Querkraft und Biegemoment: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen

Auch genannt: Schnittgrößen · Querkraftverlauf · Momentenverlauf

Kostenlose Übungsaufgaben zu Querkraft und Biegemoment mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: Einzellast, Streckenlast über die ganze Länge, Einzellast + Streckenlast.

Kostenlose ÜbungsaufgabeLeicht
P = 60 kNAB2,5 m2,5 m

Der Einfeldträger trägt eine einzelne Einzellast P. Bestimme die Querkraft Vx unmittelbar rechts von der Last. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 5 mP = 60 kN bei 2,5 m
kN
Nächste Aufgabe →
Querkraft und Biegemoment kostenlos übenQuerkraft und Biegemoment jetzt übenJeden Tag 5 kostenlose Aufgaben. Keine Kreditkarte nötig.

Was du übst

  1. LeichtEinzellast
  2. MittelStreckenlast über die ganze Länge
  3. SchwerEinzellast + Streckenlast

So löst du Aufgaben zu Querkraft und Biegemoment

  1. Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
  2. Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
  3. Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
  4. Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Häufige Fehler

  • Lasten von beiden Seiten des Schnitts einbeziehen.
  • Die falsche Vorzeichenkonvention für positive (Feld-) und negative (Stütz-)Momente verwenden.
  • Mit der Querkraft antworten, wenn nach dem Biegemoment gefragt ist.

Wichtige Formeln

Querkraft und Moment
V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung
σ = M·y/I
Rechteck
I = bh³/12
Widerstandsmoment
W = I/ymax
Einfeldträger, Gleichstreckenlast
Mmax = wL²/8

Querkraft und Biegemoment von Grund auf lernen

Davor: Auflagerkräfte am Balken

1Was im Inneren eines Balkens geschieht

In der Lektion über Auflagerreaktionen hast du die äußeren Kräfte auf einen Balken bestimmt. Jetzt schaust du ins Innere: Was muss das Material an einer Stelle des Balkens tragen?

Stell dir vor, du sägst den Balken an einer Stelle durch. Jede Hälfte würde herunterfallen. Damit sie an ihrem Platz bleibt, muss die andere Hälfte sie mit zwei inneren Wirkungen halten:

  • die Querkraft V, die verhindert, dass die eine Seite an der anderen nach oben oder unten gleitet (in kN);
  • das Biegemoment M, das verhindert, dass sich die eine Seite relativ zur anderen verdreht (in kN·m).
PAB2 m2 m2 m

Ein Balken, der sich wie ein Lächeln durchbiegt und unten gedehnt wird, hat eine positive Biegung (Durchhang). Ein Balken, der sich wie ein Stirnrunzeln biegt, etwa ein Balkon, hat eine negative Biegung (Hogging).

Ingenieure brauchen M, weil die Biegespannung im Balken mit M wächst, und V, weil der Balken nahe den Auflagern nicht abscheren darf.

Selbsttest Ein Balken auf zwei Stützen trägt eine Last nach unten. Welche Seite des Balkens wird gedehnt?
  1. Beide Seiten gleich stark
  2. Die Oberseite: Der Balken biegt sich negativ
  3. Die Unterseite: Der Balken hängt durch
  4. Keine Seite, der Balken wird nur kürzer

Antwort: Die Unterseite: Der Balken hängt durch. Ein Balken auf zwei Auflagern biegt sich unter einer Last nach unten wie ein Lächeln. Die unteren Fasern werden länger (Zug), die oberen kürzer (Druck).

2Das Schnittverfahren

Um V und M im Abstand x von A zu bestimmen, schneidest du den Balken dort durch und behältst nur den Teil links vom Schnitt. Dieser Teil ist für sich im Gleichgewicht.

RA​VMAx

Die üblichen Vorzeichenregeln: Eine Kraft nach oben am linken Teil zählt als positive Querkraft, und ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv. Daraus ergeben sich zwei kurze Rezepte:

  • Querkraft: V = RA minus alle Lasten nach unten links vom Schnitt.
  • Biegemoment: M = RA·x minus für jede Last links vom Schnitt die Last mal ihren Abstand zum Schnitt.

