Behandle die Brücke als zwei Spannungsteiler an derselben Versorgung.
Setze für den Abgleich R₁/R₂ = R₃/R₄ und löse nach dem unbekannten Widerstand auf.
Bestimme bei einer nicht abgeglichenen Brücke Va und Vb aus den Teilern und bilde die Differenz; verwende die Thevenin-Ersatzschaltung, wenn ein Messgerät den Ausgang belastet.
Rechne bei Dehnungsmessstreifen die Dehnung in ΔR/R = GF·ε um und verwende Vs·GF·ε/4, /2 oder ×1 für eine Viertel-, Halb- oder Vollbrücke.
Messdatenerfassung und Abtastung
Nyquist-Kriterium
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Alias-Frequenz
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Schrittweite
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Quantisierungsfehler (Runden)
±½ LSB
ADC-Code bei Abschneiden
D = ⌊Vin/LSB⌋
Bits für eine Auflösung r
2ᴺ ≥ span/r
Ideales SQNR, Sinus mit Vollaussteuerung
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Datenrate
Kanäle × fs × N bit/s
Gemultiplexter ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/Baudrate; 8N1 = 10 Bit pro Byte; Byte/s = Baudrate/Bits pro Frame
Baudraten-Teiler
baud = fclk/(16·D)
Methode
Schreibe auf, was gegeben ist: Abtastrate, Signalfrequenzen, Bitanzahl, Eingangsbereich, Baudrate.
Vergleiche bei Abtastaufgaben jede Frequenz mit fs/2; eine höhere Frequenz erscheint bei fa = |f − k·fs| mit dem nächstgelegenen Vielfachen von fs.
Bestimme bei Auflösungsaufgaben 1 LSB = VFSR/2ᴺ oder das kleinste N mit 2ᴺ ≥ Spanne/Auflösung.
Zähle bei Datenraten und UART-Verbindungen alles, was gesendet wird: Kanäle, Abtastwerte pro Sekunde, Bits oder ganze Bytes pro Abtastwert sowie Start-, Paritäts- und Stoppbits jedes Frames.
Operationsverstärker
Invertierender Verstärker
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Nichtinvertierender Verstärker
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Summierverstärker
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Idealer Operationsverstärker
V+ = V−, Iin = 0
Reihen- und Parallelschaltung
Widerstände in Reihe
Req = R1 + R2 + …
Widerstände parallel
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Zwei parallel
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Ohmsches Gesetz
V = I·R
Leistung
P = V·I = I²R = V²/R
Methode
Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.
Thévenin und Norton
Thévenin-Spannung
Vth = Vopen circuit
Thévenin-Widerstand
Rth: alle Quellen abgeschaltet, von a–b aus gesehen
Norton-Strom
IN = Vth/Rth
Laststrom
IL = Vth/(Rth + RL)
Maximale Leistungsübertragung
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
Methode
Entferne die Last und markiere die beiden Klemmen a und b.
Bestimme die Leerlaufspannung zwischen a und b: Das ist Vth.
Schalte alle unabhängigen Quellen ab und bestimme den Widerstand, den man von a–b aus sieht: Das ist Rth.
Schließe die Last wieder an die Ersatzschaltung an: Vth in Reihe mit Rth.
Für die Norton-Ersatzschaltung umrechnen: IN = Vth/Rth, mit RN = Rth parallel.
2Übungsaufgaben
1.Wheatstone-Brücke und DehnungsmessstreifenMittel
Bestimme den Thevenin-Widerstand Rth der gezeigten Brücke, von den Ausgangsklemmen a und b aus gesehen.
Vs = 3 VR1 = 600 ΩR2 = 60 ΩR3 = 800 ΩR4 = 150 Ω
Rth = Ω
2.Wheatstone-Brücke und DehnungsmessstreifenSchwer
Ein Dehnungsmessstreifen (GF = 2,1) an einem Bauteil mit E = 200 GPa bildet eine Viertelbrücke mit 3 V Speisespannung. Der Ausgang zeigt 1,575 mV. Bestimme die axiale Spannung σ in MPa.
