Messdatenerfassung und AbtastungSchwer

Ein Mikrocontroller mit 32 MHz Takt stellt seine UART-Baudrate als f_clk/(16·D) ein, wobei D eine ganze Zahl ist, die auf den nächsten Wert gerundet wird. Die Zielbaudrate beträgt 9600 Baud. Bestimme den prozentualen Fehler der tatsächlichen Baudrate (positiv, wenn sie zu schnell ist).

f_clk = 32 MHzZiel = 9600 Bd

e = %

5.OperationsverstärkerMittel

Wähle den Rückkopplungswiderstand R_f so, dass dieser nichtinvertierende Verstärker eine Spannungsverstärkung von 15 hat.

R₁ = 100 kΩA_v = 15

R_f = kΩ

6.OperationsverstärkerSchwer

Der Summierverstärker verwendet einen idealen Operationsverstärker mit ±15 V Versorgung. Bestimme die Ausgangsspannung V_out.

V₁ = 0,7 VV₂ = −0,6 VR₁ = 1 kΩR₂ = 10 kΩR_f = 10 kΩ

V_out = V

7.Reihen- und ParallelschaltungMittel

Bestimme den Ersatzwiderstand R_eq, den die Quelle V₁ sieht.

V₁ = 30 VR₁ = 20 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 8 Ω

R_eq = Ω

8.Reihen- und ParallelschaltungSchwer

Bestimme den Strom I_R2 durch R₂.

V₁ = 30 VR₁ = 30 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 10 Ω

I_R2 = A

9.Thévenin und NortonMittel

Bestimme den Norton-Strom I_N: den Strom, der von a nach b fließt, wenn die Klemmen kurzgeschlossen sind.

V₁ = 24 VR₁ = 15 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 4 Ω

I_N = A

10.Thévenin und NortonSchwer

Bestimme den Norton-Strom I_N: den Strom, der von a nach b fließt, wenn die Klemmen kurzgeschlossen sind.

V₁ = 10 VI_s = 1,5 AR₁ = 12 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 15 Ω

I_N = A

3Lösungen

1.Wheatstone-Brücke und Dehnungsmessstreifen

Antwort: R_th = 458,2 Ω

Wheatstone-Brücke: Zwei Spannungsteiler teilen sich eine Versorgung V_s. Der linke Teiler R₁–R₂ liefert V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂) und der rechte Teiler R₃–R₄ liefert V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); die Ausgangsspannung ist V_ab = V_a − V_b. Die Brücke ist abgeglichen (V_ab = 0, kein Strom im Messgerät), wenn R₁/R₂ = R₃/R₄ gilt, also R₁·R₄ = R₂·R₃. Vom Ausgang aus gesehen ist die Brücke eine Thevenin-Quelle mit R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Versorgung kurzgeschlossen

R₁∥R₂ = 500·150/650 = 115,4 Ω

R₃∥R₄ = 800·600/1400 = 342,9 Ω

Thévenin-Widerstand

R_th = 458,2 Ω

Antwort

R_th = 458,2 Ω

2.Wheatstone-Brücke und Dehnungsmessstreifen

Antwort: ε = 400 µε

Dehnungsmessstreifen: Ein Streifen ändert seinen Widerstand mit der Dehnung: ΔR/R = GF·ε, wobei der k-Faktor GF bei Metallfolien etwa 2 beträgt. In einer Brücke mit lauter gleichen Zweigen R liefert ein aktiver Streifen (Viertelbrücke) V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Zwei aktive Streifen mit entgegengesetzter Dehnung in benachbarten Zweigen (Halbbrücke) liefern V_s·GF·ε/2, und vier (Vollbrücke) liefern V_s·GF·ε. Die Spannung folgt aus dem Hookeschen Gesetz, σ = E·ε. Kraftaufnehmer geben ihre Empfindlichkeit in mV/V an: die Ausgangsspannung bei Volllast je Volt Speisespannung.

Relative Widerstandsänderung

ΔR/R = 0,1008/120 = 0,00084

Dehnung

ε = 0,00084/2,1 = 0,0004 = 400 µε

Antwort

ε = 400 µε

3.Messdatenerfassung und Abtastung

Antwort: R_B = 3200 B/s

UART: Eine asynchrone serielle Verbindung sendet jedes Byte als Frame: ein Startbit (low), die Datenbits, ein optionales Paritätsbit und ein oder zwei Stoppbits (high). Die Baudrate ist die Anzahl der Bits pro Sekunde, ein Bit dauert also T_b = 1/Baudrate und ein Frame aus n Bits dauert n/Baudrate. Das übliche 8N1-Format hat 10 Bits pro Byte. Der Baudratengenerator teilt den Takt: Baudrate = f_clk/(16·D) mit einer ganzen Zahl D, sodass die tatsächliche Baudrate leicht vom Sollwert abweicht; ein Fehler unter etwa 2 % ist meist akzeptabel.

Bits pro Frame

1 + 8 + 1 + 2 = 12

Byterate

38400/12 = 3200 B/s

Antwort

R_B = 3200 B/s

4.Messdatenerfassung und Abtastung

Antwort: e = 0,1603 %

Teiler

D = 32·10⁶/(16·9600) = 208,3 → 208

Tatsächliche Baudrate

32·10⁶/(16·208) = 9615 Bd

Fehler

(9615 − 9600)/9600·100 = 0,1603 %

Antwort

e = 0,1603 %

Ein Fehler unter etwa 2 % ist meist akzeptabel.

