Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen
Auch genannt: Flächenmoment 2. Grades · Satz von Steiner · Schwerpunktberechnung
Kostenlose Übungsaufgaben zu Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: Schwerpunkt, Flächenträgheitsmoment, Biegespannung.
Kostenlose ÜbungsaufgabeLeicht
Bestimme die Höhe ȳ des Schwerpunkts des T-Querschnitts über seiner Unterkante.
Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment von Grund auf lernen
1Warum die Form eines Querschnitts wichtig ist
Schneide einen Balken gerade quer durch und betrachte die Schnittfläche. Diese Form ist der Querschnitt oder kurz das Profil.
Nimm ein Holzbrett von 100 × 20 mm. Legst du es flach über eine Lücke, biegt es sich stark durch. Stellst du dasselbe Brett hochkant, ist es viel steifer, obwohl es genau dieselbe Fläche hat.
Entscheidend ist, wie weit das Material von der Achse entfernt liegt, um die sich der Balken biegt. Material weit von dieser Achse entfernt arbeitet viel stärker.
Zwei Größen beschreiben das. Der Schwerpunkt ist der geometrische Mittelpunkt des Querschnitts: Der Balken biegt sich um eine Achse durch ihn. Das Flächenträgheitsmoment I misst, wie weit die Fläche von dieser Achse verteilt ist.
Selbsttest Dasselbe Brett wird flach (a) und hochkant (b) verwendet, gebogen um eine horizontale Achse. Welches ist steifer?
Beide sind gleich, da die Fläche gleich ist
Es hängt nur vom Material ab
Flach (a)
Hochkant (b)
Antwort: Hochkant (b). Hochkant liegt das Material weiter von der Biegeachse entfernt. Die Fläche ist gleich, aber ihr Abstand von der Achse zählt.
2Der Schwerpunkt eines zusammengesetzten Querschnitts
Bei einem Rechteck liegt der Schwerpunkt in der Mitte. Viele Balkenquerschnitte, etwa ein T, bestehen aus Rechtecken.
Zerlege den Querschnitt in Rechtecke. Bestimme für jedes seine Fläche Ai und die Höhe yi seines eigenen Schwerpunkts, gemessen von einer Bezugslinie, meist der Unterkante.
Der Schwerpunkt des ganzen Querschnitts ist der flächengewichtete Mittelwert dieser Höhen:
ȳ = Σ Ai·yi / Σ Ai
Ein großer Teil zieht den Schwerpunkt zu sich. In einem T-Querschnitt mit dem Flansch oben liegt der Schwerpunkt über der halben Höhe.
Selbsttest Teil 1 hat A = 3000 mm² bei y = 20 mm. Teil 2 hat A = 1000 mm² bei y = 100 mm. Wo liegt der Schwerpunkt?
ȳ = 160 mm
ȳ = 40 mm
ȳ = 60 mm
ȳ = 80 mm
Antwort: ȳ = 40 mm. ȳ = (3000·20 + 1000·100)/4000 = 160 000/4000 = 40 mm. 60 mm ist der einfache Mittelwert der Höhen, der die Flächen ignoriert. 80 mm vertauscht die Flächen.
3Das Flächenträgheitsmoment
Für ein Rechteck mit Breite b und Höhe h, gebogen um eine horizontale Achse durch seinen eigenen Schwerpunkt:
Ic = b · h³ / 12
Die Höhe geht in der dritten Potenz ein, deshalb ist das hochkant gestellte Brett 25-mal steifer: 20·100³ / (100·20³) = 25.
Bei einem zusammengesetzten Querschnitt hat jeder Teil einen Abstand d von der Achse durch den Gesamtschwerpunkt. Der Satz von Steiner fügt einen Term für diesen Versatz hinzu:
I = Σ ( Ic,i + Ai · di² )
Die Einheit ist mm⁴. Die Zahlen werden groß, daher werden Ergebnisse oft als „× 10⁶ mm⁴“ angegeben.
Sobald du I hast, ergibt sich die Biegespannung im Abstand y von der Schwerachse aus dem Biegemoment M:
σ = M · y / I
Selbsttest Ein Rechteck, 100 mm breit und 20 mm hoch: Wie groß ist I um seine eigene horizontale Schwerachse?
1 666 667 mm⁴
400 000 mm⁴
66 667 mm⁴
800 000 mm⁴
Antwort: 66 667 mm⁴. I = bh³/12 = 100·20³/12 = 66 667 mm⁴. 1 666 667 vertauscht b und h (das ist das hochkant gestellte Brett); 800 000 vergisst die Division durch 12.
4Das Verfahren Schritt für Schritt
Zerlege den Querschnitt in Rechtecke und nummeriere sie.
