Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Bestimme die Dehnung ε im Stab aus Messing, in Mikrodehnung (µε = 10⁻⁶).

P = 10 kNd = 16 mmL = 1 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die größte Normalspannung σ_max im Stab.

P = 120 kNAbschnitt 1: Ø30 mm, 1,5 m, Messing (E = 100 GPa)Abschnitt 2: Ø16 mm, 1,5 m, Kupfer (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsion von WellenMittel

Eine Vollwelle aus Messing ist an der Wand eingespannt und wird an ihrem freien Ende durch ein Drehmoment T verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ des freien Endes in Grad.

T = 250 N·md = 30 mmL = 1,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Vollwelle soll 100 kW bei 750 U/min übertragen, ohne dass die Schubspannung 60 MPa überschreitet. Bestimme den kleinsten geeigneten Durchmesser d.

P = 100 kWN = 750 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

30 kN @ 4 m4 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

15 kN @ 12 m10 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Ein U-Profil liegt mit der offenen Seite nach oben: eine Bodenplatte von 140 mm Breite mit zwei senkrechten Schenkeln, insgesamt 110 mm hoch. Boden und Schenkel sind alle 16 mm dick. Bestimme die Höhe ȳ des Schwerpunkts über der Unterkante.

b = 140 mmh = 110 mmt = 16 mm

ȳ = mm

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Eine Platte von 100 mm × 150 mm hat einen rechteckigen Ausschnitt von 60 mm Breite und 30 mm Höhe, der auf der vertikalen Mittellinie sitzt und dessen Mittelpunkt 90 mm über der Unterseite liegt. Bestimme das Flächenträgheitsmoment I_x um die horizontale Achse durch den Flächenschwerpunkt.

b = 100 mmh = 150 mmAusschnitt: 60 × 30 mmLochmittelpunkt: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 70 MPa, σᵧ = −10 MPa und τₓᵧ = −50 MPa (Zug positiv). Bestimme die maximale Schubspannung in der Ebene τ_max.

σ_x = 70 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −50 MPa

τ_max = MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = −20 MPa, σᵧ = 110 MPa und τₓᵧ = 30 MPa (Zug positiv). Bestimme die Schubspannung τ_θ in einem Schnitt, dessen Normale um 35° gegen den Uhrzeigersinn aus der x-Achse gedreht ist (positiv im selben Sinn wie τₓᵧ).

σ_x = −20 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 35°

τ_θ = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Kragarm der Länge L ist in A eingespannt und trägt eine Einzellast P im Abstand a = 3 m von A. Bestimme die Durchbiegung δ_P unter der Last.

P = 13 kNa = 3 mL = 5 mE = 200 GPa (Stahl)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P in Feldmitte. Bestimme mit Superposition die Durchbiegung δ_max in Feldmitte.

P = 9 kNw = 20 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (Stahl)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (Stahl)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Aluminium ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Sie muss 50 kN mit einer Sicherheit von 2 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 50 kNn = 2L = 1,5 mE = 70 GPa (Aluminium)

d = mm

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: ε = 497,4 µε

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 10·1000/201,1 = 49,74 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Messing = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 49,74/100000 = 0,0004974 = 497,4 µε

Antwort

ε = 497,4 µε

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: σ_max = 596,8 MPa

Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.

Gleiche Kraft in beiden Abschnitten

Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 169,8 MPa

σ₂ = 596,8 MPa

Größte Spannung

Der dünnere Abschnitt hat die kleinere Fläche, daher trägt er die größere Spannung.

σ_max = 596,8 MPa

Antwort

σ_max = 596,8 MPa

3.Torsion von Wellen

Antwort: φ = 6,928 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Verdrehwinkel

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1500/(39000·79522) = 0,1209 rad

φ = 0,1209·180/π = 6,928°

Antwort

φ = 6,928°

4.Torsion von Wellen

Antwort: d = 47,63 mm

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 100000/78,54 = 1273 N·m

Durchmesser aus der zulässigen Spannung

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·1,273 × 10⁶/(π·60)) = 47,63 mm

Antwort

d = 47,63 mm

In der Praxis würdest du auf die nächste Normgröße aufrunden.

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: E (x = 4 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 22 kN, R₂ = 32 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = 20, M_C = 36, M_D = 48, M_E = 56 kN·m, M_F = 30, M_G = 0

Antwort

Markierung E: M_E = 56 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: F (x = 10 m)

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 3 kN, R₂ = 22 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = 6, M_C = 12, M_D = −2, M_E = −16, M_F = −30 kN·m, M_G = 0

Antwort

Markierung F: M_F = −30 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: ȳ = 39,52 mm

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In Rechtecke aufteilen

Nimm den Boden über die ganze Breite und die beiden Schenkel darüber (Höhe h − t), damit nichts doppelt gezählt wird.

Grundlage: A₁ = 140·16 = 2240 mm², y₁ = 8 mm

zwei Schenkel: A₂ = 2·16·94 = 3008 mm², y₂ = 16 + 94/2 = 63 mm

Schwerpunkt

ȳ = (2240·8 + 3008·63)/5248 = 39,52 mm

Antwort

ȳ = 39,52 mm

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 27,53 × 10⁶ mm⁴

Querschnitte mit Löchern: Behandle ein Loch als negative Fläche. Der Flächenschwerpunkt ist ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), mit A₁, y₁ für die volle Platte und A₂, y₂ für das Loch. Verwende für das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse für jeden Teil den Satz von Steiner und subtrahiere das Loch: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), wobei d der Abstand vom eigenen Schwerpunkt jedes Teils zur Achse durch ȳ ist. Ein Rechteck hat I_c = bh³/12 und ein Kreis I_c = πd⁴/64.

Schwerpunkt

ȳ = (15000·75 − 1800·90)/(15000 − 1800) = 72,95 mm

Volle Platte um ȳ

100·150³/12 + 15000·2,045² = 28,19 × 10⁶ mm⁴

Loch um ȳ

60·30³/12 + 1800·17,05² = 0,658 × 10⁶ mm⁴

Subtrahieren

I_x = 27,53 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 27,53 × 10⁶ mm⁴

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_max = 64,03 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Radius des Mohrschen Kreises

τ_max = R = √(((70 − −10)/2)² + −50²) = 64,03 MPa

Antwort

τ_max = 64,03 MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_θ = 71,34 MPa

Transformationsgleichung

τ_θ = −−65·0,9397 + 30·0,342 = 71,34 MPa

Antwort

τ_θ = 71,34 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ_P = 16,25 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 13000 N, a = 3000 mm, L = 5000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Durchbiegung unter der Last

δ_P = Pa³/(3EI) = 13000·3000³/(3·7,2 × 10¹²) = 16,25 mm

Antwort

δ_P = 16,25 mm

12.Durchbiegung

Antwort: δ_max = 32,78 mm

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 9000 N, w = 20 N/mm, L = 4000 mm, EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Jede Last für sich

δ_P = PL³/(48EI) = 9000·4000³/(48·2,4 × 10¹²) = 5 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·4000⁴/(384·2,4 × 10¹²) = 27,78 mm

Addieren

δ_max = 5 + 27,78 = 32,78 mm

Antwort

δ_max = 32,78 mm

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 77,11 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Knicklänge

KL = 1·4000 = 4000 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·625000/4000² = 77106 N = 77,11 kN

Antwort

P_cr = 77,11 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: d = 42,46 mm

Erforderliche kritische Last

P_cr = n·P = 2·50000 = 100000 N

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·1050²/(π³·70000))^(1/4) = 42,46 mm

Antwort

d = 42,46 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 98,91, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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