Behandle die Brücke als zwei Spannungsteiler an derselben Versorgung.
Setze für den Abgleich R₁/R₂ = R₃/R₄ und löse nach dem unbekannten Widerstand auf.
Bestimme bei einer nicht abgeglichenen Brücke Va und Vb aus den Teilern und bilde die Differenz; verwende die Thevenin-Ersatzschaltung, wenn ein Messgerät den Ausgang belastet.
Rechne bei Dehnungsmessstreifen die Dehnung in ΔR/R = GF·ε um und verwende Vs·GF·ε/4, /2 oder ×1 für eine Viertel-, Halb- oder Vollbrücke.
Messdatenerfassung und Abtastung
Nyquist-Kriterium
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Alias-Frequenz
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Schrittweite
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Quantisierungsfehler (Runden)
±½ LSB
ADC-Code bei Abschneiden
D = ⌊Vin/LSB⌋
Bits für eine Auflösung r
2ᴺ ≥ span/r
Ideales SQNR, Sinus mit Vollaussteuerung
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Datenrate
Kanäle × fs × N bit/s
Gemultiplexter ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/Baudrate; 8N1 = 10 Bit pro Byte; Byte/s = Baudrate/Bits pro Frame
Baudraten-Teiler
baud = fclk/(16·D)
Methode
Schreibe auf, was gegeben ist: Abtastrate, Signalfrequenzen, Bitanzahl, Eingangsbereich, Baudrate.
Vergleiche bei Abtastaufgaben jede Frequenz mit fs/2; eine höhere Frequenz erscheint bei fa = |f − k·fs| mit dem nächstgelegenen Vielfachen von fs.
Bestimme bei Auflösungsaufgaben 1 LSB = VFSR/2ᴺ oder das kleinste N mit 2ᴺ ≥ Spanne/Auflösung.
Zähle bei Datenraten und UART-Verbindungen alles, was gesendet wird: Kanäle, Abtastwerte pro Sekunde, Bits oder ganze Bytes pro Abtastwert sowie Start-, Paritäts- und Stoppbits jedes Frames.
Operationsverstärker
Invertierender Verstärker
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Nichtinvertierender Verstärker
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Summierverstärker
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Idealer Operationsverstärker
V+ = V−, Iin = 0
Reihen- und Parallelschaltung
Widerstände in Reihe
Req = R1 + R2 + …
Widerstände parallel
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Zwei parallel
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Ohmsches Gesetz
V = I·R
Leistung
P = V·I = I²R = V²/R
Methode
Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.
Thévenin und Norton
Thévenin-Spannung
Vth = Vopen circuit
Thévenin-Widerstand
Rth: alle Quellen abgeschaltet, von a–b aus gesehen
Norton-Strom
IN = Vth/Rth
Laststrom
IL = Vth/(Rth + RL)
Maximale Leistungsübertragung
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
Methode
Entferne die Last und markiere die beiden Klemmen a und b.
Bestimme die Leerlaufspannung zwischen a und b: Das ist Vth.
Schalte alle unabhängigen Quellen ab und bestimme den Widerstand, den man von a–b aus sieht: Das ist Rth.
Schließe die Last wieder an die Ersatzschaltung an: Vth in Reihe mit Rth.
Für die Norton-Ersatzschaltung umrechnen: IN = Vth/Rth, mit RN = Rth parallel.
2Übungsaufgaben
1.Wheatstone-Brücke und DehnungsmessstreifenMittel
Eine Brücke hat vier Zweige mit je 470 Ω und Vs = 2 V. Der Sensor R₂ steigt um ΔR = 2,35 Ω. Bestimme mit der Näherung für kleine Änderungen die Ausgangsspannung Vab in mV.
Vs = 2 VR = 470 ΩΔR = 2,35 Ω
Vab = mV
2.Wheatstone-Brücke und DehnungsmessstreifenSchwer
Ein Dehnungsmessstreifen (GF = 2) an einem Bauteil mit E = 210 GPa bildet eine Viertelbrücke mit 10 V Speisespannung. Der Ausgang zeigt 2 mV. Bestimme die axiale Spannung σ in MPa.
Vs = 10 VGF = 2Vo = 2 mVE = 210 GPa
σ = MPa
3.Messdatenerfassung und AbtastungMittel
Eine Sinuswelle mit 4,6 kHz wird ohne Anti-Aliasing-Filter mit 4 kHz abgetastet. Bei welcher Frequenz fa erscheint sie in den Abtastwerten? Gib sie in Hz an.
f = 4,6 kHzfs = 4 kHz
fa = Hz
4.Messdatenerfassung und AbtastungSchwer
Ein Mikrocontroller mit 24 MHz Takt stellt seine UART-Baudrate als fclk/(16·D) ein, wobei D eine ganze Zahl ist, die auf den nächsten Wert gerundet wird. Die Zielbaudrate beträgt 19200 Baud. Bestimme den prozentualen Fehler der tatsächlichen Baudrate (positiv, wenn sie zu schnell ist).
fclk = 24 MHzZiel = 19200 Bd
e = %
5.OperationsverstärkerMittel
Der Operationsverstärker ist ideal und wird mit ±15 V versorgt. Bestimme die Ausgangsspannung Vout.