Vs = 3 VGF = 2,1Vo = 1,575 mVE = 200 GPa
σ = MPa
3.Messdatenerfassung und AbtastungMittel
Ein UART sendet Bytes mit 115200 Baud im Format 8E2: 8 Datenbits, ein gerades Paritätsbit und 2 Stoppbit(s), plus das Startbit. Bestimme die größte Anzahl an Datenbytes pro Sekunde, die er übertragen kann.
baud = 115200 Bd8E2
RB = B/s
4.Messdatenerfassung und AbtastungSchwer
Ein Mikrocontroller mit 32 MHz Takt stellt seine UART-Baudrate als fclk/(16·D) ein, wobei D eine ganze Zahl ist, die auf den nächsten Wert gerundet wird. Die Zielbaudrate beträgt 57600 Baud. Bestimme den prozentualen Fehler der tatsächlichen Baudrate (positiv, wenn sie zu schnell ist).
fclk = 32 MHzZiel = 57600 Bd
e = %
5.OperationsverstärkerMittel
Der Operationsverstärker ist ideal und wird mit ±15 V versorgt. Bestimme die Ausgangsspannung Vout.
Vin = 0,6 VR1 = 10 kΩRf = 22 kΩ
Vout = V
6.OperationsverstärkerSchwer
Zwei ideale Operationsverstärkerstufen sind in Kette geschaltet: ein invertierender Verstärker (R1, Rf1), gefolgt von einem nicht invertierenden Verstärker (R2 nach Masse, Rf2 in der Rückkopplung). Beide werden mit ±15 V versorgt. Der Eingang ist Vin = 0,65 V. Bestimme die Ausgangsspannung Vout.
An a–b wird eine Last RL = 12 Ω angeschlossen. Ersetze den Rest der Schaltung durch ihr Thévenin-Ersatzschaltbild und bestimme den Laststrom IL.
V1 = 18 VR1 = 12 ΩR2 = 10 ΩR3 = 20 ΩRL = 12 Ω
IL = A
10.Thévenin und NortonSchwer
Bestimme den Norton-Strom IN: den Strom, der von a nach b fließt, wenn die Klemmen kurzgeschlossen sind.
V1 = 30 VIs = 5 AR1 = 20 ΩR2 = 6 ΩR3 = 20 Ω
IN = A
3Lösungen
1.Wheatstone-Brücke und Dehnungsmessstreifen
Antwort: Rth = 180,9 Ω
Wheatstone-Brücke: Zwei Spannungsteiler teilen sich eine Versorgung Vs. Der linke Teiler R1–R2 liefert Va = Vs·R2/(R1 + R2) und der rechte Teiler R3–R4 liefert Vb = Vs·R4/(R3 + R4); die Ausgangsspannung ist Vab = Va − Vb. Die Brücke ist abgeglichen (Vab = 0, kein Strom im Messgerät), wenn R1/R2 = R3/R4 gilt, also R1·R4 = R2·R3. Vom Ausgang aus gesehen ist die Brücke eine Thevenin-Quelle mit Rth = R1∥R2 + R3∥R4.
Versorgung kurzgeschlossen
R₁∥R₂ = 600·60/660 = 54,55 Ω
R₃∥R₄ = 800·150/950 = 126,3 Ω
Thévenin-Widerstand
Rth = 180,9 Ω
Antwort
Rth = 180,9 Ω
2.Wheatstone-Brücke und Dehnungsmessstreifen
Antwort: σ = 200 MPa
Dehnungsmessstreifen: Ein Streifen ändert seinen Widerstand mit der Dehnung: ΔR/R = GF·ε, wobei der k-Faktor GF bei Metallfolien etwa 2 beträgt. In einer Brücke mit lauter gleichen Zweigen R liefert ein aktiver Streifen (Viertelbrücke) Vo ≈ Vs·GF·ε/4. Zwei aktive Streifen mit entgegengesetzter Dehnung in benachbarten Zweigen (Halbbrücke) liefern Vs·GF·ε/2, und vier (Vollbrücke) liefern Vs·GF·ε. Die Spannung folgt aus dem Hookeschen Gesetz, σ = E·ε. Kraftaufnehmer geben ihre Empfindlichkeit in mV/V an: die Ausgangsspannung bei Volllast je Volt Speisespannung.
