Behandle die Brücke als zwei Spannungsteiler an derselben Versorgung.
Setze für den Abgleich R₁/R₂ = R₃/R₄ und löse nach dem unbekannten Widerstand auf.
Bestimme bei einer nicht abgeglichenen Brücke Va und Vb aus den Teilern und bilde die Differenz; verwende die Thevenin-Ersatzschaltung, wenn ein Messgerät den Ausgang belastet.
Rechne bei Dehnungsmessstreifen die Dehnung in ΔR/R = GF·ε um und verwende Vs·GF·ε/4, /2 oder ×1 für eine Viertel-, Halb- oder Vollbrücke.
Messdatenerfassung und Abtastung
Nyquist-Kriterium
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Alias-Frequenz
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Schrittweite
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Quantisierungsfehler (Runden)
±½ LSB
ADC-Code bei Abschneiden
D = ⌊Vin/LSB⌋
Bits für eine Auflösung r
2ᴺ ≥ span/r
Ideales SQNR, Sinus mit Vollaussteuerung
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Datenrate
Kanäle × fs × N bit/s
Gemultiplexter ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/Baudrate; 8N1 = 10 Bit pro Byte; Byte/s = Baudrate/Bits pro Frame
Baudraten-Teiler
baud = fclk/(16·D)
Methode
Schreibe auf, was gegeben ist: Abtastrate, Signalfrequenzen, Bitanzahl, Eingangsbereich, Baudrate.
Vergleiche bei Abtastaufgaben jede Frequenz mit fs/2; eine höhere Frequenz erscheint bei fa = |f − k·fs| mit dem nächstgelegenen Vielfachen von fs.
Bestimme bei Auflösungsaufgaben 1 LSB = VFSR/2ᴺ oder das kleinste N mit 2ᴺ ≥ Spanne/Auflösung.
Zähle bei Datenraten und UART-Verbindungen alles, was gesendet wird: Kanäle, Abtastwerte pro Sekunde, Bits oder ganze Bytes pro Abtastwert sowie Start-, Paritäts- und Stoppbits jedes Frames.
Operationsverstärker
Invertierender Verstärker
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Nichtinvertierender Verstärker
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Summierverstärker
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Idealer Operationsverstärker
V+ = V−, Iin = 0
Reihen- und Parallelschaltung
Widerstände in Reihe
Req = R1 + R2 + …
Widerstände parallel
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Zwei parallel
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Ohmsches Gesetz
V = I·R
Leistung
P = V·I = I²R = V²/R
Methode
Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.
Thévenin und Norton
Thévenin-Spannung
Vth = Vopen circuit
Thévenin-Widerstand
Rth: alle Quellen abgeschaltet, von a–b aus gesehen
Norton-Strom
IN = Vth/Rth
Laststrom
IL = Vth/(Rth + RL)
Maximale Leistungsübertragung
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
Methode
Entferne die Last und markiere die beiden Klemmen a und b.
Bestimme die Leerlaufspannung zwischen a und b: Das ist Vth.
Schalte alle unabhängigen Quellen ab und bestimme den Widerstand, den man von a–b aus sieht: Das ist Rth.
Schließe die Last wieder an die Ersatzschaltung an: Vth in Reihe mit Rth.
Für die Norton-Ersatzschaltung umrechnen: IN = Vth/Rth, mit RN = Rth parallel.
2Übungsaufgaben
1.Wheatstone-Brücke und DehnungsmessstreifenMittel
Eine Brücke mit vier Zweigen von je 120 Ω wird mit 12 V versorgt. Wenn sich der Sensor R₂ ändert, zeigt der Ausgang Vab = 339,6 mV. Bestimme die exakte Änderung ΔR von R₂.
Vs = 12 VR = 120 ΩVab = 339,6 mV
ΔR = Ω
2.Wheatstone-Brücke und DehnungsmessstreifenSchwer
Ein Dehnungsmessstreifen (GF = 2,1) an einem Bauteil mit E = 70 GPa bildet eine Viertelbrücke mit 10 V Speisespannung. Der Ausgang zeigt 7,875 mV. Bestimme die axiale Spannung σ in MPa.
