Schwerpunkt-Rechner (zusammengesetzte Formen und Polygone)
Gib deine Werte ein. Ergebnis und vollständiger Lösungsweg aktualisieren sich während der Eingabe.
Ergebnis
| Teil | A | x | y | A·x | A·y |
|---|---|---|---|---|---|
| Rechteck 120 × 20 | 2400 | 60 | 10 | 144000 | 24000 |
| Rechteck 20 × 100 | 2000 | 60 | 70 | 120000 | 140000 |
| Dreieck | 450 | 80 | 30 | 36000 | 13500 |
| Bohrung: Kreis r = 6 | −113,1 | 60 | 100 | −6786 | −11310 |
Verwende für alle Werte dieselbe Längeneinheit; die Fläche ist in dieser Einheit zum Quadrat angegeben.
Bestimme den Schwerpunkt einer zusammengesetzten Fläche. Beschreibe sie als Rechtecke, Dreiecke, Kreise und Halbkreise, wobei Aussparungen abgezogen werden, oder gib die Eckpunkte eines Polygons ein. Der Rechner liefert die Gesamtfläche, die Schwerpunktkoordinaten x̄ und ȳ und die Flächenträgheitsmomente bezogen auf die Schwerachsen, mit einer Tabelle aller Teile.
Schritt-für-Schritt-Lösung
Fläche und Schwerpunkt jedes Teils
Schwerpunkt der gesamten Form
Flächenträgheitsmomente bezogen auf den Schwerpunkt (Satz von Steiner)
Wichtige Formeln
- Schwerpunkt
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- Rechteck
- I = bh³/12
- Satz von Steiner
- I = Ic + A·d²
- Zusammengesetzter Querschnitt
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
So findest du den Schwerpunkt einer zusammengesetzten Form
- Zerlege die Form in einfache Teile, deren Fläche und Schwerpunkt du kennst, und behandle Aussparungen als negative Flächen.
- Rechteck: Schwerpunkt in der Mitte. Dreieck: der Mittelwert der drei Eckpunkte. Halbkreis: 4r/(3π) von der geraden Seite.
- Multipliziere jede Fläche mit den Koordinaten ihres Schwerpunkts und addiere: ΣA·x und ΣA·y.
- Teile durch die Gesamtfläche: x̄ = ΣA·x/ΣA und ȳ = ΣA·y/ΣA.
- Verwende bei einem Polygon die Gaußsche Trapezformel mit den Eckpunkten der Reihe nach.
Fragen und Antworten
Wie gebe ich die Teile ein?
Ein Teil pro Eintrag, durch Semikolons getrennt: rect x y Breite Höhe (mit x, y als linker unterer Ecke), tri x1 y1 x2 y2 x3 y3, circle xc yc r, semicircle xc yc r (gerade Seite unten, auf der Linie y = yc). Setze hole vor ein Teil, um es abzuziehen.
Kann der Schwerpunkt außerhalb der Form liegen?
Ja. Bei einer L-Form, einem Ring oder einer C-Form liegt der Schwerpunkt oft im leeren Raum.
Müssen die Polygonpunkte in einer bestimmten Richtung verlaufen?
Nein, im Uhrzeigersinn und gegen den Uhrzeigersinn funktionieren beide. Sie müssen der Reihe nach um den Umriss laufen, und die Kanten dürfen sich nicht kreuzen.
Warum zählt eine Aussparung als negative Fläche?
Die Form mit Aussparung ist die volle Form minus die Aussparung, daher sind sowohl ihre Fläche als auch ihr statisches Moment die vollen Werte minus die der Aussparung.
Übe es selbst
Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment üben
Ein Rechner liefert das Ergebnis. In der Prüfung brauchst du die Methode: Übe sie mit neuen Aufgaben, Tipps und Musterlösungen.