Knicken von Stützen: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen

Auch genannt: Euler-Knicken · Eulersche Knickfälle · Knicklast

Kostenlose Übungsaufgaben zu Knicken von Stützen mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: gelenkige Enden, andere Lagerungen, Bemessung und kritische Spannung.

Kostenlose ÜbungsaufgabeLeicht
PL = 2,5 m40 × 80 mmQuerschnitt

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast Pcr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (Stahl)b × h = 40 × 80 mm
kN
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Was du übst

  1. Leichtgelenkige Enden
  2. Mittelandere Lagerungen
  3. SchwerBemessung und kritische Spannung

Wichtige Formeln

Eulersche Knicklast
Pcr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert
K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung
σcr = Pcr/A
Schlankheit
λ = KL/r, r = √(I/A)

Knicken von Stützen von Grund auf lernen

Davor: Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

1Was Knicken ist

Drücke auf beide Enden eines Kunststofflineals. Zuerst scheint nichts zu passieren. Dann, ganz plötzlich, weicht es seitlich aus. Das ist Knicken.

Eine Stütze ist ein Bauteil, das in Längsrichtung auf Druck belastet wird: eine Gebäudestütze, eine Strebe im Dach, eine Kolbenstange.

PL

Eine kurze, dicke Stütze versagt durch Zerdrücken: Die Spannung P/A erreicht die Festigkeit des Werkstoffs. Eine lange, schlanke Stütze knickt bei einer viel niedrigeren Last, während die Spannung noch weit unter dieser Festigkeit liegt.

Die Last, bei der eine schlanke Stütze knickt, ist ihre kritische Last Pcr. Darüber ist die Stütze instabil und gibt nach.

Selbsttest Zwei Stahlstützen haben denselben Querschnitt. Eine ist 2 m lang, die andere 4 m. Welche knickt bei der niedrigeren Last?
  1. Beide bei derselben Last
  2. Die 2-m-Stütze
  3. Die 4-m-Stütze
  4. Keine: Stahlstützen können nicht knicken

Antwort: Die 4-m-Stütze. Eine längere Stütze ist schlanker und knickt leichter. Die Länge ist der wichtigste Faktor beim Knicken.

2Euler-Formel

Leonhard Euler fand die kritische Last einer schlanken Stütze:

Pcr = π² · E · I / (K·L)²
  • E ist der Elastizitätsmodul des Werkstoffs: 200 GPa für Stahl.
  • I ist das Flächenträgheitsmoment des Querschnitts. Verwende das kleinste: Die Stütze weicht auf dem leichten Weg aus.
  • L ist die Länge, und K ist der Knicklängenbeiwert, der davon abhängt, wie die Enden gehalten werden.
K = 1K = 2K = 0,7K = 0,5

Ein gelenkiges Ende kann sich drehen; ein eingespanntes nicht. Festeres Halten der Enden ergibt eine kürzere Knicklänge KL und ein viel höheres Pcr, weil KL quadriert wird.

Für einen runden Stab gilt I = π·d⁴/64. Für ein Rechteck b × h mit b als kürzerer Seite gilt Imin = h·b³/12.

Selbsttest Eine beidseitig gelenkige Stütze hat Pcr = 100 kN. Dieselbe Stütze wird am Fuß eingespannt und am Kopf frei ausgeführt (K = 2). Wie groß ist Pcr jetzt?
  1. 200 kN
  2. 25 kN
  3. 400 kN
  4. 50 kN

Antwort: 25 kN. Pcr wird durch K² = 4 geteilt: 100/4 = 25 kN. 50 kN vergisst, K zu quadrieren; 200 und 400 kN multiplizieren, statt zu teilen.

3Schlankheit und kritische Spannung

Teilst du Pcr durch die Fläche, erhältst du die kritische Spannung. Am übersichtlichsten schreibt man sie mit dem Trägheitsradius r und dem Schlankheitsgrad λ (Lambda):

r = √(I / A) λ = K·L / r σcr = π² · E / λ²

Für einen vollen runden Stab gilt r = d/4.