Vs = 10 VGF = 2,1Vo = 7,875 mVE = 70 GPa
σ = MPa
3.Messdatenerfassung und AbtastungMittel
Ein Recorder tastet 2 Kanäle mit je 50 kHz mit einem 12-Bit-ADC ab. Jeder Abtastwert wird in ganzen Bytes gespeichert. Bestimme den Speicher M, der für eine Aufzeichnung von 15 min nötig ist, in MB (1 MB = 10⁶ Bytes).
n = 2fs = 50 kHzN = 12t = 15 min
M = MB
4.Messdatenerfassung und AbtastungSchwer
Eine Rechteckwelle mit 1,75 kHz wird ohne Anti-Aliasing-Filter mit 5 kHz abgetastet. Ein Rechtecksignal enthält die ungeraden Oberschwingungen 3f₁, 5f₁, 7f₁, … Bei welcher Frequenz fa erscheint seine Oberschwingung 3f₁ in den abgetasteten Daten? Gib sie in Hz an.
f₁ = 1,75 kHzfs = 5 kHzOberschwingung: 3f₁
fa = Hz
5.OperationsverstärkerMittel
Der Operationsverstärker ist ideal und wird mit ±15 V versorgt. Bestimme die Ausgangsspannung Vout.
Vin = 0,2 VR1 = 2 kΩRf = 4,7 kΩ
Vout = V
6.OperationsverstärkerSchwer
Der Summierverstärker verwendet einen idealen Operationsverstärker mit ±15 V Versorgung. Bestimme die Ausgangsspannung Vout.
V1 = 0,6 VV2 = 1,3 VR1 = 22 kΩR2 = 2 kΩRf = 1 kΩ
Vout = V
7.Reihen- und ParallelschaltungMittel
Bestimme den Strom IR2 durch R2.
V1 = 24 VR1 = 2 ΩR2 = 5 ΩR3 = 10 ΩR4 = 4 Ω
IR2 = A
8.Reihen- und ParallelschaltungSchwer
Bestimme den Strom IR1, den die Quelle abgibt und der durch R1 fließt.
Bestimme den Thévenin-Widerstand Rth an den Klemmen a–b.
V1 = 15 VR1 = 2 ΩR2 = 3 ΩR3 = 20 Ω
Rth = Ω
10.Thévenin und NortonSchwer
Bestimme den Norton-Strom IN: den Strom, der von a nach b fließt, wenn die Klemmen kurzgeschlossen sind.
V1 = 30 VIs = 1 AR1 = 12 ΩR2 = 6 ΩR3 = 2 Ω
IN = A
3Lösungen
1.Wheatstone-Brücke und Dehnungsmessstreifen
Antwort: ΔR = 14,4 Ω
Wheatstone-Brücke: Zwei Spannungsteiler teilen sich eine Versorgung Vs. Der linke Teiler R1–R2 liefert Va = Vs·R2/(R1 + R2) und der rechte Teiler R3–R4 liefert Vb = Vs·R4/(R3 + R4); die Ausgangsspannung ist Vab = Va − Vb. Die Brücke ist abgeglichen (Vab = 0, kein Strom im Messgerät), wenn R1/R2 = R3/R4 gilt, also R1·R4 = R2·R3. Vom Ausgang aus gesehen ist die Brücke eine Thevenin-Quelle mit Rth = R1∥R2 + R3∥R4.