Ein Streckenlastanteil links vom Schnitt wirkt als eine Kraft w·ℓ in seiner eigenen Mitte, genau wie in der Lektion über Auflagerreaktionen.

Du kannst stattdessen den rechten Teil behalten. Du erhältst dasselbe V und M, was eine nützliche Kontrolle ist.

Selbsttest RA = 10 kN. Die erste Last liegt 5 m von A entfernt. Wie groß ist das Biegemoment bei x = 3 m?
  1. 10 kN·m
  2. 13 kN·m
  3. 3,3 kN·m
  4. 30 kN·m

Antwort: 30 kN·m. Links vom Schnitt liegt keine Last, also ist M = RA·x = 10·3 = 30 kN·m. 10 kN ist dort die Querkraft, nicht das Moment.

3Diagramme und das maximale Moment

Wenn du V und M für jedes x berechnest, erhältst du die Querkraftfläche und die Momentenfläche. Ihre Verläufe folgen einfachen Regeln:

  • Zwischen Einzellasten ist V konstant und M eine Gerade.
  • Unter einer Streckenlast fällt V geradlinig ab und M ist eine Kurve (eine Parabel).
  • Eine Einzellast lässt V um die Größe der Last springen.
  • M ist dort am größten, wo V das Vorzeichen wechselt, also durch null geht.

Zwei Ergebnisse kommen so oft vor, dass sie sich zu merken lohnen:

  • Einzellast P in Feldmitte: Mmax = P·L / 4
  • Streckenlast w über die ganze Spannweite: Mmax = w·L² / 8
Selbsttest Ein einfacher Balken von 6 m trägt über seine ganze Spannweite eine Streckenlast von 4 kN/m. Wie groß ist das größte Biegemoment?
  1. 12 kN·m
  2. 144 kN·m
  3. 18 kN·m
  4. 36 kN·m

Antwort: 18 kN·m. Mmax = wL²/8 = 4·36/8 = 18 kN·m in Feldmitte. 36 verwendet /4 (die Regel für die Einzellast); 12 kN ist die Auflagerkraft wL/2.

4Das Verfahren Schritt für Schritt

  1. Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
  2. Schneide den Balken im Schnitt x und behalte den linken Teil.
  3. Querkraft: V = RA minus alle Lasten nach unten am linken Teil.
  4. Biegemoment: M = RA·x minus jede Last am linken Teil mal ihren Abstand zum Schnitt.
  5. Für das maximale Moment: Bestimme, wo V = 0 ist, und berechne dort M.

Zeichne den linken Teil als kleine separate Skizze. So ist klar, welche Lasten du berücksichtigen musst.

5Ein durchgerechnetes Beispiel

Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.

Durchgerechnetes Beispiel

Ein einfacher Balken mit 6 m Spannweite trägt über seine ganze Länge eine Streckenlast von 4 kN/m. Bestimme die Querkraft V und das Biegemoment M bei x = 2 m von A.

1

Betrachte den Balken

w = 4 kN/mABRA​RB​2 m4 m
2

Auflagerkräfte

Die Gesamtlast beträgt 4 · 6 = 24 kN, in der Mitte. Aus Symmetriegründen trägt jedes Auflager die Hälfte:

RA = RB = 12 kN
3

Behalte den linken Teil

w = 4 kN/m12 kNVMA2 m

Die Streckenlast am linken Teil beträgt 4 · 2 = 8 kN. Sie wirkt in ihrer eigenen Mitte, 1 m vom Schnitt entfernt.

4

Querkraft

V = 12 − 8 = 4 kN
5

Biegemoment

M = 12 · 2 − 8 · 1 = 16 kN·m

Es ist positiv, der Balken hängt hier also durch.

6

Antwort prüfen

Verwende stattdessen den rechten Teil: Er ist 4 m lang, mit RB = 12 kN und einer Streckenlast von 16 kN in 2 m Abstand vom Schnitt.

