Behandle die Brücke als zwei Spannungsteiler an derselben Versorgung.
Setze für den Abgleich R₁/R₂ = R₃/R₄ und löse nach dem unbekannten Widerstand auf.
Bestimme bei einer nicht abgeglichenen Brücke Va und Vb aus den Teilern und bilde die Differenz; verwende die Thevenin-Ersatzschaltung, wenn ein Messgerät den Ausgang belastet.
Rechne bei Dehnungsmessstreifen die Dehnung in ΔR/R = GF·ε um und verwende Vs·GF·ε/4, /2 oder ×1 für eine Viertel-, Halb- oder Vollbrücke.
Messdatenerfassung und Abtastung
Nyquist-Kriterium
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Alias-Frequenz
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Schrittweite
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Quantisierungsfehler (Runden)
±½ LSB
ADC-Code bei Abschneiden
D = ⌊Vin/LSB⌋
Bits für eine Auflösung r
2ᴺ ≥ span/r
Ideales SQNR, Sinus mit Vollaussteuerung
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Datenrate
Kanäle × fs × N bit/s
Gemultiplexter ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/Baudrate; 8N1 = 10 Bit pro Byte; Byte/s = Baudrate/Bits pro Frame
Baudraten-Teiler
baud = fclk/(16·D)
Methode
Schreibe auf, was gegeben ist: Abtastrate, Signalfrequenzen, Bitanzahl, Eingangsbereich, Baudrate.
Vergleiche bei Abtastaufgaben jede Frequenz mit fs/2; eine höhere Frequenz erscheint bei fa = |f − k·fs| mit dem nächstgelegenen Vielfachen von fs.
Bestimme bei Auflösungsaufgaben 1 LSB = VFSR/2ᴺ oder das kleinste N mit 2ᴺ ≥ Spanne/Auflösung.
Zähle bei Datenraten und UART-Verbindungen alles, was gesendet wird: Kanäle, Abtastwerte pro Sekunde, Bits oder ganze Bytes pro Abtastwert sowie Start-, Paritäts- und Stoppbits jedes Frames.
Operationsverstärker
Invertierender Verstärker
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Nichtinvertierender Verstärker
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Summierverstärker
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Idealer Operationsverstärker
V+ = V−, Iin = 0
Reihen- und Parallelschaltung
Widerstände in Reihe
Req = R1 + R2 + …
Widerstände parallel
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Zwei parallel
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Ohmsches Gesetz
V = I·R
Leistung
P = V·I = I²R = V²/R
Methode
Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.
Thévenin und Norton
Thévenin-Spannung
Vth = Vopen circuit
Thévenin-Widerstand
Rth: alle Quellen abgeschaltet, von a–b aus gesehen
Norton-Strom
IN = Vth/Rth
Laststrom
IL = Vth/(Rth + RL)
Maximale Leistungsübertragung
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
Methode
Entferne die Last und markiere die beiden Klemmen a und b.
Bestimme die Leerlaufspannung zwischen a und b: Das ist Vth.
Schalte alle unabhängigen Quellen ab und bestimme den Widerstand, den man von a–b aus sieht: Das ist Rth.
Schließe die Last wieder an die Ersatzschaltung an: Vth in Reihe mit Rth.
Für die Norton-Ersatzschaltung umrechnen: IN = Vth/Rth, mit RN = Rth parallel.
2Übungsaufgaben
1.Wheatstone-Brücke und DehnungsmessstreifenMittel
Ein Galvanometer mit einem Widerstand von 200 Ω ist zwischen a und b der gezeigten Brücke angeschlossen (Vs = 12 V). Bestimme den Galvanometerstrom Ig von a nach b in µA.
2.Wheatstone-Brücke und DehnungsmessstreifenSchwer
Ein Dehnungsmessstreifen mit 1000 Ω und dem k-Faktor 2 ist auf einen Stahlstab geklebt. Unter Last steigt sein Widerstand um 1,2 Ω. Bestimme die Dehnung ε in Mikrodehnung (µε).
