Konsolidationssetzung: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen
Kostenlose Übungsaufgaben zu Konsolidationssetzung mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: normal konsolidierter Ton, überkonsolidierter Ton, Konsolidationszeit.
Kostenlose ÜbungsaufgabeLeicht
Eine 7,5 m dicke Schicht aus normal konsolidiertem Ton (Cc = 0,5, e₀ = 1,15) hat in ihrer Mitte eine effektive Vertikalspannung von 135 kPa. Eine ausgedehnte Aufschüttung erhöht die Vertikalspannung im Ton um 110 kPa. Betrachte die Schicht als eine Teilschicht mit den Spannungen in ihrer Mitte. Bestimme die Primärkonsolidationssetzung S in mm.
Baust du auf einer Tonschicht, presst die zusätzliche Last den Ton zusammen. Wasser wird aus den Poren gedrückt, und die Körner rücken näher zusammen. Die Geländeoberfläche sinkt: Das ist die Konsolidationssetzung.
Ton hat sehr kleine Poren, daher verlässt ihn das Wasser langsam. Ein Gebäude auf Ton kann sich jahrelang weiter setzen.
Die Größe des Porenraums wird durch die Porenzahle gemessen: das Volumen der Poren geteilt durch das Volumen der festen Körner. Ein Ton mit e = 1 hat so viel Porenvolumen wie Kornvolumen.
Wird der Ton zusammengepresst, sinkt e. Die Schicht wird um denselben Bruchteil ihres Gesamtvolumens dünner:
S = H · Δe / (1 + e0)
Hier ist H die Schichtdicke, e0 die Anfangsporenzahl und Δe die Abnahme der Porenzahl. Das 1 + e0 ist das Gesamtvolumen pro Volumeneinheit Körner.
Selbsttest Warum braucht eine Tonschicht Jahre, um sich zu setzen, während sich Sand fast sofort setzt?
Die Last auf dem Ton wächst über die Jahre langsam
Ton hat kein Wasser in seinen Poren
Tonkörner sind schwerer als Sandkörner
Wasser muss aus sehr kleinen Poren fließen, was Zeit braucht
Antwort: Wasser muss aus sehr kleinen Poren fließen, was Zeit braucht. Setzung erfordert, dass Wasser die Poren verlässt. Im Ton sind die Poren winzig, das Wasser fließt also langsam ab. Im Sand entweicht es fast sofort.
2Normal- und überkonsolidierter Ton
Versuche zeigen, dass e linear abnimmt, wenn du es gegen den Logarithmus der effektiven Spannung σ′ aufträgst. Die Steigung dieser Geraden ist der KompressionsindexCc.
Manche Tone wurden in der Vergangenheit stärker belastet, zum Beispiel durch einen Gletscher oder inzwischen abgetragenen Boden. Die größte effektive Spannung, die ein Ton je getragen hat, ist sein Vorbelastungsdruckσ′p.
Unterhalb von σ′p rekomprimiert der Ton nur entlang einer flachen Geraden mit der Steigung Cr, dem Rekompressionsindex. Cr ist klein, oft Cc/10.
Oberhalb von σ′p folgt der Ton der steilen Geraden mit der Steigung Cc.
Ein Ton, der jetzt bei σ′0 = σ′p liegt, ist normalkonsolidiert (NC). Ein Ton mit σ′0 < σ′p ist überkonsolidiert (OC). Das Überkonsolidierungsverhältnis ist OCR = σ′p/σ′0.
Mit σ′f = σ′0 + Δσ als Endwert der effektiven Spannung ist die Setzung:
Alle Spannungen werden in der Mitte der Tonschicht angesetzt, die für den Durchschnitt der ganzen Schicht steht.
Selbsttest Ein Ton hat σ′₀ = 60 kPa und σ′p = 120 kPa. Eine Last erhöht die Spannung auf σ′f = 100 kPa. Welchen Index verwendest du?
Cr bis 120 kPa, dann Cc
Keinen: Der Ton setzt sich nicht
Nur Cc
Nur Cr
Antwort: Nur Cr. Die Endspannung von 100 kPa bleibt unter σ′p = 120 kPa, der Ton rekomprimiert also nur entlang der flachen Cr-Geraden. Cc wäre nur oberhalb von 120 kPa nötig.
