Auflagerkräfte am Balken: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen
Auch genannt: Lagerreaktionen · Auflagerreaktionen · Lagerkräfte
Kostenlose Übungsaufgaben zu Auflagerkräfte am Balken mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: 1 Einzellast, 2 Einzellasten, Einzellast + Streckenlast.
Kostenlose ÜbungsaufgabeLeicht
Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Bestimme die vertikale Auflagerkraft RA.
Zeichne ein Freikörperbild und ersetze jedes Lager durch seine Lagerreaktionen.
Ersetze jede verteilte Last durch eine Einzelkraft in ihrem Schwerpunkt.
Bilde die Momente um ein Lager, um die Reaktion am anderen zu bestimmen.
Bestimme mit ΣFy = 0 die verbleibende Reaktion und kontrolliere mit einer zweiten Momentengleichung.
Häufige Fehler
Den Hebelarm vom falschen Punkt aus messen.
Vergessen, eine verteilte Last in ihre Resultierende umzurechnen.
Verwechseln, welches Lager welche Reaktion aufnimmt.
Wichtige Formeln
Gleichgewicht
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Gleichstreckenlast
Resultierende w·L in der Mitte der Last
Moment
M = F·d
Auflagerkräfte am Balken von Grund auf lernen
1Was Auflagerreaktionen sind
Ein Balken ist ein langes gerades Bauteil, das Lasten über eine Lücke trägt, wie ein Regal, ein Deckenbalken oder eine kleine Brücke.
Der Balken ruht auf Auflagern. Drücken Lasten den Balken nach unten, drücken die Auflager nach oben zurück. Diese Kräfte nach oben sind die Auflagerreaktionen.
Hier sitzt eine 10-kN-Last genau in der Mitte. Aus Symmetrie trägt jedes Auflager die Hälfte: RA = RB = 5 kN.
Liegt die Last nicht in der Mitte, trägt das nähere Auflager mehr. Genau zu bestimmen, wie viel, ist das Thema dieser Lektion.
Du brauchst die Auflagerreaktionen zuerst für fast jede andere Balkenaufgabe: Querkraft, Biegemoment, Spannung und Durchbiegung.
Selbsttest Ein Balken auf zwei Auflagern trägt 10 kN genau in Feldmitte. Wie groß ist die Reaktion an jedem Auflager?
10 kN
2,5 kN
20 kN
5 kN
Antwort: 5 kN. Die beiden Reaktionen zusammen müssen die gesamten 10 kN tragen, und aus Symmetrie sind sie gleich: 10/2 = 5 kN. 10 kN an jedem Auflager würde die Last doppelt tragen.
2Auflager, Momente und Gleichgewicht
Jede Art von Auflager kann auf ihre eigene Weise zurückdrücken.
Ein Loslager (Rollenlager) (B in der Abbildung) kann nur senkrecht zu der Fläche drücken, auf der es rollt. Es liefert eine senkrechte Reaktion.
Ein Festlager (Gelenklager) (A) verhindert die Bewegung des Balkens in jede Richtung. Es liefert eine senkrechte und eine waagerechte Reaktion. Bei nur senkrechten Lasten ist die waagerechte null.
Eine feste Einspannung, etwa an einer Wand, verhindert zusätzlich die Drehung des Balkens. Sie liefert eine senkrechte Kraft und ein Reaktionsmoment.
Ein Moment ist die Drehwirkung einer Kraft um einen Punkt. Es ist die Kraft mal ihr senkrechter Abstand von diesem Punkt:
M = F · d
Ein ruhender Balken bewegt und dreht sich nicht. Deshalb gelten drei Gleichgewichtsgleichungen:
ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0
Die Momentengleichung gilt um jeden Punkt. Wähle ein Auflager als diesen Punkt: Seine Reaktion hat den Abstand null und fällt aus der Gleichung heraus.
Selbsttest Eine 6-kN-Kraft wirkt 2 m von Punkt A entfernt. Wie groß ist ihr Moment um A?
12 kN·m
3 kN·m
6 kN·m
8 kN·m
Antwort: 12 kN·m. M = F·d = 6·2 = 12 kN·m. Die Kraft durch den Abstand zu teilen (3) oder beides zu addieren (8) sind die üblichen Ausrutscher.