R = 1000 ΩGF = 2ΔR = 1,2 Ω
ε = µε
3.Messdatenerfassung und AbtastungMittel
Ein Recorder tastet 4 Kanäle mit je 5 kHz mit einem 24-Bit-ADC ab. Jeder Abtastwert wird in ganzen Bytes gespeichert. Bestimme den Speicher M, der für eine Aufzeichnung von 30 min nötig ist, in MB (1 MB = 10⁶ Bytes).
n = 4fs = 5 kHzN = 24t = 30 min
M = MB
4.Messdatenerfassung und AbtastungSchwer
Ein Temperatursensor liefert 1 mV/°C (0 V bei 0 °C). Sein Signal wird 10-fach verstärkt und einem 10-Bit-ADC mit einem Bereich von 0 bis 3,3 V zugeführt (1 LSB = VFSR/2ᴺ). Bestimme die Temperaturänderung ΔTLSB, die einem LSB entspricht.
S = 1 mV/°CG = 10N = 10VFSR = 3,3 V
ΔTLSB = °C
5.OperationsverstärkerMittel
Der Operationsverstärker ist ideal und wird mit ±15 V versorgt. Bestimme die Ausgangsspannung Vout.
Vin = −1,2 VR1 = 2 kΩRf = 10 kΩ
Vout = V
6.OperationsverstärkerSchwer
Zwei ideale Operationsverstärkerstufen sind in Kette geschaltet: ein invertierender Verstärker (R1, Rf1), gefolgt von einem nicht invertierenden Verstärker (R2 nach Masse, Rf2 in der Rückkopplung). Beide werden mit ±15 V versorgt. Bestimme die Gesamtspannungsverstärkung Av = Vout/Vin.
R1 = 1 kΩRf1 = 10 kΩR2 = 1 kΩRf2 = 1 kΩ
Av =
7.Reihen- und ParallelschaltungMittel
Bestimme den Ersatzwiderstand Req, den die Quelle V1 sieht.
Bestimme die Thévenin-Spannung Vth an den Klemmen a–b.
V1 = 9 VR1 = 2 ΩR2 = 8 ΩR3 = 2 Ω
Vth = V
10.Thévenin und NortonSchwer
Bestimme die Thévenin-Spannung Vth an den Klemmen a–b.
V1 = 30 VIs = 6 AR1 = 6 ΩR2 = 25 ΩR3 = 2 Ω
Vth = V
3Lösungen
1.Wheatstone-Brücke und Dehnungsmessstreifen
Antwort: Ig = −20652 µA
Wheatstone-Brücke: Zwei Spannungsteiler teilen sich eine Versorgung Vs. Der linke Teiler R1–R2 liefert Va = Vs·R2/(R1 + R2) und der rechte Teiler R3–R4 liefert Vb = Vs·R4/(R3 + R4); die Ausgangsspannung ist Vab = Va − Vb. Die Brücke ist abgeglichen (Vab = 0, kein Strom im Messgerät), wenn R1/R2 = R3/R4 gilt, also R1·R4 = R2·R3. Vom Ausgang aus gesehen ist die Brücke eine Thevenin-Quelle mit Rth = R1∥R2 + R3∥R4.
Thévenin-Spannung
Vth = 12·(20/820 − 600/850) = −8,178 V
Thévenin-Widerstand
Rth = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ = 196 Ω
Galvanometerstrom
Ig = −8,178/(196 + 200) = −20652 µA
Antwort
Ig = −20652 µA
2.Wheatstone-Brücke und Dehnungsmessstreifen
Antwort: ε = 600 µε
Dehnungsmessstreifen: Ein Streifen ändert seinen Widerstand mit der Dehnung: ΔR/R = GF·ε, wobei der k-Faktor GF bei Metallfolien etwa 2 beträgt. In einer Brücke mit lauter gleichen Zweigen R liefert ein aktiver Streifen (Viertelbrücke) Vo ≈ Vs·GF·ε/4. Zwei aktive Streifen mit entgegengesetzter Dehnung in benachbarten Zweigen (Halbbrücke) liefern Vs·GF·ε/2, und vier (Vollbrücke) liefern Vs·GF·ε. Die Spannung folgt aus dem Hookeschen Gesetz, σ = E·ε. Kraftaufnehmer geben ihre Empfindlichkeit in mV/V an: die Ausgangsspannung bei Volllast je Volt Speisespannung.