Dehnung
ε = 4·0,001575/(3·2,1) = 0,001
Spannung
σ = 200·10³ MPa·0,001 = 200 MPa
Antwort
σ = 200 MPa
3.Messdatenerfassung und Abtastung
Antwort: RB = 9600 B/s
UART: Eine asynchrone serielle Verbindung sendet jedes Byte als Frame: ein Startbit (low), die Datenbits, ein optionales Paritätsbit und ein oder zwei Stoppbits (high). Die Baudrate ist die Anzahl der Bits pro Sekunde, ein Bit dauert also Tb = 1/Baudrate und ein Frame aus n Bits dauert n/Baudrate. Das übliche 8N1-Format hat 10 Bits pro Byte. Der Baudratengenerator teilt den Takt: Baudrate = fclk/(16·D) mit einer ganzen Zahl D, sodass die tatsächliche Baudrate leicht vom Sollwert abweicht; ein Fehler unter etwa 2 % ist meist akzeptabel.
Bits pro Frame
1 + 8 + 1 + 2 = 12
Byterate
115200/12 = 9600 B/s
Antwort
RB = 9600 B/s
4.Messdatenerfassung und Abtastung
Antwort: e = −0,7937 %
UART: Eine asynchrone serielle Verbindung sendet jedes Byte als Frame: ein Startbit (low), die Datenbits, ein optionales Paritätsbit und ein oder zwei Stoppbits (high). Die Baudrate ist die Anzahl der Bits pro Sekunde, ein Bit dauert also Tb = 1/Baudrate und ein Frame aus n Bits dauert n/Baudrate. Das übliche 8N1-Format hat 10 Bits pro Byte. Der Baudratengenerator teilt den Takt: Baudrate = fclk/(16·D) mit einer ganzen Zahl D, sodass die tatsächliche Baudrate leicht vom Sollwert abweicht; ein Fehler unter etwa 2 % ist meist akzeptabel.
Teiler
D = 32·10⁶/(16·57600) = 34,72 → 35
Tatsächliche Baudrate
32·10⁶/(16·35) = 57143 Bd
Fehler
(57143 − 57600)/57600·100 = −0,7937 %
Antwort
e = −0,7937 %
Ein Fehler unter etwa 2 % ist meist akzeptabel.
5.Operationsverstärker
Antwort: Vout = 1,92 V
Regeln für den idealen Operationsverstärker: Mit Gegenkopplung stellt der OPV seinen Ausgang so ein, dass beide Eingänge auf derselben Spannung liegen (V₋ = V₊), und in keinen Eingang fließt Strom. Die Knotenregel am invertierenden Eingang mit diesen beiden Tatsachen liefert den Ausgang.
Der invertierende Eingang folgt dem Eingang
V₋ = V₊ = 0,6 V
I = V₋/R1 = 0,6/10 = 0,06 mA
Ausgangsspannung
Der Strom durch R₁ fließt auch durch Rf.
Vout = V₋ + I·Rf = 0,6 + 0,06·22 = 1,92 V
Antwort
Vout = 1,92 V
6.Operationsverstärker
Antwort: Vout = −6,795 V
Regeln für den idealen Operationsverstärker: Mit Gegenkopplung stellt der OPV seinen Ausgang so ein, dass beide Eingänge auf derselben Spannung liegen (V₋ = V₊), und in keinen Eingang fließt Strom. Die Knotenregel am invertierenden Eingang mit diesen beiden Tatsachen liefert den Ausgang.