Für jeden Teil: Fläche Ai und Schwerpunkthöhe yi, alle von der Unterkante gemessen.
Schwerpunkt: ȳ = ΣAiyi / ΣAi.
Für jeden Teil: eigenes Ic = bh³/12 und Abstand di = yi − ȳ.
Addieren: I = Σ(Ic,i + Aidi²).
Ist eine Spannung gefragt: σ = M·y/I, wobei y der Abstand von der Achse bis zum gesuchten Rand ist.
Eine kleine Tabelle mit den Spalten A, y, A·y, Ic, d und A·d² hält alles in Ordnung.
5Ein durchgerechnetes Beispiel
Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.
Durchgerechnetes Beispiel
Ein T-Querschnitt hat einen Flansch von 100 × 20 mm auf einem Steg von 20 × 100 mm. Bestimme die Schwerpunkthöhe ȳ, das Flächenträgheitsmoment Ix und die Biegespannungen am oberen und unteren Rand für ein positives Moment von 4 kN·m.
1
In zwei Rechtecke teilen
Flansch (1): A1 = 100·20 = 2000 mm², Schwerpunkt bei y1 = 100 + 10 = 110 mm.
Steg (2): A2 = 20·100 = 2000 mm², Schwerpunkt bei y2 = 50 mm.
2
Schwerpunkt
ȳ = (2000·110 + 2000·50) / 4000 = 80 mm
Die beiden Flächen sind gleich, ȳ liegt also genau in der Mitte zwischen 110 und 50 mm.
3
Eigene Flächenträgheitsmomente
Ic,1 = 100·20³/12 = 66 667 mm⁴
Ic,2 = 20·100³/12 = 1 666 667 mm⁴
4
Steiner-Anteile
Jeder Schwerpunkt liegt 30 mm von der Achse x entfernt: d1 = 110 − 80 = 30 mm und d2 = 50 − 80 = −30 mm.
M = 4 kN·m = 4 × 10⁶ N·mm. Der untere Rand ist 80 mm von der Achse entfernt, der obere Rand 120 − 80 = 40 mm.
σbottom = 4 × 10⁶ · 80 / 5 333 333 = 60 MPa
σtop = 4 × 10⁶ · 40 / 5 333 333 = 30 MPa
Der untere Rand steht unter Zug und der obere unter Druck, wie bei jedem durchhängenden Balken.
Antwort
ȳ = 80 mm, Ix = 5,33 × 10⁶ mm⁴, σbottom = 60 MPa und σtop = 30 MPa.
6Häufige Fehler
Den Term A·d² vergessen. Ohne ihn addierst du nur die eigenen I-Werte der Teile, was viel zu klein ist.
Die Höhen yi von verschiedenen Bezugslinien messen. Wähle die Unterkante und bleibe dabei.
d von der Unterkante statt vom Gesamtschwerpunkt verwenden.
b und h in bh³/12 vertauschen. Das Maß senkrecht zur Biegeachse geht in der dritten Potenz ein.
Den falschen Randabstand in σ = M·y/I verwenden. Der Rand, der am weitesten von der Achse entfernt ist, hat die größte Spannung.
Selbsttest Ein Rechteck von 100 × 20 mm (Breite × Höhe) hat seinen Schwerpunkt 50 mm von einer Achse x entfernt. Welchen Beitrag liefert es zu Ix?
0,067 × 10⁶ mm⁴
5,00 × 10⁶ mm⁴
5,07 × 10⁶ mm⁴
6,67 × 10⁶ mm⁴
Antwort: 5,07 × 10⁶ mm⁴. I = bh³/12 + A·d² = 66 667 + 2000·50² = 5 066 667 mm⁴. 0,067 × 10⁶ vergisst A·d²; 5,00 × 10⁶ vergisst den eigenen Term; 6,67 × 10⁶ verwendet 1 666 667 (b und h vertauscht) plus A·d².
7So sehen Prüfungsaufgaben aus
Leicht: Schwerpunkt. Bestimme ȳ eines T-Querschnitts über seiner Unterkante. Varianten: ein Winkelprofil oder I eines einzelnen Rechtecks, Kreises (πd⁴/64) oder Kastens.
Mittel: Flächenträgheitsmoment. Bestimme Ix des T-Querschnitts um seine Schwerachse. Varianten: I-Profile, U-Profile und der Trägheitsradius r = √(I/A).
Schwer: Biegespannung. Der T-Querschnitt trägt ein Moment M; bestimme die Spannung am oberen oder unteren Rand mit σ = M·y/I.
Die gegebenen Maße sind bf und tf für den Flansch sowie tw und hw für den Steg.
