Messtechnik und Sensorik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Wheatstone-Brücke und Dehnungsmessstreifen

Teilerspannungen: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Ausfuhr: V_ab = V_a − V_b
Bilanz: R₁/R₂ = R₃/R₄
Schleifdrahtbrücke: R/R_x = l/(100 − l)
Thévenin-Widerstand: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
k-Faktor: ΔR/R = GF·ε
Brückenausgangsspannung: Viertelbrücke V_s·GF·ε/4, Halbbrücke V_s·GF·ε/2, Vollbrücke V_s·GF·ε
Kleine Änderung, ein Zweig: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Spannung: σ = E·ε

Methode

Behandle die Brücke als zwei Spannungsteiler an derselben Versorgung.
Setze für den Abgleich R₁/R₂ = R₃/R₄ und löse nach dem unbekannten Widerstand auf.
Bestimme bei einer nicht abgeglichenen Brücke V_a und V_b aus den Teilern und bilde die Differenz; verwende die Thevenin-Ersatzschaltung, wenn ein Messgerät den Ausgang belastet.
Rechne bei Dehnungsmessstreifen die Dehnung in ΔR/R = GF·ε um und verwende V_s·GF·ε/4, /2 oder ×1 für eine Viertel-, Halb- oder Vollbrücke.

Messdatenerfassung und Abtastung

Nyquist-Kriterium: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Alias-Frequenz: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Schrittweite: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Quantisierungsfehler (Runden): ±½ LSB
ADC-Code bei Abschneiden: D = ⌊V_in/LSB⌋
Bits für eine Auflösung r: 2ᴺ ≥ span/r
Ideales SQNR, Sinus mit Vollaussteuerung: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Datenrate: Kanäle × f_s × N bit/s
Gemultiplexter ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/Baudrate; 8N1 = 10 Bit pro Byte; Byte/s = Baudrate/Bits pro Frame
Baudraten-Teiler: baud = f_clk/(16·D)

Methode

Schreibe auf, was gegeben ist: Abtastrate, Signalfrequenzen, Bitanzahl, Eingangsbereich, Baudrate.
Vergleiche bei Abtastaufgaben jede Frequenz mit f_s/2; eine höhere Frequenz erscheint bei f_a = |f − k·f_s| mit dem nächstgelegenen Vielfachen von f_s.
Bestimme bei Auflösungsaufgaben 1 LSB = V_FSR/2ᴺ oder das kleinste N mit 2ᴺ ≥ Spanne/Auflösung.
Zähle bei Datenraten und UART-Verbindungen alles, was gesendet wird: Kanäle, Abtastwerte pro Sekunde, Bits oder ganze Bytes pro Abtastwert sowie Start-, Paritäts- und Stoppbits jedes Frames.

Operationsverstärker

Invertierender Verstärker: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Nichtinvertierender Verstärker: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Summierverstärker: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Idealer Operationsverstärker: V₊ = V₋, I_in = 0

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe: R_eq = R₁ + R₂ + …
Widerstände parallel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zwei parallel: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Ohmsches Gesetz: V = I·R
Leistung: P = V·I = I²R = V²/R

Methode

Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

Thévenin und Norton

Thévenin-Spannung: V_th = V_{open circuit}
Thévenin-Widerstand: R_th: alle Quellen abgeschaltet, von a–b aus gesehen
Norton-Strom: I_N = V_th/R_th
Laststrom: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maximale Leistungsübertragung: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Methode

Entferne die Last und markiere die beiden Klemmen a und b.
Bestimme die Leerlaufspannung zwischen a und b: Das ist V_th.
Schalte alle unabhängigen Quellen ab und bestimme den Widerstand, den man von a–b aus sieht: Das ist R_th.
Schließe die Last wieder an die Ersatzschaltung an: V_th in Reihe mit R_th.
Für die Norton-Ersatzschaltung umrechnen: I_N = V_th/R_th, mit R_N = R_th parallel.

2Übungsaufgaben

1.Wheatstone-Brücke und DehnungsmessstreifenMittel

Eine Brücke mit vier Zweigen von je 1000 Ω wird mit 12 V versorgt. Wenn sich der Sensor R₂ ändert, zeigt der Ausgang V_ab = 59,41 mV. Bestimme die exakte Änderung ΔR von R₂.