Verstärkung jeder Stufe
A1 = −Rf1/R1 = −100/10 = −10
A2 = 1 + Rf2/R2 = 1 + 1/22 = 1,045
Stufe für Stufe
V1 = −10·0,65 = −6,5 V
Vout = 1,045·(−6,5) = −6,795 V
Antwort
Vout = −6,795 V
7.Reihen- und Parallelschaltung
Antwort: Req = 8,737 Ω
Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.
Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen
Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.
R3 + R4 = 5 + 4 = 9 Ω
R2 ∥ 9 = 10·9/(10+9) = 4,737 Ω
Req = R1 + 4,737 = 4 + 4,737 = 8,737 Ω
Antwort
Req = 8,737 Ω
8.Reihen- und Parallelschaltung
Antwort: Req = 12,72 Ω
Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.
Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen
Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.
R5 + R6 = 2 + 15 = 17 Ω
R4 ∥ 17 = 4,435 Ω
R3 + 4,435 = 29,43 Ω
R2 ∥ 29,43 = 2,723 Ω
Req = R1 + 2,723 = 10 + 2,723 = 12,72 Ω
Antwort
Req = 12,72 Ω
9.Thévenin und Norton
Antwort: IL = 0,2184 A
Satz von Thévenin: Jedes lineare Zweipolnetzwerk verhält sich wie eine einzige Spannungsquelle Vth in Reihe mit einem Widerstand Rth. Der Satz von Norton beschreibt dasselbe Netzwerk als Stromquelle IN = Vth/Rth parallel zu Rth.
Rth bei abgeschalteten Quellen bestimmen
Ersetze Spannungsquellen durch Kurzschlüsse und Stromquellen durch Leerläufe und blicke dann von a–b in die Schaltung.
R1 ∥ R2 = 12·10/(12+10) = 5,455 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 5,455 + 20 = 25,45 Ω
Vth bestimmen, die Leerlaufspannung
Bei offenen Klemmen a–b fließt kein Strom durch R₃, also fällt daran keine Spannung ab und V_b = V_A. R₁ und R₂ bilden einen Spannungsteiler.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 18·10/(12+10) = 8,182 V
Die Last an das Thévenin-Ersatzschaltbild anschließen
Thévenin-Quelle und R_th in Reihe verhalten sich an a–b genau wie die ursprüngliche Schaltung, daher sieht die Last einen einfachen Reihenkreis.
IL = Vth/(Rth + RL) = 8,182/(25,45 + 12) = 0,2184 A
10.Thévenin und Norton
Antwort: IN = 5,281 A
Satz von Thévenin: Jedes lineare Zweipolnetzwerk verhält sich wie eine einzige Spannungsquelle Vth in Reihe mit einem Widerstand Rth. Der Satz von Norton beschreibt dasselbe Netzwerk als Stromquelle IN = Vth/Rth parallel zu Rth.
Rth bei abgeschalteten Quellen bestimmen
Ersetze Spannungsquellen durch Kurzschlüsse und Stromquellen durch Leerläufe und blicke dann von a–b in die Schaltung.
R1 ∥ R2 = 20·6/(20+6) = 4,615 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4,615 + 20 = 24,62 Ω
Vth bestimmen, die Leerlaufspannung
Bei offenen Klemmen a–b fließt Iₛ nur über R₃ in Knoten A. Bestimme V_A durch Überlagerung von V₁ und Iₛ und addiere dann den Spannungsabfall an R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 6,923 + 5·4,615 = 30 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 30 + 5·20 = 130 V
Norton-Ersatzschaltbild
Eine Norton-Quelle ist dieselbe Schaltung, gesehen als Stromquelle parallel zu R_th. Ihr Strom ist der Kurzschlussstrom an a–b.