Die Eulerformel gilt nur, solange σcr unter der Streckgrenze des Werkstoffs bleibt. Für Baustahl bedeutet das einen Schlankheitsgrad von grob λ > 100. Gedrungenere Stützen versagen durch Fließen oder eine Mischung aus beidem und brauchen andere Bemessungsregeln.

Selbsttest Ein rechteckiger Stützenquerschnitt misst 20 mm × 40 mm. Wie groß ist das kleinste Flächenträgheitsmoment?
  1. 106 667 mm⁴
  2. 26 667 mm⁴
  3. 320 000 mm⁴
  4. 7854 mm⁴

Antwort: 26 667 mm⁴. Für die schwache Achse wird die kürzere Seite in die dritte Potenz genommen: 40·20³/12 = 26 667 mm⁴. 106 667 gehört zur starken Achse; 320 000 vergisst das /12; 7854 verwendet die Formel für einen Kreis.

4Das Verfahren Schritt für Schritt

  1. Lies die Randbedingungen der Enden ab und wähle K: 1, 2, 0,7 oder 0,5.
  2. Bestimme das kleinste I des Querschnitts in mm⁴.
  3. Rechne in N und mm um: L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000).
  4. Knicklänge: KL.
  5. Kritische Last: Pcr = π²EI/(KL)², in N. Teile durch 1000, um kN zu erhalten.
  6. Wenn danach gefragt wird, prüfe den Schlankheitsgrad KL/r oder die kritische Spannung Pcr/A.

Bei einer Bemessungsaufgabe mit einem Sicherheitsfaktor n muss die Stütze Pcr = n·P haben. Löse die Eulerformel nach I auf und dann nach dem Durchmesser.

5Ein durchgerechnetes Beispiel

Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.

Durchgerechnetes Beispiel

Eine volle runde Stahlstütze (E = 200 GPa) mit einem Durchmesser von 40 mm und einer Länge von 2 m ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Bestimme ihre kritische Knicklast Pcr. Bestimme sie dann noch einmal für dieselbe Stütze, am Fuß eingespannt und am Kopf frei.

1

Betrachte die Stütze

PL = 2 m

An beiden Enden gelenkig, also K = 1 und KL = 2000 mm. E = 200 000 N/mm².

2

Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I:

I = π · 40⁴ / 64 = 125 664 mm⁴
3

Kritische Last

Pcr = π² · 200 000 · 125 664 / 2000² = 62 013 N ≈ 62,0 kN
4

Prüfe, ob Euler gilt

r = d/4 = 10 mm λ = 2000 / 10 = 200
σcr = π² · 200 000 / 200² = 49,3 MPa

Das liegt weit unter der Streckgrenze von Stahl (etwa 250 MPa), die Stütze ist also schlank und die Eulerformel gilt.

5

Eingespannter Fuß, freier Kopf

Jetzt ist K = 2, die Knicklänge verdoppelt sich also auf 4000 mm und Pcr sinkt um den Faktor 2² = 4:

Pcr = 62,0 / 4 = 15,5 kN
Antwort

Pcr = 62,0 kN bei beidseitig gelenkiger Lagerung und 15,5 kN bei eingespanntem Fuß und freiem Kopf.

6Häufige Fehler

  • Das falsche K wählen oder vergessen, es zu quadrieren.
  • Das größere I eines Rechtecks verwenden. Eine Stütze knickt immer um ihre schwache Achse.
  • Einheiten vermischen: L in Metern mit E in N/mm². Rechne durchgehend in N und mm.
  • π·d⁴/32 (das polare Flächenmoment J aus der Torsion) statt π·d⁴/64 verwenden.
  • Euler auf eine kurze, gedrungene Stütze anwenden, deren kritische Spannung über der Streckgrenze läge.
Selbsttest Eine beidseitig gelenkige Stütze hat Pcr = 40 kN. Dieselbe Stütze ist an beiden Enden eingespannt (K = 0,5). Wie groß ist Pcr?
  1. 10 kN
  2. 160 kN
  3. 20 kN
  4. 80 kN

Antwort: 160 kN. Pcr wird durch K² = 0,25 geteilt, wird also viermal so groß: 160 kN. 80 kN vergisst, K zu quadrieren; 10 kN multipliziert mit K², statt zu teilen.