V_s = 12 VR = 1000 ΩV_ab = 59,41 mV

ΔR = Ω

2.Wheatstone-Brücke und DehnungsmessstreifenSchwer

Ein Dehnungsmessstreifen (GF = 2,12) an einem Bauteil mit E = 110 GPa bildet eine Viertelbrücke mit 10 V Speisespannung. Der Ausgang zeigt 4,24 mV. Bestimme die axiale Spannung σ in MPa.

V_s = 10 VGF = 2,12V_o = 4,24 mVE = 110 GPa

σ = MPa

3.Messdatenerfassung und AbtastungMittel

Ein Recorder tastet einen Kanal mit 25 kHz mit einem 24-Bit-ADC ab. Jeder Abtastwert wird in ganzen Bytes gespeichert. Bestimme den Speicher M, der für eine Aufzeichnung von 1 min nötig ist, in MB (1 MB = 10⁶ Bytes).

n = 1f_s = 25 kHzN = 24t = 1 min

M = MB

4.Messdatenerfassung und AbtastungSchwer

Eine Rechteckwelle mit 1,5 kHz wird ohne Anti-Aliasing-Filter mit 5 kHz abgetastet. Ein Rechtecksignal enthält die ungeraden Oberschwingungen 3f₁, 5f₁, 7f₁, … Bei welcher Frequenz f_a erscheint seine Oberschwingung 5f₁ in den abgetasteten Daten? Gib sie in Hz an.

f₁ = 1,5 kHzf_s = 5 kHzOberschwingung: 5f₁

f_a = Hz

5.OperationsverstärkerMittel

Wähle den Rückkopplungswiderstand R_f so, dass dieser nichtinvertierende Verstärker eine Spannungsverstärkung von 2 hat.

R₁ = 100 kΩA_v = 2

R_f = kΩ

6.OperationsverstärkerSchwer

Der Operationsverstärker ist ideal und wird mit ±15 V versorgt. Die Widerstandsverhältnisse sind nicht abgeglichen. Bestimme die Ausgangsspannung V_out.

V₁ = 1,3 VV₂ = 2 VR₁ = 2 kΩR₂ = 10 kΩR₃ = 47 kΩR₄ = 10 kΩ

V_out = V

7.Reihen- und ParallelschaltungMittel

Bestimme den Strom I_R2 durch R₂.

V₁ = 30 VR₁ = 10 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 5 Ω

I_R2 = A

8.Reihen- und ParallelschaltungSchwer

Bestimme den Strom I_R1, den die Quelle abgibt und der durch R₁ fließt.

V₁ = 30 VR₁ = 30 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 5 Ω

I_R1 = A

9.Thévenin und NortonMittel

An a–b wird eine Last R_L = 10 Ω angeschlossen. Ersetze den Rest der Schaltung durch ihr Thévenin-Ersatzschaltbild und bestimme den Laststrom I_L.

V₁ = 18 VR₁ = 2 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 3 ΩR_L = 10 Ω

I_L = A

10.Thévenin und NortonSchwer

Bestimme die Thévenin-Spannung V_th an den Klemmen a–b.

V₁ = 36 VI_s = 4 AR₁ = 8 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 2 Ω

V_th = V

3Lösungen

1.Wheatstone-Brücke und Dehnungsmessstreifen

Antwort: ΔR = 20 Ω

Wheatstone-Brücke: Zwei Spannungsteiler teilen sich eine Versorgung V_s. Der linke Teiler R₁–R₂ liefert V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂) und der rechte Teiler R₃–R₄ liefert V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); die Ausgangsspannung ist V_ab = V_a − V_b. Die Brücke ist abgeglichen (V_ab = 0, kein Strom im Messgerät), wenn R₁/R₂ = R₃/R₄ gilt, also R₁·R₄ = R₂·R₃. Vom Ausgang aus gesehen ist die Brücke eine Thevenin-Quelle mit R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Knotenspannung

V_a = 6 + 0,05941 = 6,059 V

Teiler auflösen

R₂ = 1000·6,059/(12 − 6,059) = 1020 Ω

ΔR = 1020 − 1000 = 20 Ω

Antwort

ΔR = 20 Ω

2.Wheatstone-Brücke und Dehnungsmessstreifen

Antwort: σ = 88 MPa

Dehnungsmessstreifen: Ein Streifen ändert seinen Widerstand mit der Dehnung: ΔR/R = GF·ε, wobei der k-Faktor GF bei Metallfolien etwa 2 beträgt. In einer Brücke mit lauter gleichen Zweigen R liefert ein aktiver Streifen (Viertelbrücke) V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Zwei aktive Streifen mit entgegengesetzter Dehnung in benachbarten Zweigen (Halbbrücke) liefern V_s·GF·ε/2, und vier (Vollbrücke) liefern V_s·GF·ε. Die Spannung folgt aus dem Hookeschen Gesetz, σ = E·ε. Kraftaufnehmer geben ihre Empfindlichkeit in mV/V an: die Ausgangsspannung bei Volllast je Volt Speisespannung.

