Festigkeitslehre: Übungsaufgaben und Prüfungsfragen

Auch Elastostatik genannt: Spannungen, Dehnungen und Verformungen von Stäben, Wellen, Balken und Stützen. Prüfungsaufgaben kombinieren einen Statikschritt (die Schnittgrößen) mit einem Festigkeitsschritt (Spannung oder Durchbiegung), sodass sich ein Fehler im ersten Schritt durch die ganze Rechnung zieht.

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Lernpaket (PDF)Formelsammlungen, Lösungsschritte und Übungsaufgaben mit vollständigen Lösungen, druckfertig.

Themen in diesem Kurs

  1. Normalspannung und DehnungNormalspannung · Dehnung und Verlängerung · abgesetzter StabRechenaufgaben
  2. Torsion von WellenSchubspannung · Verdrehwinkel · LeistungsübertragungRechenaufgaben
  3. Querkraft und BiegemomentEinzellast · Streckenlast über die ganze Länge · Einzellast + StreckenlastRechenaufgaben
  4. Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwerpunkt · Flächenträgheitsmoment · BiegespannungRechenaufgaben
  5. Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationHauptspannungen · maximale Schubspannung und Hauptrichtung · Spannung in einem geneigten SchnittRechenaufgaben
  6. DurchbiegungKragarm, Endlast · Gleichstreckenlast · Superposition und BemessungRechenaufgaben
  7. Knicken von Stützengelenkige Enden · andere Lagerungen · Bemessung und kritische SpannungRechenaufgaben

Prüfungstipps für Festigkeitslehre

  • Halte die Einheiten konsistent: Newton und Millimeter ergeben Spannungen direkt in MPa.
  • Verwende bei Torsion in τ = T·r/J den Radius, nicht den Durchmesser.
  • Prüfe beim Knicken die Lagerungsbedingungen: Die Knicklänge kann die kritische Last um den Faktor 16 verändern.

Beispielaufgaben

Normalspannung und DehnungLeicht
300 kNØ30120 GPaØ100/50500 mmσr​ = ?

Ein Stab aus Stahl (Durchmesser 30 mm, E = 200 GPa) steckt in einem Rohr aus Kupfer (Außendurchmesser 100 mm, Innendurchmesser 50 mm, E = 120 GPa). Beide sind 500 mm lang und werden zwischen starren Platten mit 300 kN zusammengedrückt. Bestimme die Druckspannung σr im Stab.

P = 300 kNStab: Ø30 mm, E = 200 GPaRohr: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 500 mm

Gesucht: σr (MPa)

Tipps anzeigen
  1. Starre Platten: Stab und Rohr verkürzen sich um denselben Betrag, also ist ε in beiden gleich.
  2. ε = P/ΣEA.
  3. σ = E·ε.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Zwei Werkstoffe: In Reihe (hintereinander) trägt jedes Segment dieselbe Kraft, und die Längenänderungen addieren sich: δ = P·Σ L/(E·A). Parallel (nebeneinander zwischen starren Platten) verkürzen sich beide Teile um denselben Betrag, ihre Dehnungen sind also gleich: Das steifere Teil übernimmt den größeren Anteil, Pi = P·EiAi/ΣEA, und σi = Ei·ε. Ein Stab, der zwischen zwei starren Wänden eingespannt ist und am Übergang belastet wird, ist statisch unbestimmt: Die beiden Segmente teilen sich die Last im Verhältnis ihrer Steifigkeit k = EA/L.

Flächen

Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Gemeinsame axiale Steifigkeit

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·5890 = 8,482 × 10⁸ N

Gemeinsame Dehnung

ε = 300000/8,482 × 10⁸ = 0,0003537

Spannung im Stab

σr = 200·10³·0,0003537 = 70,74 MPa

Antwort

σr = 70,74 MPa
Torsion von WellenMittel
T = 750 N·md = 40 mmL = 1,5 mφ = ?

Eine Vollwelle aus Messing ist an der Wand eingespannt und wird an ihrem freien Ende durch ein Drehmoment T verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ des freien Endes in Grad.

T = 750 N·md = 40 mmL = 1,5 mG = 39 GPa

Gesucht: φ (°)

Tipps anzeigen
  1. Verwende φ = TL/(GJ); das ergibt Bogenmaß.
  2. Rechne durchgehend in N und mm: T in N·mm, L in mm, G in MPa (GPa × 1000), J in mm⁴.
  3. J = 251327 mm⁴.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τmax = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(do⁴ − di⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Verdrehwinkel

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1500/(39000·251327) = 0,1148 rad
φ = 0,1148·180/π = 6,576°

Antwort

φ = 6,576°

So funktioniert das Üben

  • „Diesen Kurs üben“ mischt Aufgaben aus allen Themen des Kurses, wie in einer echten Prüfung.
  • Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort.
  • Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
  • Probeklausuren haben ein Zeitlimit und keine Tipps, und am Ende bekommst du deine Punktzahl und eine vollständige Auswertung.

Rechner für diesen Kurs

Rechner für die BalkendurchbiegungRechner für Querkraft- und BiegemomentenverlaufRechner für die Torsion von WellenRechner für Normalspannung und DehnungRechner für Euler-KnickenRechner für den Mohrschen SpannungskreisFlächenträgheitsmoment-Rechner (Flächenmoment 2. Grades)Biegespannung-Rechner (σ = My/I)Wärmeausdehnung-RechnerSchwerpunkt-Rechner (zusammengesetzte Formen und Polygone)

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