Durchbiegung: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen

1Was Durchbiegung ist

Jeder Balken biegt sich unter Last ein wenig. Die Strecke, um die sich ein Punkt des Balkens nach unten bewegt, ist seine Durchbiegung δ, meist in mm.

Ein Balken kann stark genug sein und sich trotzdem zu stark durchbiegen. Dann federn Decken, Putz reißt und Türen klemmen. Ein üblicher Grenzwert für Decken ist Spannweite/360: Eine 3,6 m lange Decke darf sich höchstens 10 mm durchbiegen.

Wie stark sich ein Balken durchbiegt, hängt von vier Dingen ab:

• der Last: doppelte Last ergibt doppelte Durchbiegung;
• der Spannweite: Die Durchbiegung wächst mit der Länge sehr schnell (L³ oder L⁴);
• dem Elastizitätsmodul E des Werkstoffs: steiferes Material biegt sich weniger;
• dem Flächenträgheitsmoment I des Querschnitts: ein höherer Querschnitt biegt sich weniger.

E und I treten immer zusammen als Produkt EI auf, die Biegesteifigkeit des Balkens.

2Die Standardformeln

Durchbiegungen ergeben sich durch zweimaliges Integrieren des Biegemoments, aber für die üblichen Fälle ist das Ergebnis tabelliert. Vier Fälle decken die meisten Aufgaben ab:

• Kragarm, Einzellast P am freien Ende: δ = P·L³ / (3·E·I)
• Kragarm, Streckenlast w über die ganze Länge: δ = w·L⁴ / (8·E·I)
• Einfacher Balken, Einzellast P in Feldmitte: δ_max = P·L³ / (48·E·I)
• Einfacher Balken, Streckenlast w über die ganze Spannweite: δ_max = 5·w·L⁴ / (384·E·I)

Beim Kragarm liegt die größte Durchbiegung am freien Ende; beim einfachen Balken mit symmetrischen Lasten liegt sie in Feldmitte.

Wenn ein Balken mehrere Lasten trägt, addieren sich die Durchbiegungen jeder einzelnen Last. Das ist die Superposition.

3Einheiten: Rechne in N und mm

Die Formeln funktionieren nur mit konsistenten Einheiten. Die sichere Wahl sind Newton und Millimeter:

• P in N: kN × 1000.
• w in N/mm: 1 kN/m sind genau 1 N/mm.
• L in mm: m × 1000.
• E in N/mm²: GPa × 1000. Stahl: 200 GPa = 200 000 N/mm².
• I in mm⁴: „36 × 10⁶ mm⁴“ bedeutet 36 000 000 mm⁴.

Die Durchbiegung ergibt sich dann in mm. Weil L in die dritte oder vierte Potenz erhoben wird, werden die Zahlen groß. Ein Taschenrechner mit Zehnerpotenzen hält sie im Griff.

4Das Verfahren Schritt für Schritt

1. Bestimme den Fall: Kragarm oder einfacher Balken, Einzellast oder Streckenlast.
2. Rechne P, w, L, E und I in N und mm um.
3. Wähle die passende Formel.
4. Berechne δ in mm.
5. Bei mehreren Lasten: Berechne jede einzeln und addiere sie.
6. Bei einer Bemessungsaufgabe: Setze δ gleich dem zulässigen Wert (zum Beispiel L/360) und löse nach I auf.

5Ein durchgerechnetes Beispiel

Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.

6Häufige Fehler

• Einheiten vermischen: L in Metern mit E in N/mm² ergibt Unsinn. Rechne zuerst alles in N und mm um.
• E in GPa lassen, wodurch δ 1000-mal zu groß wird.
• Den falschen Fall verwenden, zum Beispiel PL³/(48EI) für einen Kragarm. Prüfe die Lager und die Lastart.
• Die 5 in 5wL⁴/(384EI) vergessen.
• Bei der Superposition für jede Last eine andere Formel verwenden, aber eine der Lasten vergessen.

7So sehen Prüfungsaufgaben aus

• Leicht: Kragarm mit Last am Ende. Bestimme δ = PL³/(3EI). Varianten: ein einfacher Balken mit mittiger Last, die Endneigung oder die Last, die eine bestimmte Durchbiegung ergibt.
• Mittel: gleichmäßige Last. Ein Kragarm (wL⁴/8EI) oder ein einfacher Balken (5wL⁴/384EI). Varianten: außermittige Lasten und Endneigungen.
• Schwer: Superposition und Bemessung. Addiere die Durchbiegungen einer Einzellast und einer Streckenlast oder bestimme das kleinste I, das δ unter L/360 hält.

Für den Bemessungsfall: I_erf = 5wL⁴ / (384·E·δ_zul), mit δ_zul = L/360.