Dehnung

ε = 4·0,00424/(10·2,12) = 0,0008

Spannung

σ = 110·10³ MPa·0,0008 = 88 MPa

Antwort

σ = 88 MPa

3.Messdatenerfassung und Abtastung

Antwort: M = 4,5 MB

Datenraten: Jeder Kanal liefert f_s Abtastwerte pro Sekunde mit je N Bits, die rohe Rate beträgt also Kanäle × f_s × N bit/s. Im Speicher belegt ein Abtastwert ganze Bytes (ein 12-Bit-Wert wird in 2 Bytes gespeichert), der Speicher für eine Aufzeichnung beträgt also Kanäle × f_s × Bytes pro Abtastwert × Zeit. Ein gemultiplexter ADC wandelt die Kanäle nacheinander: Jede Wandlung (mit Einschwingen) dauert t, eine Runde über n Kanäle dauert also n·t, und jeder Kanal wird mit 1/(n·t) abgetastet.

Bytes pro Abtastwert

⌈24/8⌉ = 3 B

Byterate

1·25000·3 = 75000 B/s

Speicher

M = 75000·60 = 4,5 × 10⁶ B = 4,5 MB

Antwort

M = 4,5 MB

4.Messdatenerfassung und Abtastung

Antwort: f_a = 2500 Hz

Abtastung: Ein ADC misst das Signal f_s-mal pro Sekunde. Nach dem Nyquist-Shannon-Theorem wird eine Frequenz f nur dann korrekt erfasst, solange f < f_s/2 gilt, der Nyquist-Frequenz (Faltungsfrequenz); die Abtastrate muss also größer sein als das Doppelte der höchsten Signalfrequenz. Eine höhere Frequenz geht nicht verloren: Sie erscheint als Alias bei f_a = |f − k·f_s|, wobei die ganze Zahl k das Ergebnis in den Bereich zwischen 0 und f_s/2 bringt. Die Abtastwerte können beide nicht unterscheiden, daher muss ein analoges Anti-Aliasing-Filter vor dem ADC alles oberhalb von f_s/2 entfernen.

Frequenz der Oberschwingung

5f₁ = 5·1,5 kHz = 7,5 kHz

Nächstes Vielfaches der Abtastrate

m = round(1,5) = 2

Alias-Frequenz

f_a = |7500 − 2·5000| = 2500 Hz

Antwort

f_a = 2500 Hz

Der Alias landet im Signalband, wo ihn kein digitales Filter entfernen kann. Nur ein analoges Filter vor dem ADC hilft.

5.Operationsverstärker

Antwort: R_f = 100 kΩ

Regeln für den idealen Operationsverstärker: Mit Gegenkopplung stellt der OPV seinen Ausgang so ein, dass beide Eingänge auf derselben Spannung liegen (V₋ = V₊), und in keinen Eingang fließt Strom. Die Knotenregel am invertierenden Eingang mit diesen beiden Tatsachen liefert den Ausgang.

Verstärkung eines nichtinvertierenden Verstärkers

V₋ = V₊ = V_in, und der Strom durch R₁ fließt auch durch R_f, also V_out = V_in·(1 + R_f/R₁).

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (2 − 1)·100 = 100 kΩ

Antwort

R_f = 100 kΩ

6.Operationsverstärker

Antwort: V_out = −4,395 V

Spannung am +-Eingang

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 2·10/(47 + 10) = 0,3509 V

Die beiden Eingänge überlagern

Mit V₂ = 0 sieht V₁ einen invertierenden Verstärker. Mit V₁ = 0 wird V₊ mit der nicht invertierenden Verstärkung 1 + R₂/R₁ verstärkt.