3Wie lange es dauert
Die Zeit bis zu einem bestimmten Teil der Endsetzung hängt davon ab, wie weit das Wasser strömen muss. Diese Strecke ist der EntwässerungswegHdr.
Sand (oder eine andere frei entwässernde Schicht) über und unter dem Ton: Das Wasser verlässt ihn an beiden Seiten, also ist Hdr = H/2. Das ist doppelte Entwässerung.
Fels oder eine andere undurchlässige Schicht darunter: Das Wasser kann nur oben austreten, also ist Hdr = H. Das ist einfache Entwässerung.
t = Tv · Hdr² / cv
cv ist der Konsolidierungsbeiwert des Tons, zum Beispiel in m²/Jahr. Tv ist der Zeitfaktor für den gewünschten Konsolidierungsgrad U: 0,197 für 50 %, 0,403 für 70 %, 0,848 für 90 %.
Beispiel: eine 4 m dicke Tonschicht auf Fels, cv = 2 m²/Jahr, U = 50 %. t = 0,197 · 4²/2 = 1,576 Jahre. Mit Sand darunter ist Hdr = 2 m und t = 0,394 Jahre: viermal schneller.
Selbsttest Eine 6 m dicke Tonschicht liegt zwischen zwei Sandschichten. Wie groß ist der Entwässerungsweg Hdr?
1,5 m
12 m
3 m
6 m
Antwort: 3 m. Das Wasser tritt oben und unten aus, der längste Weg ist also die halbe Schicht: 6/2 = 3 m. Die vollen 6 m sind nur richtig, wenn eine Seite geschlossen ist.
4Das Verfahren Schritt für Schritt
Bestimme die anfängliche effektive Spannung σ′0 in der Mitte des Tons (gegeben oder aus dem Bodenprofil).
Addiere die zusätzliche Spannung: σ′f = σ′0 + Δσ.
Bestimme den Tontyp. Ist σ′p oder OCR gegeben, vergleiche σ′f mit σ′p = OCR·σ′0.
Wähle die passende Formel und verwende log₁₀, nicht ln.
Gib S in der verlangten Einheit an: Meter mal 1000 ergibt Millimeter.
Bei einer Zeitfrage: Bestimme Hdr aus der Entwässerung oben und unten, dann t = Tv·Hdr²/cv.
5Ein durchgerechnetes Beispiel
Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.
Durchgerechnetes Beispiel
Eine 4 m dicke Schicht aus normalkonsolidiertem Ton (Cc = 0,3, e0 = 1,0) hat in ihrer Mitte σ′0 = 100 kPa. Eine breite Aufschüttung fügt Δσ = 100 kPa hinzu. Bestimme die primäre Konsolidationssetzung S in mm.
1
Die Schicht betrachten
Der Ton ist normalkonsolidiert, die ganze Spannungszunahme folgt also der Cc-Geraden.
2
Effektive Endspannung
σ′f = σ′0 + Δσ = 100 + 100 = 200 kPa
3
Der Logarithmus
log₁₀(σ′f/σ′0) = log₁₀(200/100) = log₁₀ 2 = 0,301
4
Der Schichtfaktor
Cc·H/(1 + e0) = 0,3 · 4/(1 + 1,0) = 0,6 m
5
Setzung
S = 0,6 · 0,301 = 0,1806 m = 180,6 mm
6
Antwort prüfen
Die Porenzahl nimmt um Δe = Cc·0,301 = 0,0903 ab. Dann ist S = H·Δe/(1 + e0) = 4 · 0,0903/2 = 0,1806 m. Das sind 4,5 % der Schicht, ein üblicher Wert für weichen Ton.
Antwort
S ≈ 181 mm (0,1806 m).
6Häufige Fehler
ln statt log₁₀ verwenden. Die Antwort ist dann 2,3-mal zu groß.
Cc für einen überkonsolidierten Ton verwenden, der unter σ′p bleibt.
Hdr = H/2 nehmen, wenn der Ton auf Fels liegt, oder Hdr = H, wenn beide Seiten entwässern.
Vergessen, Hdr in der Zeitformel zu quadrieren.
Selbsttest NC-Ton: Cc = 0,25, H = 4 m, e₀ = 1,0, σ′₀ = 50 kPa, Δσ = 50 kPa. Wie groß ist S?