3Verteilte Lasten
Manche Lasten sind entlang des Balkens verteilt, etwa das Gewicht eines Bodens oder von Schnee. Eine gleichmäßig verteilte Last (Streckenlast) hat auf jedem Meter denselben Wert w, in kN/m.
Für die Auflagerreaktionen kannst du eine Streckenlast durch eine einzige Kraft ersetzen. Ihre Größe ist die Last pro Meter mal die belastete Länge, und sie greift in der Mitte des belasteten Teils an:
W = w · ℓ
In der Abbildung ist ℓ = 3 m, also W = 4 · 3 = 12 kN. Sie greift in der Mitte der Last an, bei x = 1 + 1,5 = 2,5 m von A.
Ein Kragarm ist nur an einem Ende eingespannt, wie ein Balkon. Die Wand liefert eine Kraft nach oben und ein Moment. Für eine Last P am Ende im Abstand L: RA = P und MA = P·L.
Bei diesem Kragarm ist RA = 5 kN und MA = 5 · 3 = 15 kN·m.
Selbsttest Eine Streckenlast von 4 kN/m wirkt von x = 1 m bis x = 4 m. Welche einzelne Kraft ersetzt sie, und wo?
12 kN bei x = 1,5 m
12 kN bei x = 2 m
12 kN bei x = 2,5 m
4 kN bei x = 2,5 m
Antwort: 12 kN bei x = 2,5 m. W = 4·3 = 12 kN in der Mitte der Last, 1 + 1,5 = 2,5 m von A. 1,5 m wird vom Beginn der Last aus gemessen, nicht von A. 2 m ist die Mitte der ganzen Spannweite, nicht des belasteten Teils.
4Das Verfahren Schritt für Schritt
Zeichne den Balken und ersetze jedes Auflager durch seine Reaktionen: RA am Festlager und RB am Loslager.
Ersetze jede Streckenlast durch eine einzige Kraft w·ℓ in der Mitte des belasteten Teils.
Bilde Momente um A. RA fällt heraus, du erhältst also direkt RB: RB·L = Σ(jede Last × ihr Abstand von A).
Verwende ΣFy = 0: RA = (Gesamtlast) − RB.
Probe: Bilde Momente um B. Das sollte dasselbe RA ergeben.
Vorzeichenregel für Schritt 3: Die Reaktion RB dreht den Balken um A in die eine Richtung, die Lasten nach unten drehen ihn in die andere. Ihre Momente müssen sich ausgleichen.
5Ein durchgerechnetes Beispiel
Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.
Durchgerechnetes Beispiel
Ein Balken auf zwei Auflagern mit 6 m Spannweite trägt P1 = 12 kN bei 2 m von A und P2 = 6 kN bei 4 m von A. Bestimme RA und RB.
1
Das Freikörperbild zeichnen
Das Festlager bei A und das Loslager bei B liefern je eine Reaktion nach oben. Es gibt zwei Unbekannte, zwei Gleichungen genügen also.
2
Momente um A
RA geht durch A und hat daher kein Moment um A. Die Lasten drehen den Balken im Uhrzeigersinn, RB dreht ihn gegen den Uhrzeigersinn:
RB · 6 = 12 · 2 + 6 · 4 = 48
RB = 48 / 6 = 8 kN
3
Kräftegleichgewicht in senkrechter Richtung
Die beiden Reaktionen tragen zusammen die Gesamtlast von 12 + 6 = 18 kN.
RA = 18 − 8 = 10 kN
4
Antwort prüfen
Bilde stattdessen Momente um B. Die Abstände zu B sind 4 m für P1 und 2 m für P2.
RA · 6 = 12 · 4 + 6 · 2 = 60 ⇒ RA = 10 kN
Beide Wege stimmen überein. RA ist die größere, was sinnvoll ist: Die schwerere Last ist näher an A.
Antwort
RA = 10 kN und RB = 8 kN.
6Häufige Fehler
Einen Abstand vom falschen Punkt aus messen. In einer Momentengleichung um A wird jeder Abstand von A aus gemessen.
Die Reaktionen vertauschen. Momente um A liefern RB, nicht RA.
Vergessen, eine Streckenlast in eine Kraft w·ℓ umzuwandeln, oder diese Kraft in die Mitte der Spannweite statt in die Mitte der Last setzen.
Die Drehrichtungen verwechseln, sodass eine Last und eine Reaktion in der Momentengleichung dasselbe Vorzeichen bekommen.