M = 12 · 4 − 16 · 2 = 16 kN·m

Die vollständige Momentenfläche ist eine Parabel mit dem Scheitel wL²/8 = 18 kN·m in Feldmitte. 16 kN·m bei x = 2 m passt dazu.

1618 kN·mMx = 2x = 3
Antwort

V = 4 kN und M = 16 kN·m (Durchhang).

6Häufige Fehler

  • Lasten von beiden Seiten des Schnitts berücksichtigen. Verwende nur den Teil, den du behalten hast.
  • Den Hebelarm von A statt vom Schnitt aus messen. Bei M ist jeder Abstand der von der Last zum Schnitt.
  • Mit V antworten, wenn nach M gefragt ist, oder umgekehrt. Prüfe die Einheit: kN oder kN·m.
  • Die gesamte Streckenlast nehmen statt nur den Teil links vom Schnitt.
  • Vorzeichenregeln vermischen. Mit den üblichen Regeln hat ein einfacher Balken unter Lasten nach unten überall positive Momente (Durchhang).
Selbsttest Ein 4 m langer einfacher Balken trägt 20 kN in Feldmitte, also ist RA = 10 kN. Wie groß ist M bei x = 1 m?
  1. 0 kN·m
  2. 10 kN
  3. 10 kN·m
  4. 20 kN·m

Antwort: 10 kN·m. Nur RA liegt links vom Schnitt: M = 10·1 = 10 kN·m. 0 zieht fälschlich die Last ab, die rechts vom Schnitt liegt. 20 kN·m ist PL/4, das Maximum in Feldmitte. 10 kN ist die Querkraft.

7So sehen Prüfungsaufgaben aus

  • Leicht: eine Einzellast. Bestimme M an der Last oder V direkt neben ihr. Varianten verwenden einen Kragarm, bei dem M an der Einspannung am größten ist.
  • Mittel: eine Streckenlast über die ganze Spannweite, wie im Beispiel. Bestimme V oder M bei einem gegebenen x oder das maximale Moment.
  • Schwer: eine Einzellast und eine Streckenlast zusammen oder eine teilweise Streckenlast. Bestimme M in einem Schnitt oder das maximale Moment dort, wo V = 0 ist.

Manche Varianten verwenden einen Balken mit Kragarm über ein Auflager hinaus. Der Kragarm biegt sich negativ, also ist M dort negativ.

Beginne immer mit den Auflagerreaktionen und schreibe sie in deine Skizze.

Lerne Schritt für Schritt in der AppLerne Schritt für Schritt in der App

Beispielaufgaben

Beispiel 1Leicht
40 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

40 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
Tipps anzeigen
  1. Spitzen des Biegemoments liegen dort, wo die Querkraft das Vorzeichen wechselt, an einer festen Wand oder über einem Auflager neben einem Überstand.
  2. Bestimme zuerst die Auflagerreaktionen: R1 = 33,33 kN.
  3. Vergleiche die Momente an den möglichen Markierungen; die größte Größe ist 66,67 kN·m.
Antwort und Erklärung anzeigen

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R1 = 33,33 kN, R2 = 6,667 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

MA = 0, MB = 66,67 kN·m, MC = 53,33, MD = 40, ME = 26,67, MF = 13,33, MG = 0

Antwort

Markierung B: MB = 66,67 kN·m
Beispiel 2Mittel
w = 5 kN/mABSchnitt0,5 m5,5 m

Bestimme das Biegemoment Mx im Schnitt x = 0,5 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 6 mw = 5 kN/m von 0 bis 6 mx = 0,5 m

Gesucht: Mx (kN·m)

Tipps anzeigen
  1. Bestimme zuerst die Auflagerkräfte aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
  2. Schneide dann den Balken bei x = 0,5 m und betrachte nur den Teil links vom Schnitt. Summiere die Momente dieser Kräfte um den Schnitt.
  3. RA = 15 kN.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, angreifend bei x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 5·6·3
RB = 90/6 = 15 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 15 = 15 kN
w = 5 kN/mABRA​ = 15RB​ = 15Schnitt0,5 m5,5 m