0 mm
150,5 mm
301,0 mm
346,6 mm
Antwort: 150,5 mm. S = 0,25·4/2 · log₁₀(100/50) = 0,5 · 0,301 = 0,1505 m. Mit ln erhält man 346,6 mm, ohne 1 + e₀ erhält man 301 mm, und log₁₀(Δσ/σ′₀) = log₁₀ 1 ergibt 0.
7So sehen Prüfungsaufgaben aus
Leicht: normalkonsolidierter Ton. Du bekommst H, Cc, e0, σ′0 und Δσ, wie im Beispiel. Manchmal bestimmst du σ′0 zuerst aus einem Bodenprofil.
Mittel: überkonsolidierter Ton mit Cr, Cc und σ′p oder OCR. Vergleiche zuerst σ′f mit σ′p; teile den Logarithmus bei σ′p, wenn du darüber hinausgehst.
Schwer: Zeit der Konsolidation. Entscheide zwischen einfacher und doppelter Entwässerung, dann t = Tv·Hdr²/cv.
Durchgerechnetes OC-Beispiel: H = 2 m, e0 = 1, Cr = 0,04, Cc = 0,4, σ′0 = 50 kPa, σ′p = 100 kPa, Δσ = 100 kPa. Dann überschreitet σ′f = 150 kPa den Wert σ′p.
S = 2/2 · [0,04·log₁₀(100/50) + 0,4·log₁₀(150/100)] = 0,0120 + 0,0704 = 0,0825 m
Eine 7 m dicke, normal konsolidierte Tonschicht (γsat = 18,5 kN/m³, Cc = 0,2, e₀ = 0,9) liegt unter 4 m Sand (γ = 19 kN/m³). Der Grundwasserspiegel liegt an der Oberkante des Tons; verwende γw = 9,81 kN/m³. Eine ausgedehnte Aufschüttung erhöht die Vertikalspannung im ganzen Ton um 70 kPa. Betrachte die Schicht als eine Teilschicht mit den Spannungen in ihrer Mitte. Bestimme die Primärkonsolidationssetzung S in mm.
Sand: Hs = 4 m, γ = 19 kN/m³Ton: H = 7 m, γsat = 18,5 kN/m³γw = 9,81 kN/m³Cc = 0,2e0 = 0,9Δσ = 70 kPa
Gesucht: S(mm)
Tipps anzeigen
Normal konsolidiert: S = Cc·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′f/σ′₀).
In der Mitte des Tons: σ′₀ = γ·Hs + (γsat − γw)·H/2.
Cc·H/(1 + e0) = 0,7368 m.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
Primärkonsolidation einer Tonschicht der Dicke H, mit der effektiven Spannung in der Schichtmitte: σ′f = σ′0 + Δσ. Normal konsolidierter Ton: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Überkonsolidierter Ton wird bis zur Vorbelastungsspannung σ′p entlang Cr wiederbelastet und folgt erst darüber Cc. Zeit: t = Tv·Hdr²/cv, wobei der Dränweg Hdr gleich H/2 ist, wenn das Wasser oben und unten austreten kann, und gleich H, wenn nur eine Seite entwässert.
Effektive Spannung in der Mitte des Tons
Der Sand liegt über dem Grundwasserspiegel; darunter steht der Ton unter Auftrieb, verwende also γsat − γw.
σ′0 = 19·4 + (18,5 − 9,81)·3,5 = 106,4 kPa
Effektive Endspannung
σ′f = 106,4 + 70 = 176,4 kPa
Setzung
S = 0,2·7/(1 + 0,9)·log₁₀(176,4/106,4) = 0,7368·0,2195 = 0,1618 m = 161,8 mm
Antwort
S = 161,8 mm
Beispiel 2Mittel
Eine 2 m dicke, überkonsolidierte Tonschicht hat Cc = 0,5, Cr = 0,02 und e₀ = 1,2. In ihrer Mitte beträgt die effektive Vertikalspannung 50 kPa und die Vorbelastungsspannung 150 kPa. Ein neues Gebäude erhöht die Vertikalspannung in der Schichtmitte um 230 kPa. Bestimme die Primärkonsolidationssetzung S in mm.
Vergleiche die Endspannung σ′₀ + Δσ mit der Vorbelastungsspannung.
σ′f = 50 + 230 = 280 kPa > σ′p = 150 kPa.