Bestimme die Höhe ȳ des Schwerpunkts des T-Querschnitts über seiner Unterkante.
bf = 260 mmtf = 10 mmtw = 8 mmhw = 280 mm
Gesucht: ȳ(mm)
Tipps anzeigen
Teile das T in Flansch und Steg und bestimme für beide Fläche und Schwerpunkthöhe.
ȳ = ΣA·y / ΣA, wobei jedes y von der Unterkante gemessen wird.
Af = 2600 mm², Aw = 2240 mm².
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Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.
In zwei Rechtecke teilen
Miss jedes y von der Unterkante aus.
Flansch: Af = 260·10 = 2600 mm², yf = 280 + 10/2 = 285 mm
Eine Platte von 100 mm × 240 mm hat ein kreisförmiges Loch mit dem Durchmesser 30 mm auf ihrer vertikalen Mittellinie, dessen Mittelpunkt 156 mm über der Unterseite liegt. Bestimme das Flächenträgheitsmoment Ix um die horizontale Achse durch den Flächenschwerpunkt.
b = 100 mmh = 240 mmd = 30 mmLochmittelpunkt: y = 156 mm
Gesucht: Ix(× 10⁶ mm⁴)
Tipps anzeigen
Bestimme zuerst den Flächenschwerpunkt: die Platte minus das Loch.
ȳ = 118,9 mm.
Dann gilt I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²) um ȳ.
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Querschnitte mit Löchern: Behandle ein Loch als negative Fläche. Der Flächenschwerpunkt ist ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), mit A₁, y₁ für die volle Platte und A₂, y₂ für das Loch. Verwende für das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse für jeden Teil den Satz von Steiner und subtrahiere das Loch: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), wobei d der Abstand vom eigenen Schwerpunkt jedes Teils zur Achse durch ȳ ist. Ein Rechteck hat Ic = bh³/12 und ein Kreis Ic = πd⁴/64.
Schwerpunkt
ȳ = (24000·120 − 706,9·156)/(24000 − 706,9) = 118,9 mm
Volle Platte um ȳ
100·240³/12 + 24000·1,092² = 115,2 × 10⁶ mm⁴
Loch um ȳ
π·30⁴/64 + 706,9·37,09² = 1,012 × 10⁶ mm⁴
Subtrahieren
Ix = 114,2 × 10⁶ mm⁴
Antwort
Ix = 114,2 × 10⁶ mm⁴
Beispiel 3Schwer
Eine Platte von 100 mm × 200 mm hat einen rechteckigen Ausschnitt von 30 mm Breite und 20 mm Höhe, der auf der vertikalen Mittellinie sitzt und dessen Mittelpunkt 120 mm über der Unterseite liegt. Bestimme das Flächenträgheitsmoment Ix um die horizontale Achse durch den Flächenschwerpunkt.
b = 100 mmh = 200 mmAusschnitt: 30 × 20 mmLochmittelpunkt: y = 120 mm
Gesucht: Ix(× 10⁶ mm⁴)
Tipps anzeigen
Bestimme zuerst den Flächenschwerpunkt: die Platte minus das Loch.
ȳ = 99,38 mm.
Dann gilt I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²) um ȳ.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
Querschnitte mit Löchern: Behandle ein Loch als negative Fläche. Der Flächenschwerpunkt ist ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), mit A₁, y₁ für die volle Platte und A₂, y₂ für das Loch. Verwende für das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse für jeden Teil den Satz von Steiner und subtrahiere das Loch: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), wobei d der Abstand vom eigenen Schwerpunkt jedes Teils zur Achse durch ȳ ist. Ein Rechteck hat Ic = bh³/12 und ein Kreis Ic = πd⁴/64.
Schwerpunkt
ȳ = (20000·100 − 600·120)/(20000 − 600) = 99,38 mm
Volle Platte um ȳ
100·200³/12 + 20000·0,6186² = 66,67 × 10⁶ mm⁴
Loch um ȳ
30·20³/12 + 600·20,62² = 0,2751 × 10⁶ mm⁴
Subtrahieren
Ix = 66,4 × 10⁶ mm⁴
Antwort
Ix = 66,4 × 10⁶ mm⁴
Fragen und Antworten
Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment: Worum geht es?
Schneide einen Balken gerade quer durch und betrachte die Schnittfläche. Diese Form ist der Querschnitt oder kurz das Profil.
Nimm ein Holzbrett von 100 × 20 mm. Legst du es flach über eine Lücke, biegt es sich stark durch. Stellst du dasselbe Brett hochkant, ist es viel steifer, obwohl es genau dieselbe Fläche hat.
Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment: Wie löst man die Aufgaben Schritt für Schritt?
Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.
Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment: Was wird geübt?
Leicht: Schwerpunkt
Mittel: Flächenträgheitsmoment
Schwer: Biegespannung
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort. Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
So funktioniert das Üben
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort.
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