Knotenspannung
Va = 6 + 0,3396 = 6,34 V
Teiler auflösen
R₂ = 120·6,34/(12 − 6,34) = 134,4 Ω
ΔR = 134,4 − 120 = 14,4 Ω
Antwort
ΔR = 14,4 Ω
2.Wheatstone-Brücke und Dehnungsmessstreifen
Antwort: σ = 105 MPa
Dehnungsmessstreifen: Ein Streifen ändert seinen Widerstand mit der Dehnung: ΔR/R = GF·ε, wobei der k-Faktor GF bei Metallfolien etwa 2 beträgt. In einer Brücke mit lauter gleichen Zweigen R liefert ein aktiver Streifen (Viertelbrücke) Vo ≈ Vs·GF·ε/4. Zwei aktive Streifen mit entgegengesetzter Dehnung in benachbarten Zweigen (Halbbrücke) liefern Vs·GF·ε/2, und vier (Vollbrücke) liefern Vs·GF·ε. Die Spannung folgt aus dem Hookeschen Gesetz, σ = E·ε. Kraftaufnehmer geben ihre Empfindlichkeit in mV/V an: die Ausgangsspannung bei Volllast je Volt Speisespannung.
Dehnung
ε = 4·0,007875/(10·2,1) = 0,0015
Spannung
σ = 70·10³ MPa·0,0015 = 105 MPa
Antwort
σ = 105 MPa
3.Messdatenerfassung und Abtastung
Antwort: M = 180 MB
Datenraten: Jeder Kanal liefert fs Abtastwerte pro Sekunde mit je N Bits, die rohe Rate beträgt also Kanäle × fs × N bit/s. Im Speicher belegt ein Abtastwert ganze Bytes (ein 12-Bit-Wert wird in 2 Bytes gespeichert), der Speicher für eine Aufzeichnung beträgt also Kanäle × fs × Bytes pro Abtastwert × Zeit. Ein gemultiplexter ADC wandelt die Kanäle nacheinander: Jede Wandlung (mit Einschwingen) dauert t, eine Runde über n Kanäle dauert also n·t, und jeder Kanal wird mit 1/(n·t) abgetastet.
Bytes pro Abtastwert
⌈12/8⌉ = 2 B
Byterate
2·50000·2 = 200000 B/s
Speicher
M = 200000·900 = 1,8 × 10⁸ B = 180 MB
Antwort
M = 180 MB
4.Messdatenerfassung und Abtastung
Antwort: fa = 250 Hz
Abtastung: Ein ADC misst das Signal fs-mal pro Sekunde. Nach dem Nyquist-Shannon-Theorem wird eine Frequenz f nur dann korrekt erfasst, solange f < fs/2 gilt, der Nyquist-Frequenz (Faltungsfrequenz); die Abtastrate muss also größer sein als das Doppelte der höchsten Signalfrequenz. Eine höhere Frequenz geht nicht verloren: Sie erscheint als Alias bei fa = |f − k·fs|, wobei die ganze Zahl k das Ergebnis in den Bereich zwischen 0 und fs/2 bringt. Die Abtastwerte können beide nicht unterscheiden, daher muss ein analoges Anti-Aliasing-Filter vor dem ADC alles oberhalb von fs/2 entfernen.
Frequenz der Oberschwingung
3f₁ = 3·1,75 kHz = 5,25 kHz
Nächstes Vielfaches der Abtastrate
m = round(1,05) = 1
Alias-Frequenz
fa = |5250 − 1·5000| = 250 Hz
Antwort
fa = 250 Hz
Der Alias landet im Signalband, wo ihn kein digitales Filter entfernen kann. Nur ein analoges Filter vor dem ADC hilft.
5.Operationsverstärker
Antwort: Vout = 0,67 V
Regeln für den idealen Operationsverstärker: Mit Gegenkopplung stellt der OPV seinen Ausgang so ein, dass beide Eingänge auf derselben Spannung liegen (V₋ = V₊), und in keinen Eingang fließt Strom. Die Knotenregel am invertierenden Eingang mit diesen beiden Tatsachen liefert den Ausgang.
Der invertierende Eingang folgt dem Eingang
V₋ = V₊ = 0,2 V
I = V₋/R1 = 0,2/2 = 0,1 mA
Ausgangsspannung
Der Strom durch R₁ fließt auch durch Rf.