V_out = −(10/2)·1,3 + (1 + 10/2)·0,3509 = −6,5 + 2,105 = −4,395 V

Antwort

V_out = −4,395 V

7.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: I_R2 = 0,6923 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R₃ + R₄ = 10 + 5 = 15 Ω

R₂ ∥ 15 = 20·15/(20+15) = 8,571 Ω

R_eq = R₁ + 8,571 = 10 + 8,571 = 18,57 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur R_eq, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/18,57 = 1,615 A

Strom durch R₂

Ziehe den Spannungsabfall an R₁ ab, um die Spannung an Knoten A zu erhalten, die an R₂ anliegt.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 1,615·10 = 13,85 V

I_R2 = V_A/R₂ = 13,85/20 = 0,6923 A

Antwort

I_R2 = 0,6923 A

8.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: I_R1 = 0,8215 A

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

R₅ + R₆ = 5 + 5 = 10 Ω

R₄ ∥ 10 = 1,667 Ω

R₃ + 1,667 = 9,667 Ω

R₂ ∥ 9,667 = 6,517 Ω

R_eq = R₁ + 6,517 = 30 + 6,517 = 36,52 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur R_eq, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/36,52 = 0,8215 A

Antwort

I_R1 = 0,8215 A

9.Thévenin und Norton

Antwort: I_L = 0,6429 A

Satz von Thévenin: Jedes lineare Zweipolnetzwerk verhält sich wie eine einzige Spannungsquelle V_th in Reihe mit einem Widerstand R_th. Der Satz von Norton beschreibt dasselbe Netzwerk als Stromquelle I_N = V_th/R_th parallel zu R_th.

R_th bei abgeschalteten Quellen bestimmen

Ersetze Spannungsquellen durch Kurzschlüsse und Stromquellen durch Leerläufe und blicke dann von a–b in die Schaltung.

R₁ ∥ R₂ = 2·2/(2+2) = 1 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1 + 3 = 4 Ω

V_th bestimmen, die Leerlaufspannung

Bei offenen Klemmen a–b fließt kein Strom durch R₃, also fällt daran keine Spannung ab und V_b = V_A. R₁ und R₂ bilden einen Spannungsteiler.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 18·2/(2+2) = 9 V

Die Last an das Thévenin-Ersatzschaltbild anschließen

Thévenin-Quelle und R_th in Reihe verhalten sich an a–b genau wie die ursprüngliche Schaltung, daher sieht die Last einen einfachen Reihenkreis.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 9/(4 + 10) = 0,6429 A

10.Thévenin und Norton

Antwort: V_th = −7,2 V

R_th bei abgeschalteten Quellen bestimmen

Ersetze Spannungsquellen durch Kurzschlüsse und Stromquellen durch Leerläufe und blicke dann von a–b in die Schaltung.

R₁ ∥ R₂ = 8·2/(8+2) = 1,6 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,6 + 2 = 3,6 Ω

V_th bestimmen, die Leerlaufspannung

Bei offenen Klemmen a–b fließt Iₛ nur über R₃ in Knoten A. Bestimme V_A durch Überlagerung von V₁ und Iₛ und addiere dann den Spannungsabfall an R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 7,2 + (−4)·1,6 = 0,8 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 0,8 + (−4)·2 = −7,2 V

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Messtechnik und Sensorik: Lernpaket

1Formeln und Methoden

Wheatstone-Brücke und Dehnungsmessstreifen

Methode

Messdatenerfassung und Abtastung

Methode

Operationsverstärker

Reihen- und Parallelschaltung

Methode

Thévenin und Norton

Methode

2Übungsaufgaben

3Lösungen

Knotenspannung

Teiler auflösen

Antwort

Dehnung

Spannung

Antwort

Bytes pro Abtastwert

Byterate

Speicher

Antwort

Frequenz der Oberschwingung

Nächstes Vielfaches der Abtastrate

Alias-Frequenz

Antwort

Verstärkung eines nichtinvertierenden Verstärkers

Antwort

Spannung am +-Eingang

Die beiden Eingänge überlagern

Antwort

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Strom aus der Quelle

Strom durch R₂

Antwort

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Strom aus der Quelle

Antwort

Rth bei abgeschalteten Quellen bestimmen

Vth bestimmen, die Leerlaufspannung

Die Last an das Thévenin-Ersatzschaltbild anschließen

Rth bei abgeschalteten Quellen bestimmen

Vth bestimmen, die Leerlaufspannung

R_th bei abgeschalteten Quellen bestimmen

V_th bestimmen, die Leerlaufspannung

R_th bei abgeschalteten Quellen bestimmen

V_th bestimmen, die Leerlaufspannung