Vin = −0,5 VR1 = 4,7 kΩRf = 4,7 kΩ
Vout = V
6.OperationsverstärkerSchwer
Der Summierverstärker verwendet einen idealen Operationsverstärker mit ±15 V Versorgung. Bestimme die Ausgangsspannung Vout.
Wheatstone-Brücke: Zwei Spannungsteiler teilen sich eine Versorgung Vs. Der linke Teiler R1–R2 liefert Va = Vs·R2/(R1 + R2) und der rechte Teiler R3–R4 liefert Vb = Vs·R4/(R3 + R4); die Ausgangsspannung ist Vab = Va − Vb. Die Brücke ist abgeglichen (Vab = 0, kein Strom im Messgerät), wenn R1/R2 = R3/R4 gilt, also R1·R4 = R2·R3. Vom Ausgang aus gesehen ist die Brücke eine Thevenin-Quelle mit Rth = R1∥R2 + R3∥R4.
Relative Änderung
ΔR/R = 2,35/470 = 0,005
Linearisierte Ausgangsspannung
Vab ≈ 2·0,005/4 = 2,5 mV
Antwort
Vab = 2,5 mV
Der exakte Wert ist 2,494 mV; die Näherung ist gut, solange ΔR/R klein ist.
2.Wheatstone-Brücke und Dehnungsmessstreifen
Antwort: σ = 84 MPa
Dehnungsmessstreifen: Ein Streifen ändert seinen Widerstand mit der Dehnung: ΔR/R = GF·ε, wobei der k-Faktor GF bei Metallfolien etwa 2 beträgt. In einer Brücke mit lauter gleichen Zweigen R liefert ein aktiver Streifen (Viertelbrücke) Vo ≈ Vs·GF·ε/4. Zwei aktive Streifen mit entgegengesetzter Dehnung in benachbarten Zweigen (Halbbrücke) liefern Vs·GF·ε/2, und vier (Vollbrücke) liefern Vs·GF·ε. Die Spannung folgt aus dem Hookeschen Gesetz, σ = E·ε. Kraftaufnehmer geben ihre Empfindlichkeit in mV/V an: die Ausgangsspannung bei Volllast je Volt Speisespannung.
Dehnung
ε = 4·0,002/(10·2) = 0,0004
Spannung
σ = 210·10³ MPa·0,0004 = 84 MPa
Antwort
σ = 84 MPa
3.Messdatenerfassung und Abtastung
Antwort: fa = 600 Hz
Abtastung: Ein ADC misst das Signal fs-mal pro Sekunde. Nach dem Nyquist-Shannon-Theorem wird eine Frequenz f nur dann korrekt erfasst, solange f < fs/2 gilt, der Nyquist-Frequenz (Faltungsfrequenz); die Abtastrate muss also größer sein als das Doppelte der höchsten Signalfrequenz. Eine höhere Frequenz geht nicht verloren: Sie erscheint als Alias bei fa = |f − k·fs|, wobei die ganze Zahl k das Ergebnis in den Bereich zwischen 0 und fs/2 bringt. Die Abtastwerte können beide nicht unterscheiden, daher muss ein analoges Anti-Aliasing-Filter vor dem ADC alles oberhalb von fs/2 entfernen.
Nyquist-Frequenz
fs/2 = 2 kHz < f = 4,6 kHz
Nächstes Vielfaches der Abtastrate
k = round(4600/4000) = 1
Alias-Frequenz
fa = |4600 − 1·4000| = 600 Hz
Antwort
fa = 600 Hz
Die gestrichelte Kurve in der Abbildung ist der Alias: Sie verläuft genau durch dieselben Abtastwerte.
4.Messdatenerfassung und Abtastung
Antwort: e = 0,1603 %
UART: Eine asynchrone serielle Verbindung sendet jedes Byte als Frame: ein Startbit (low), die Datenbits, ein optionales Paritätsbit und ein oder zwei Stoppbits (high). Die Baudrate ist die Anzahl der Bits pro Sekunde, ein Bit dauert also Tb = 1/Baudrate und ein Frame aus n Bits dauert n/Baudrate. Das übliche 8N1-Format hat 10 Bits pro Byte. Der Baudratengenerator teilt den Takt: Baudrate = fclk/(16·D) mit einer ganzen Zahl D, sodass die tatsächliche Baudrate leicht vom Sollwert abweicht; ein Fehler unter etwa 2 % ist meist akzeptabel.
Teiler
D = 24·10⁶/(16·19200) = 78,13 → 78
Tatsächliche Baudrate
24·10⁶/(16·78) = 19231 Bd
Fehler
(19231 − 19200)/19200·100 = 0,1603 %
Antwort
e = 0,1603 %
Ein Fehler unter etwa 2 % ist meist akzeptabel.