5.Operationsverstärker

Antwort: R_f = 1400 kΩ

Regeln für den idealen Operationsverstärker: Mit Gegenkopplung stellt der OPV seinen Ausgang so ein, dass beide Eingänge auf derselben Spannung liegen (V₋ = V₊), und in keinen Eingang fließt Strom. Die Knotenregel am invertierenden Eingang mit diesen beiden Tatsachen liefert den Ausgang.

Verstärkung eines nichtinvertierenden Verstärkers

V₋ = V₊ = V_in, und der Strom durch R₁ fließt auch durch R_f, also V_out = V_in·(1 + R_f/R₁).

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (15 − 1)·100 = 1400 kΩ

Antwort

R_f = 1400 kΩ

6.Operationsverstärker

Antwort: V_out = −6,4 V

Eingangsströme

V₋ = 0, daher liegt an jedem Eingangswiderstand seine volle Eingangsspannung.

I₁ = V₁/R₁ = 0,7/1 = 0,7 mA

I₂ = V₂/R₂ = −0,6/10 = −0,06 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0,64 mA

Ausgangsspannung

V_out = −R_f·I_f = −10·0,64 = −6,4 V

Antwort

V_out = −6,4 V

7.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: R_eq = 24 Ω

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R₃ + R₄ = 4 + 8 = 12 Ω

R₂ ∥ 12 = 6·12/(6+12) = 4 Ω

R_eq = R₁ + 4 = 20 + 4 = 24 Ω

Antwort

R_eq = 24 Ω

8.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: I_R2 = 0,8062 A

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

R₅ + R₆ = 15 + 10 = 25 Ω

R₄ ∥ 25 = 9,375 Ω

R₃ + 9,375 = 21,38 Ω

R₂ ∥ 21,38 = 2,631 Ω

R_eq = R₁ + 2,631 = 30 + 2,631 = 32,63 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur R_eq, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/32,63 = 0,9194 A

Strom durch R₂

Ziehe den Spannungsabfall an R₁ ab, um die Spannung an Knoten A zu erhalten, die an R₂ anliegt.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 0,9194·30 = 2,419 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2,419/3 = 0,8062 A

Antwort

I_R2 = 0,8062 A

9.Thévenin und Norton

Antwort: I_N = 0,4898 A

Satz von Thévenin: Jedes lineare Zweipolnetzwerk verhält sich wie eine einzige Spannungsquelle V_th in Reihe mit einem Widerstand R_th. Der Satz von Norton beschreibt dasselbe Netzwerk als Stromquelle I_N = V_th/R_th parallel zu R_th.

R_th bei abgeschalteten Quellen bestimmen

Ersetze Spannungsquellen durch Kurzschlüsse und Stromquellen durch Leerläufe und blicke dann von a–b in die Schaltung.

R₁ ∥ R₂ = 15·2/(15+2) = 1,765 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,765 + 4 = 5,765 Ω

V_th bestimmen, die Leerlaufspannung

Bei offenen Klemmen a–b fließt kein Strom durch R₃, also fällt daran keine Spannung ab und V_b = V_A. R₁ und R₂ bilden einen Spannungsteiler.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 24·2/(15+2) = 2,824 V

Norton-Ersatzschaltbild

Eine Norton-Quelle ist dieselbe Schaltung, gesehen als Stromquelle parallel zu R_th. Ihr Strom ist der Kurzschlussstrom an a–b.

I_N = V_th/R_th = 2,824/5,765 = 0,4898 A

10.Thévenin und Norton

Antwort: I_N = 1,738 A

R_th bei abgeschalteten Quellen bestimmen

Ersetze Spannungsquellen durch Kurzschlüsse und Stromquellen durch Leerläufe und blicke dann von a–b in die Schaltung.

R₁ ∥ R₂ = 12·12/(12+12) = 6 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 6 + 15 = 21 Ω

V_th bestimmen, die Leerlaufspannung

Bei offenen Klemmen a–b fließt Iₛ nur über R₃ in Knoten A. Bestimme V_A durch Überlagerung von V₁ und Iₛ und addiere dann den Spannungsabfall an R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 5 + 1,5·6 = 14 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 14 + 1,5·15 = 36,5 V

Norton-Ersatzschaltbild

Eine Norton-Quelle ist dieselbe Schaltung, gesehen als Stromquelle parallel zu R_th. Ihr Strom ist der Kurzschlussstrom an a–b.

I_N = V_th/R_th = 36,5/21 = 1,738 A

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Messtechnik und Sensorik: Lernpaket

1Formeln und Methoden

Wheatstone-Brücke und Dehnungsmessstreifen

Methode

Messdatenerfassung und Abtastung

Methode

Operationsverstärker

Reihen- und Parallelschaltung

Methode

Thévenin und Norton

Methode

2Übungsaufgaben

3Lösungen

Versorgung kurzgeschlossen

Thévenin-Widerstand

Antwort

Relative Widerstandsänderung

Dehnung

Antwort

Bits pro Frame

Byterate

Antwort

Teiler

Tatsächliche Baudrate

Fehler

Antwort

Verstärkung eines nichtinvertierenden Verstärkers

Antwort

Eingangsströme

Ausgangsspannung

Antwort

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Antwort

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Strom aus der Quelle

Strom durch R₂

Antwort

Rth bei abgeschalteten Quellen bestimmen

Vth bestimmen, die Leerlaufspannung

Norton-Ersatzschaltbild

Rth bei abgeschalteten Quellen bestimmen

Vth bestimmen, die Leerlaufspannung

Norton-Ersatzschaltbild

R_th bei abgeschalteten Quellen bestimmen

V_th bestimmen, die Leerlaufspannung

R_th bei abgeschalteten Quellen bestimmen

V_th bestimmen, die Leerlaufspannung