Fachwerk: Knotenpunktverfahren: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen

1Was ein Fachwerk ist

Ein Fachwerk ist ein Rahmen aus geraden Stäben, die an ihren Enden zu Dreiecken verbunden sind. Du siehst sie in Dächern, Kränen, Masten und vielen Brücken.

Die Stäbe heißen Stäbe (Fachwerkstäbe), und die Verbindungspunkte heißen Knoten. Im einfachen Modell ist jeder Knoten ein Gelenk, und Lasten wirken nur an den Knoten.

Dann wird jeder Stab nur in seiner eigenen Längsrichtung gezogen oder gedrückt. Er trägt eine einzige Normalkraft:

• Zug: Der Stab wird gezogen und länger. Das zählen wir positiv.
• Druck: Der Stab wird gedrückt und kürzer. Das zählen wir negativ.

Dreiecke werden verwendet, weil ein Dreieck seine Form nicht ändern kann, ohne die Länge einer Seite zu ändern. Das macht ein Fachwerk steif bei geringem Materialeinsatz.

2Kräfte an einem Knoten

Jeder Knoten ist für sich im Gleichgewicht. An jedem Knoten gelten also zwei Gleichungen:

Zwei Gleichungen bedeuten, dass du an einem Knoten höchstens zwei unbekannte Stabkräfte bestimmen kannst. Beginne immer an einem Knoten, an dem nur zwei unbekannt sind.

Zeichne jede unbekannte Stabkraft als Zug: ein Pfeil, der vom Knoten weg entlang des Stabes zeigt. Ist das Ergebnis negativ, steht der Stab unter Druck.

Die Kraft eines geneigten Stabes hat zwei Komponenten. Schließt der Stab mit der Horizontalen den Winkel α ein:

Den Winkel selbst brauchst du selten. Aus der horizontalen Ausdehnung a, der Höhe h und der Länge ℓ = √(a² + h²) des Stabes: cos α = a/ℓ und sin α = h/ℓ.

3Das Verfahren Schritt für Schritt

1. Bestimme die Auflagerreaktionen am gesamten Fachwerk: ΣM_A = 0 ergibt C_y, dann ergibt ΣF_y = 0 das A_y (und ΣF_x = 0 ergibt A_x, wenn es eine horizontale Last gibt).
2. Wähle einen Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften, meist einen Auflagerknoten.
3. Zeichne den Knoten mit allen unbekannten Stabkräften als Zug (vom Knoten weg).
4. Schreibe ΣF_y = 0 auf. Hat nur ein Stab eine vertikale Komponente, ergibt sich diese Kraft direkt.
5. Schreibe ΣF_x = 0 für die zweite Kraft auf.
6. Gehe zum nächsten Knoten und verwende die bereits bekannten Kräfte. Ein negatives Ergebnis bedeutet Druck.

Das Ritter-Schnittverfahren ist eine Alternative: Schneide durch die benötigten Stäbe und bilde Momente um einen Punkt, an dem sich die anderen geschnittenen Stäbe treffen.

4Ein durchgerechnetes Beispiel

Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.

5Häufige Fehler

• An einem Knoten mit drei unbekannten Kräften beginnen. Zwei Gleichungen können drei Unbekannte nicht lösen.
• Sinus und Kosinus vertauschen. Prüfe, welche Seite des Dreiecks vertikal ist.
• Manche Unbekannte als Druck und andere als Zug zeichnen und dann die Vorzeichen falsch lesen. Zeichne alle als Zug.
• Die Auflagerreaktion am Knoten vergessen oder ihr die falsche Richtung geben.
• Die horizontale Last in der Momentengleichung für die Auflagerreaktionen vergessen.

6So sehen Prüfungsaufgaben aus

• Leicht: symmetrisch. B liegt über der Feldmitte und die Last ist vertikal, wie im Beispiel. Die Auflagerreaktionen sind jeweils die halbe Last.
• Mittel: unsymmetrisch. B liegt nicht über der Feldmitte, AB und BC haben also unterschiedliche Winkel. Bestimme zuerst C_y aus den Momenten um A.
• Schwer: eine vertikale und eine horizontale Last bei B. Das Festlager A erhält ebenfalls eine horizontale Reaktion. Knoten C ist weiterhin der einfachste Start, weil das Rollenlager nur C_y liefert.

Gefragt ist eine Stabkraft: AB, BC oder AC. Gib Zug als positiv und Druck als negativ an.