Teile den Spannungsbereich bei σ′p: Cr von σ′₀ bis σ′p, dann Cc von σ′p bis σ′f.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
Primärkonsolidation einer Tonschicht der Dicke H, mit der effektiven Spannung in der Schichtmitte: σ′f = σ′0 + Δσ. Normal konsolidierter Ton: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Überkonsolidierter Ton wird bis zur Vorbelastungsspannung σ′p entlang Cr wiederbelastet und folgt erst darüber Cc. Zeit: t = Tv·Hdr²/cv, wobei der Dränweg Hdr gleich H/2 ist, wenn das Wasser oben und unten austreten kann, und gleich H, wenn nur eine Seite entwässert.
Mit der Vorbelastungsspannung vergleichen
σ′f = 50 + 230 = 280 kPa > 150 kPa
Setzung
Wiederbelastung bis σ′p, Erstbelastung darüber.
S = 0,02·2/(1 + 1,2)·log₁₀(150/50) + 0,5·2/(1 + 1,2)·log₁₀(280/150)
S = 8,675 + 123,2 = 131,9 mm
Antwort
S = 131,9 mm
Beispiel 3Schwer
Eine 9,5 m dicke Tonschicht hat einen Konsolidationsbeiwert cv = 3 m²/Jahr. Sie liegt zwischen zwei Sandschichten, das Wasser kann also oben und unten austreten. Für 60 % mittlere Konsolidation ist der Zeitfaktor Tv = 0,287. Wie viele Jahre t braucht die Schicht, um 60 % Konsolidation zu erreichen?
Zwei entwässernde Seiten: Der längste Weg eines Wasserteilchens ist die halbe Schicht.
Hdr = 4,75 m.
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Primärkonsolidation einer Tonschicht der Dicke H, mit der effektiven Spannung in der Schichtmitte: σ′f = σ′0 + Δσ. Normal konsolidierter Ton: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Überkonsolidierter Ton wird bis zur Vorbelastungsspannung σ′p entlang Cr wiederbelastet und folgt erst darüber Cc. Zeit: t = Tv·Hdr²/cv, wobei der Dränweg Hdr gleich H/2 ist, wenn das Wasser oben und unten austreten kann, und gleich H, wenn nur eine Seite entwässert.
Dränweg
Hdr = H/2 = 9,5/2 = 4,75 m
Zeit
t = Tv·Hdr²/cv = 0,287·4,75²/3 = 2,158 Jahre
Antwort
t = 2,158 Jahre
Fragen und Antworten
Konsolidationssetzung: Worum geht es?
Baust du auf einer Tonschicht, presst die zusätzliche Last den Ton zusammen. Wasser wird aus den Poren gedrückt, und die Körner rücken näher zusammen. Die Geländeoberfläche sinkt: Das ist die Konsolidationssetzung.
Ton hat sehr kleine Poren, daher verlässt ihn das Wasser langsam. Ein Gebäude auf Ton kann sich jahrelang weiter setzen.
Konsolidationssetzung: Wie löst man die Aufgaben Schritt für Schritt?
Primärkonsolidation einer Tonschicht der Dicke H, mit der effektiven Spannung in der Schichtmitte: σ′f = σ′0 + Δσ. Normal konsolidierter Ton: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Überkonsolidierter Ton wird bis zur Vorbelastungsspannung σ′p entlang Cr wiederbelastet und folgt erst darüber Cc. Zeit: t = Tv·Hdr²/cv, wobei der Dränweg Hdr gleich H/2 ist, wenn das Wasser oben und unten austreten kann, und gleich H, wenn nur eine Seite entwässert.
Konsolidationssetzung: Welche Fehler passieren am häufigsten?
Verwende den Zehnerlogarithmus log₁₀, nicht den natürlichen Logarithmus ln.
Teile durch 1 + e₀, statt nur mit Cc·H zu multiplizieren.
Der Logarithmus verwendet End- durch Anfangsspannung: (σ′₀ + Δσ)/σ′₀, nicht Δσ/σ′₀.
Konsolidationssetzung: Was wird geübt?
Leicht: normal konsolidierter Ton
Mittel: überkonsolidierter Ton
Schwer: Konsolidationszeit
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort. Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
So funktioniert das Üben
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort.
Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
Dein Fortschritt, deine Fehler und gespeicherten Aufgaben bleiben erhalten, damit du vor der Prüfung wiederholen kannst.