Hydrostatische Kraft: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen
Auch genannt: hydrostatischer Druck · Druckmittelpunkt
Kostenlose Übungsaufgaben zu Hydrostatische Kraft mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: senkrechte Wand, untergetauchtes Schütz, Druckmittelpunkt.
Hydrostatische Kraft von Grund auf lernen
1Was hydrostatische Kraft ist
Ruhendes Wasser drückt auf jede Fläche, die es berührt: die Wand eines Tanks, eine Staumauer, ein Schleusentor. Dieser Druck ist die hydrostatische Kraft.
Je tiefer du gehst, desto stärker drückt das Wasser. Du spürst das in deinen Ohren, wenn du auf den Boden eines Schwimmbeckens tauchst.
Der Druck in einer Tiefe h unter der freien Oberfläche ist das Gewicht der Wassersäule über einem Quadratmeter:
p = ρ · g · h
ρ ist die Dichte (1000 kg/m³ für Süßwasser) und g = 9,81 m/s². Mit h in Metern ergibt sich p in Pa (N/m²). Teile durch 1000 für kPa.
Der Druck wirkt senkrecht zur Fläche. Er hängt nicht von der Form oder Breite des Tanks ab, nur von der Tiefe.
Selbsttest Wie groß ist der Wasserdruck 5 m unter der Oberfläche eines Sees? (ρ = 1000 kg/m³, g = 9,81 m/s²)
- 24,5 kPa
- 49,05 kPa
- 5 kPa
- 98,1 kPa
Antwort: 49,05 kPa. p = 1000 · 9,81 · 5 = 49 050 Pa = 49,05 kPa. Ohne g erhält man 5 kPa, das ist eine Masse pro Fläche, kein Druck.
2Kraft auf eine senkrechte Wand
An einer senkrechten Wand wächst der Druck geradlinig von null an der Oberfläche bis ρgh am Boden. Die Last auf die Wand ist ein Dreieck.
Die Gesamtkraft ist die Fläche dieses Dreiecks mal die Breite b der Wand:
F = ½ · ρg·h · h · b = ½ · ρ · g · h² · b
Die Kraft greift im Schwerpunkt des Dreiecks an, ein Drittel der Höhe über der Basis:
ȳ = h / 3 (über der Grundseite)
Die Kraft greift also tiefer an als in der Mitte der Wand. Das ist sinnvoll: Der untere Teil wird am stärksten gedrückt.
Selbsttest Wasser steht 2 m tief an einer senkrechten, 1 m breiten Wand. Wie groß ist die resultierende Kraft? (ρg = 9810 N/m³)
- 19,62 kN
- 39,24 kN
- 4 kN
- 9,81 kN
Antwort: 19,62 kN. F = ½ · 9810 · 2² · 1 = 19 620 N = 19,62 kN. Wer den Druck am Boden über die ganze Wand ansetzt (39,24 kN), vergisst das ½: Der Druck ist oben null.
3Untergetauchte Tore und der Druckmittelpunkt
Ein Tor tief in der Wand eines Tanks beginnt nicht an der Oberfläche. Für jede ebene Fläche ist die Kraft gleich dem Druck in ihrem Flächenschwerpunkt mal ihrer Fläche:
F = ρ · g · yc · A
yc ist die Tiefe des Flächenschwerpunkts. Für ein rechteckiges Tor der Höhe H, dessen Oberkante d unter der Oberfläche liegt, ist yc = d + H/2 und A = H·b.
Die Kraft greift nicht im Flächenschwerpunkt an. Sie greift etwas tiefer an, im Druckmittelpunkt, weil der untere Teil des Tors stärker gedrückt wird:
ycp = yc + Ic / (yc · A), Ic = b·H³/12
Ic ist das Flächenträgheitsmoment des Tors um seinen eigenen Schwerpunkt. Je tiefer das Tor liegt, desto näher kommt ycp an yc.
Für eine Wand, die an der Oberfläche beginnt (d = 0), ergibt das ycp = 2h/3 unter der Oberfläche, was h/3 über der Basis entspricht.
4Das Verfahren Schritt für Schritt
- Zeichne die Fläche und markiere ihre Tiefe unter der freien Oberfläche: Oberkante d und Höhe H (oder Tiefe h bei einer Wand).
- Bestimme die Tiefe des Flächenschwerpunkts yc und die Fläche A.
- Verwende die Dichte der Flüssigkeit aus der Aufgabe: Wasser 1000, Meerwasser 1025, Öl 880 kg/m³.
- Kraft: F = ρ·g·yc·A. Teile durch 1000 für kN.
- Wenn die Wirkungslinie gefragt ist: ycp = yc + Ic/(yc·A), von der freien Oberfläche aus nach unten gemessen.
5Ein durchgerechnetes Beispiel
Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.
Durchgerechnetes BeispielEin senkrechtes rechteckiges Tor, 2 m breit und 2 m hoch, sitzt in der Wand eines Wassertanks, mit seiner Oberkante 1 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Tor.
1Das Tor reicht von 1 m bis 3 m unter die Oberfläche. Seine Breite in die Zeichenebene ist b = 2 m.
2yc = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m
4pc = ρ·g·yc = 1000 · 9,81 · 2 = 19 620 Pa = 19,62 kPa
5F = pc · A = 19,62 · 4 = 78,48 kN
6Der Druck beträgt 9,81 kPa an der Oberkante und 29,43 kPa an der Unterkante. Ihr Mittelwert ist 19,62 kPa, die Kraft ist also wieder 19,62 · 4 = 78,48 kN.
Antwort F = 78,48 kN, waagerecht auf das Tor wirkend.
6Häufige Fehler
- Die Kraft im Flächenschwerpunkt ansetzen. Sie greift tiefer an: bei h/3 über der Basis für eine Wand, bei ycp für ein Tor.
- ȳ von der Oberfläche aus messen, wenn nach der Höhe über der Basis gefragt ist, oder umgekehrt.
- Die Tiefe der Oberkante oder der Unterkante statt der Schwerpunkttiefe verwenden.
- Das ½ für eine Wand vergessen, die an der Oberfläche beginnt.
- g weglassen oder die Dichte von Wasser für Öl oder Meerwasser verwenden.
Selbsttest Wasser steht 6 m tief an einer senkrechten Wand. Wo greift die resultierende Kraft an?
- 2 m unter der Oberfläche
- 2 m über der Basis
- 3 m über der Basis
- 4 m über der Basis
Antwort: 2 m über der Basis. Die dreieckige Last greift in ihrem Schwerpunkt an, h/3 = 2 m über der Basis. 3 m ist die Mitte der Wand, wo die Kraft nur angreifen würde, wenn der Druck gleichmäßig wäre.
7So sehen Prüfungsaufgaben aus
- Leicht: Wasser an einer senkrechten Wand von der Oberfläche abwärts. Bestimme F = ½ρgh²b oder die Höhe ȳ = h/3 über der Basis.
- Mittel: ein untergetauchtes rechteckiges Tor im Wasser. Bestimme F = ρg·yc·A, wie im Beispiel.
- Schwer: dasselbe Tor in Öl, Meerwasser oder Glycerin, und manchmal die Tiefe des Druckmittelpunkts ycp.
Für das Beispieltor: Ic = 2 · 2³/12 = 1,333 m⁴, also ycp = 2 + 1,333/(2 · 4) = 2,167 m unter der Oberfläche. Das sind 0,167 m unter dem Flächenschwerpunkt.
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