Relative Widerstandsänderung
ΔR/R = 1,2/1000 = 0,0012
Dehnung
ε = 0,0012/2 = 0,0006 = 600 µε
Antwort
ε = 600 µε
3.Messdatenerfassung und Abtastung
Antwort: M = 108 MB
Datenraten: Jeder Kanal liefert fs Abtastwerte pro Sekunde mit je N Bits, die rohe Rate beträgt also Kanäle × fs × N bit/s. Im Speicher belegt ein Abtastwert ganze Bytes (ein 12-Bit-Wert wird in 2 Bytes gespeichert), der Speicher für eine Aufzeichnung beträgt also Kanäle × fs × Bytes pro Abtastwert × Zeit. Ein gemultiplexter ADC wandelt die Kanäle nacheinander: Jede Wandlung (mit Einschwingen) dauert t, eine Runde über n Kanäle dauert also n·t, und jeder Kanal wird mit 1/(n·t) abgetastet.
Bytes pro Abtastwert
⌈24/8⌉ = 3 B
Byterate
4·5000·3 = 60000 B/s
Speicher
M = 60000·1800 = 1,08 × 10⁸ B = 108 MB
Antwort
M = 108 MB
4.Messdatenerfassung und Abtastung
Antwort: ΔTLSB = 0,3223 °C
ADC-Auflösung: Ein N-Bit-Umsetzer teilt seinen Vollaussteuerbereich VFSR in 2ᴺ Codes, von 0 bis 2ᴺ − 1. Ein Schritt ist 1 LSB = VFSR/2ᴺ: die kleinste Änderung, die der Umsetzer anzeigen kann. Ein abschneidender ADC liefert den Code ⌊Vin/LSB⌋; ein rundender ADC liegt nie mehr als ½ LSB vom wahren Wert entfernt, das ist sein Quantisierungsfehler. Jedes zusätzliche Bit halbiert das LSB und erhöht das ideale Signal-Quantisierungsrausch-Verhältnis SQNR = 6,02·N + 1,76 dB für einen vollausgesteuerten Sinus um etwa 6 dB. Um eine Auflösung r über einer Spanne zu erreichen, wähle das kleinste N mit 2ᴺ ≥ Spanne/r.
Schrittweite
1 LSB = 3300/1024 = 3,223 mV
Empfindlichkeit am ADC
1·10 = 10 mV/°C
Temperaturauflösung
ΔTLSB = 3,223/10 = 0,3223 °C
Antwort
ΔTLSB = 0,3223 °C
Der ADC erreicht die Vollaussteuerung bei 330 °C.
5.Operationsverstärker
Antwort: Vout = −7,2 V
Regeln für den idealen Operationsverstärker: Mit Gegenkopplung stellt der OPV seinen Ausgang so ein, dass beide Eingänge auf derselben Spannung liegen (V₋ = V₊), und in keinen Eingang fließt Strom. Die Knotenregel am invertierenden Eingang mit diesen beiden Tatsachen liefert den Ausgang.
Der invertierende Eingang folgt dem Eingang
V₋ = V₊ = −1,2 V
I = V₋/R1 = −1,2/2 = −0,6 mA
Ausgangsspannung
Der Strom durch R₁ fließt auch durch Rf.