Vout = V₋ + I·Rf = 0,2 + 0,1·4,7 = 0,67 V
Antwort
Vout = 0,67 V
6.Operationsverstärker
Antwort: Vout = −0,6773 V
Regeln für den idealen Operationsverstärker: Mit Gegenkopplung stellt der OPV seinen Ausgang so ein, dass beide Eingänge auf derselben Spannung liegen (V₋ = V₊), und in keinen Eingang fließt Strom. Die Knotenregel am invertierenden Eingang mit diesen beiden Tatsachen liefert den Ausgang.
Eingangsströme
V₋ = 0, daher liegt an jedem Eingangswiderstand seine volle Eingangsspannung.
I1 = V1/R1 = 0,6/22 = 0,02727 mA
I2 = V2/R2 = 1,3/2 = 0,65 mA
If = I1 + I2 = 0,6773 mA
Ausgangsspannung
Vout = −Rf·If = −1·0,6773 = −0,6773 V
Antwort
Vout = −0,6773 V
7.Reihen- und Parallelschaltung
Antwort: IR2 = 3,111 A
Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.
Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen
Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.
R3 + R4 = 10 + 4 = 14 Ω
R2 ∥ 14 = 5·14/(5+14) = 3,684 Ω
Req = R1 + 3,684 = 2 + 3,684 = 5,684 Ω
Strom aus der Quelle
Die Quelle sieht nur Req, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.
IR1 = V1/Req = 24/5,684 = 4,222 A
Strom durch R₂
Ziehe den Spannungsabfall an R₁ ab, um die Spannung an Knoten A zu erhalten, die an R₂ anliegt.
VA = V1 − IR1·R1 = 24 − 4,222·2 = 15,56 V
IR2 = VA/R2 = 15,56/5 = 3,111 A
Antwort
IR2 = 3,111 A
8.Reihen- und Parallelschaltung
Antwort: IR1 = 1,224 A
Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.
Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen
Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.
R5 + R6 = 30 + 10 = 40 Ω
R4 ∥ 40 = 13,33 Ω
R3 + 13,33 = 28,33 Ω
R2 ∥ 28,33 = 4,25 Ω
Req = R1 + 4,25 = 8 + 4,25 = 12,25 Ω
Strom aus der Quelle
Die Quelle sieht nur Req, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.
IR1 = V1/Req = 15/12,25 = 1,224 A
Antwort
IR1 = 1,224 A
9.Thévenin und Norton
Antwort: Rth = 21,2 Ω
Satz von Thévenin: Jedes lineare Zweipolnetzwerk verhält sich wie eine einzige Spannungsquelle Vth in Reihe mit einem Widerstand Rth. Der Satz von Norton beschreibt dasselbe Netzwerk als Stromquelle IN = Vth/Rth parallel zu Rth.
Rth bei abgeschalteten Quellen bestimmen
Ersetze Spannungsquellen durch Kurzschlüsse und Stromquellen durch Leerläufe und blicke dann von a–b in die Schaltung.
R1 ∥ R2 = 2·3/(2+3) = 1,2 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,2 + 20 = 21,2 Ω
10.Thévenin und Norton
Antwort: IN = 2,667 A
Satz von Thévenin: Jedes lineare Zweipolnetzwerk verhält sich wie eine einzige Spannungsquelle Vth in Reihe mit einem Widerstand Rth. Der Satz von Norton beschreibt dasselbe Netzwerk als Stromquelle IN = Vth/Rth parallel zu Rth.
Rth bei abgeschalteten Quellen bestimmen
Ersetze Spannungsquellen durch Kurzschlüsse und Stromquellen durch Leerläufe und blicke dann von a–b in die Schaltung.
R1 ∥ R2 = 12·6/(12+6) = 4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4 + 2 = 6 Ω
Vth bestimmen, die Leerlaufspannung
Bei offenen Klemmen a–b fließt Iₛ nur über R₃ in Knoten A. Bestimme V_A durch Überlagerung von V₁ und Iₛ und addiere dann den Spannungsabfall an R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 10 + 1·4 = 14 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 14 + 1·2 = 16 V
Norton-Ersatzschaltbild
Eine Norton-Quelle ist dieselbe Schaltung, gesehen als Stromquelle parallel zu R_th. Ihr Strom ist der Kurzschlussstrom an a–b.