7So sehen Prüfungsaufgaben aus

  • Leicht: gelenkige Enden. Bestimme Pcr einer runden oder rechteckigen Stütze aus Stahl oder Aluminium.
  • Mittel: andere Randbedingungen. Dieselbe Frage mit K = 2, 0,7 oder 0,5.
  • Schwer: Bemessung und kritische Spannung. Bestimme den kleinsten Durchmesser, der eine Last mit einem Sicherheitsfaktor trägt, oder bestimme den Schlankheitsgrad und σcr.

Für die Bemessung mit einem runden Stab: d = (64·n·P·(KL)² / (π³·E))1/4.

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Beispielaufgaben

Beispiel 1Leicht
PL = 5 md = 50 mmQuerschnitt

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast Pcr.

L = 5 mE = 70 GPa (Aluminium)d = 50 mm

Gesucht: Pcr (kN)

Tipps anzeigen
  1. Euler: Pcr = π²EI/(KL)².
  2. Knicklängenbeiwert: K = 1 für eine Stütze, die an beiden Enden gelenkig gelagert ist.
  3. I = 306796 mm⁴.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Knicklänge

KL = 1·5000 = 5000 mm

Kritische Last

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/5000² = 8478 N = 8,478 kN

Antwort

Pcr = 8,478 kN
Beispiel 2Mittel
PL = 2,5 md = 30 mmQuerschnitt

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben frei. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast Pcr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (Stahl)d = 30 mm

Gesucht: Pcr (kN)

Tipps anzeigen
  1. Euler: Pcr = π²EI/(KL)².
  2. Knicklängenbeiwert: K = 2 für eine Stütze, die unten eingespannt und oben frei ist.
  3. I = 39761 mm⁴.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Knicklänge

KL = 2·2500 = 5000 mm

Kritische Last

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/5000² = 3139 N = 3,139 kN

Antwort

Pcr = 3,139 kN
Beispiel 3Schwer
PL = 2,5 md = 25 mmQuerschnitt

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Bestimme ihre Schlankheit und die kritische Knickspannung σcr nach Euler.

L = 2,5 mE = 70 GPa (Aluminium)d = 25 mm

Gesucht: σcr (MPa)

Tipps anzeigen
  1. σcr = Pcr/A = π²E/(KL/r)², mit r = √(I/A), dem Trägheitsradius.
  2. Verwende das kleinste I, weil die Stütze um ihre schwächste Achse knickt.
  3. r = 6,25 mm.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Trägheitsradius und Schlankheit

A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 1·2500 = 2500 mm
KL/r = 2500/6,25 = 400

Kritische Spannung

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

Antwort

σcr = 4,318 MPa

Fragen und Antworten

Knicken von Stützen: Worum geht es?

Drücke auf beide Enden eines Kunststofflineals. Zuerst scheint nichts zu passieren. Dann, ganz plötzlich, weicht es seitlich aus. Das ist Knicken.

Eine Stütze ist ein Bauteil, das in Längsrichtung auf Druck belastet wird: eine Gebäudestütze, eine Strebe im Dach, eine Kolbenstange.

Knicken von Stützen: Wie löst man die Aufgaben Schritt für Schritt?

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Knicken von Stützen: Was wird geübt?
  • Leicht: gelenkige Enden
  • Mittel: andere Lagerungen
  • Schwer: Bemessung und kritische Spannung

Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort. Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.

So funktioniert das Üben

  • Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort.
  • Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
  • Dein Fortschritt, deine Fehler und gespeicherten Aufgaben bleiben erhalten, damit du vor der Prüfung wiederholen kannst.

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