5.Operationsverstärker
Antwort: Vout = −1 V
Regeln für den idealen Operationsverstärker: Mit Gegenkopplung stellt der OPV seinen Ausgang so ein, dass beide Eingänge auf derselben Spannung liegen (V₋ = V₊), und in keinen Eingang fließt Strom. Die Knotenregel am invertierenden Eingang mit diesen beiden Tatsachen liefert den Ausgang.
Der invertierende Eingang folgt dem Eingang
V₋ = V₊ = −0,5 V
I = V₋/R1 = −0,5/4,7 = −0,1064 mA
Ausgangsspannung
Der Strom durch R₁ fließt auch durch Rf.
Vout = V₋ + I·Rf = −0,5 + (−0,1064)·4,7 = −1 V
Antwort
Vout = −1 V
6.Operationsverstärker
Antwort: Vout = 12,64 V
Regeln für den idealen Operationsverstärker: Mit Gegenkopplung stellt der OPV seinen Ausgang so ein, dass beide Eingänge auf derselben Spannung liegen (V₋ = V₊), und in keinen Eingang fließt Strom. Die Knotenregel am invertierenden Eingang mit diesen beiden Tatsachen liefert den Ausgang.
Eingangsströme
V₋ = 0, daher liegt an jedem Eingangswiderstand seine volle Eingangsspannung.
I1 = V1/R1 = −1,9/22 = −0,08636 mA
I2 = V2/R2 = −0,4/10 = −0,04 mA
If = I1 + I2 = −0,1264 mA
Ausgangsspannung
Vout = −Rf·If = −100·(−0,1264) = 12,64 V
Antwort
Vout = 12,64 V
7.Reihen- und Parallelschaltung
Antwort: Req = 13,85 Ω
Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.
Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen
Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.
R3 + R4 = 5 + 20 = 25 Ω
R2 ∥ 25 = 2·25/(2+25) = 1,852 Ω
Req = R1 + 1,852 = 12 + 1,852 = 13,85 Ω
Antwort
Req = 13,85 Ω
8.Reihen- und Parallelschaltung
Antwort: IR1 = 1,406 A
Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.
Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen
Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.
R5 + R6 = 10 + 10 = 20 Ω
R4 ∥ 20 = 11,11 Ω
R3 + 11,11 = 41,11 Ω
R2 ∥ 41,11 = 17,34 Ω
Req = R1 + 17,34 = 4 + 17,34 = 21,34 Ω
Strom aus der Quelle
Die Quelle sieht nur Req, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.
IR1 = V1/Req = 30/21,34 = 1,406 A
Antwort
IR1 = 1,406 A
9.Thévenin und Norton
Antwort: IN = 0,6429 A
Satz von Thévenin: Jedes lineare Zweipolnetzwerk verhält sich wie eine einzige Spannungsquelle Vth in Reihe mit einem Widerstand Rth. Der Satz von Norton beschreibt dasselbe Netzwerk als Stromquelle IN = Vth/Rth parallel zu Rth.
Rth bei abgeschalteten Quellen bestimmen
Ersetze Spannungsquellen durch Kurzschlüsse und Stromquellen durch Leerläufe und blicke dann von a–b in die Schaltung.
R1 ∥ R2 = 6·5/(6+5) = 2,727 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,727 + 10 = 12,73 Ω
Vth bestimmen, die Leerlaufspannung
Bei offenen Klemmen a–b fließt kein Strom durch R₃, also fällt daran keine Spannung ab und V_b = V_A. R₁ und R₂ bilden einen Spannungsteiler.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 18·5/(6+5) = 8,182 V
Norton-Ersatzschaltbild
Eine Norton-Quelle ist dieselbe Schaltung, gesehen als Stromquelle parallel zu R_th. Ihr Strom ist der Kurzschlussstrom an a–b.
IN = Vth/Rth = 8,182/12,73 = 0,6429 A
10.Thévenin und Norton
Antwort: IL = 1,821 A
Satz von Thévenin: Jedes lineare Zweipolnetzwerk verhält sich wie eine einzige Spannungsquelle Vth in Reihe mit einem Widerstand Rth. Der Satz von Norton beschreibt dasselbe Netzwerk als Stromquelle IN = Vth/Rth parallel zu Rth.
Rth bei abgeschalteten Quellen bestimmen
Ersetze Spannungsquellen durch Kurzschlüsse und Stromquellen durch Leerläufe und blicke dann von a–b in die Schaltung.
R1 ∥ R2 = 2·4/(2+4) = 1,333 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,333 + 6 = 7,333 Ω
Vth bestimmen, die Leerlaufspannung
Bei offenen Klemmen a–b fließt Iₛ nur über R₃ in Knoten A. Bestimme V_A durch Überlagerung von V₁ und Iₛ und addiere dann den Spannungsabfall an R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 6 + 1,5·1,333 = 8 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 8 + 1,5·6 = 17 V
Die Last an das Thévenin-Ersatzschaltbild anschließen
Thévenin-Quelle und R_th in Reihe verhalten sich an a–b genau wie die ursprüngliche Schaltung, daher sieht die Last einen einfachen Reihenkreis.