Schnitt bei x = 0,5 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = RA·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)
Mx = 15·0,5 − 5·0,5·0,25 = 6,875 kN·m

Antwort

Mx = 6,875 kN·m
Beispiel 3Schwer
w = 6 kN/mP = 45 kNABSchnitt1,5 m3,5 m1 m

Bestimme das Biegemoment Mx im Schnitt x = 5 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 6 mP = 45 kN bei 1,5 mw = 6 kN/m von 0 bis 6 mx = 5 m

Gesucht: Mx (kN·m)

Tipps anzeigen
  1. Bestimme zuerst die Auflagerkräfte aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
  2. Schneide dann den Balken bei x = 5 m und betrachte nur den Teil links vom Schnitt. Summiere die Momente dieser Kräfte um den Schnitt.
  3. RA = 51,75 kN.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, angreifend bei x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 45·1,5 + 6·6·3
RB = 175,5/6 = 29,25 kN
ΣFy = 0: RA = 81 − 29,25 = 51,75 kN
w = 6 kN/mP = 45 kNABRA​ = 51,75RB​ = 29,25Schnitt1,5 m3,5 m1 m

Schnitt bei x = 5 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = RA·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)
Mx = 51,75·5 − 45·(5 − 1,5) − 6·5·2,5 = 26,25 kN·m

Antwort

Mx = 26,25 kN·m

Fragen und Antworten

Querkraft und Biegemoment: Worum geht es?

In der Lektion über Auflagerreaktionen hast du die äußeren Kräfte auf einen Balken bestimmt. Jetzt schaust du ins Innere: Was muss das Material an einer Stelle des Balkens tragen?

Stell dir vor, du sägst den Balken an einer Stelle durch. Jede Hälfte würde herunterfallen. Damit sie an ihrem Platz bleibt, muss die andere Hälfte sie mit zwei inneren Wirkungen halten:

Querkraft und Biegemoment: Wie löst man die Aufgaben Schritt für Schritt?
  1. Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
  2. Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
  3. Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
  4. Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.
Querkraft und Biegemoment: Welche Fehler passieren am häufigsten?
  • Lasten von beiden Seiten des Schnitts einbeziehen.
  • Die falsche Vorzeichenkonvention für positive (Feld-) und negative (Stütz-)Momente verwenden.
  • Mit der Querkraft antworten, wenn nach dem Biegemoment gefragt ist.
Querkraft und Biegemoment: Was wird geübt?
  • Leicht: Einzellast
  • Mittel: Streckenlast über die ganze Länge
  • Schwer: Einzellast + Streckenlast

Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort. Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.

So funktioniert das Üben

  • Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort.
  • Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
  • Dein Fortschritt, deine Fehler und gespeicherten Aufgaben bleiben erhalten, damit du vor der Prüfung wiederholen kannst.

Themen davor und danach

Zuerst lernen

Auflagerkräfte am Balken

Danach weiter mit

Durchbiegung

Rechner

Rechner für Querkraft- und BiegemomentenverlaufBiegespannung-Rechner (σ = My/I)

Kurse mit diesem Thema

StatikFestigkeitslehreBaustatikÜbungsaufgaben für die Prüfung FE MechanicalÜbungsaufgaben für die Prüfung FE Civil

Weitere Themen in Bauingenieurwesen

Fachwerk: KnotenpunktverfahrenDurchbiegungSchwerpunkt und FlächenträgheitsmomentKnicken von StützenEffektive Spannung im BodenKonsolidationssetzungHydrostatische KraftGerinneströmung (Manning)

Arbeitsblatt zum Ausdrucken

Arbeitsblatt Querkraft und Biegemoment mit Lösungen
Querkraft und Biegemoment kostenlos übenQuerkraft und Biegemoment jetzt übenJeden Tag 5 kostenlose Aufgaben. Keine Kreditkarte nötig.