Vout = V₋ + I·Rf = −1,2 + (−0,6)·10 = −7,2 V
Antwort
Vout = −7,2 V
6.Operationsverstärker
Antwort: Av = −20
Regeln für den idealen Operationsverstärker: Mit Gegenkopplung stellt der OPV seinen Ausgang so ein, dass beide Eingänge auf derselben Spannung liegen (V₋ = V₊), und in keinen Eingang fließt Strom. Die Knotenregel am invertierenden Eingang mit diesen beiden Tatsachen liefert den Ausgang.
Verstärkung jeder Stufe
A1 = −Rf1/R1 = −10/1 = −10
A2 = 1 + Rf2/R2 = 1 + 1/1 = 2
Gesamtverstärkung
Av = A1·A2 = −10·2 = −20
Antwort
Av = −20
7.Reihen- und Parallelschaltung
Antwort: Req = 11,23 Ω
Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.
Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen
Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.
R3 + R4 = 20 + 20 = 40 Ω
R2 ∥ 40 = 12·40/(12+40) = 9,231 Ω
Req = R1 + 9,231 = 2 + 9,231 = 11,23 Ω
Antwort
Req = 11,23 Ω
8.Reihen- und Parallelschaltung
Antwort: IR2 = 0,8199 A
Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.
Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen
Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.
R5 + R6 = 3 + 2 = 5 Ω
R4 ∥ 5 = 3,333 Ω
R3 + 3,333 = 11,33 Ω
R2 ∥ 11,33 = 3,923 Ω
Req = R1 + 3,923 = 20 + 3,923 = 23,92 Ω
Strom aus der Quelle
Die Quelle sieht nur Req, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.
IR1 = V1/Req = 30/23,92 = 1,254 A
Strom durch R₂
Ziehe den Spannungsabfall an R₁ ab, um die Spannung an Knoten A zu erhalten, die an R₂ anliegt.
VA = V1 − IR1·R1 = 30 − 1,254·20 = 4,92 V
IR2 = VA/R2 = 4,92/6 = 0,8199 A
Antwort
IR2 = 0,8199 A
9.Thévenin und Norton
Antwort: Vth = 7,2 V
Satz von Thévenin: Jedes lineare Zweipolnetzwerk verhält sich wie eine einzige Spannungsquelle Vth in Reihe mit einem Widerstand Rth. Der Satz von Norton beschreibt dasselbe Netzwerk als Stromquelle IN = Vth/Rth parallel zu Rth.
Rth bei abgeschalteten Quellen bestimmen
Ersetze Spannungsquellen durch Kurzschlüsse und Stromquellen durch Leerläufe und blicke dann von a–b in die Schaltung.
R1 ∥ R2 = 2·8/(2+8) = 1,6 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,6 + 2 = 3,6 Ω
Vth bestimmen, die Leerlaufspannung
Bei offenen Klemmen a–b fließt kein Strom durch R₃, also fällt daran keine Spannung ab und V_b = V_A. R₁ und R₂ bilden einen Spannungsteiler.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 9·8/(2+8) = 7,2 V
10.Thévenin und Norton
Antwort: Vth = 65,23 V
Satz von Thévenin: Jedes lineare Zweipolnetzwerk verhält sich wie eine einzige Spannungsquelle Vth in Reihe mit einem Widerstand Rth. Der Satz von Norton beschreibt dasselbe Netzwerk als Stromquelle IN = Vth/Rth parallel zu Rth.
Rth bei abgeschalteten Quellen bestimmen
Ersetze Spannungsquellen durch Kurzschlüsse und Stromquellen durch Leerläufe und blicke dann von a–b in die Schaltung.
R1 ∥ R2 = 6·25/(6+25) = 4,839 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4,839 + 2 = 6,839 Ω
Vth bestimmen, die Leerlaufspannung
Bei offenen Klemmen a–b fließt Iₛ nur über R₃ in Knoten A. Bestimme V_A durch Überlagerung von V₁ und Iₛ und addiere dann den Spannungsabfall an R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 24,19 + 6·4,839 = 53,23 V