Nicht prüfen. Eine zweite Momentengleichung um B fängt die meisten Ausrutscher in wenigen Sekunden ab.
Selbsttest Ein 4 m langer Balken auf zwei Auflagern trägt 8 kN bei 1 m von A. Wie groß ist RA?
2 kN
4 kN
6 kN
8 kN
Antwort: 6 kN. Momente um A: RB·4 = 8·1, also RB = 2 kN und RA = 8 − 2 = 6 kN. 2 kN ist RB: Das Auflager näher an der Last trägt mehr.
7So sehen Prüfungsaufgaben aus
Leicht: ein Balken auf zwei Auflagern mit einer Einzellast. Du bestimmst RA oder RB.
Mittel: zwei Einzellasten, wie im durchgerechneten Beispiel.
Schwer: eine Einzellast zusammen mit einer Streckenlast über einen Teil oder die ganze Spannweite. Ersetze zuerst die Streckenlast durch w·ℓ in ihrer Mitte.
Andere Varianten verwenden dieselben drei Gleichungen: ein Kragarm (bestimme das Einspannmoment MA), eine schräge Last (verwende nur ihre senkrechte Komponente, P·sin θ), ein eingeprägtes Kräftepaar, ein Balken mit Überstand über ein Auflager oder eine Dreieckslast (Resultierende ½·w·ℓ bei einem Drittel ihrer Länge vom hohen Ende).
Lies die Maße unter dem Balken sorgfältig und schreibe jeden Abstand von A auf, bevor du beginnst.
Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Bestimme die vertikale Auflagerkraft RB.
L = 4 mP = 55 kN bei 2 m
Gesucht: RB(kN)
Tipps anzeigen
Nutze das Gleichgewicht: ΣFy = 0 und ΣM = 0. Zwei Unbekannte, zwei Gleichungen.
Bilde die Momente um A. RA geht durch A, fällt also heraus, und du erhältst RB direkt.
Die gesamte Last nach unten ist 55 kN, also gilt RA + RB = 55 kN.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Bildet man die Momente um ein Auflager, fällt dessen Auflagerkraft aus der Gleichung heraus.
Freikörperbild
Ersetze die Lager durch Auflagerkräfte. Ein Loslager gibt eine vertikale Kraft; bei nur vertikalen Lasten gibt auch das Festlager nur eine vertikale Kraft.
Gleichgewicht
Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv. Dann das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung.
ΣMA = 0: RB·4 = 55·2
RB = 110/4 = 27,5 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 27,5 = 27,5 kN
Antwort
RB = 27,5 kN
Beispiel 2Mittel
Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Bestimme die vertikale Auflagerkraft RB.
L = 6 mP1 = 15 kN bei 2 mP2 = 30 kN bei 3 m
Gesucht: RB(kN)
Tipps anzeigen
Nutze das Gleichgewicht: ΣFy = 0 und ΣM = 0. Zwei Unbekannte, zwei Gleichungen.
Bilde die Momente um A. RA geht durch A, fällt also heraus, und du erhältst RB direkt.
Die gesamte Last nach unten ist 45 kN, also gilt RA + RB = 45 kN.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Bildet man die Momente um ein Auflager, fällt dessen Auflagerkraft aus der Gleichung heraus.
Freikörperbild
Ersetze die Lager durch Auflagerkräfte. Ein Loslager gibt eine vertikale Kraft; bei nur vertikalen Lasten gibt auch das Festlager nur eine vertikale Kraft.
Gleichgewicht
Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv. Dann das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung.
ΣMA = 0: RB·6 = 15·2 + 30·3
RB = 120/6 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 20 = 25 kN
Antwort
RB = 20 kN
Beispiel 3Schwer
Der Einfeldträger hat in A ein Festlager und in B ein Loslager. Eine Last P greift 3 m von A entfernt an, unter 30° zur Horizontalen geneigt, und eine vertikale Last Q greift 2 m von A entfernt an. Bestimme den Betrag der gesamten Auflagerkraft RA im Festlager A.
L = 4 mP = 25 kN bei 3 m, θ = 30°Q = 25 kN bei 2 m
Gesucht: RA(kN)
Tipps anzeigen
Zerlege P in P·cos θ (horizontal) und P·sin θ (vertikal). Das Loslager nimmt keine horizontale Kraft auf.
Bestimme RB aus den Momenten um A, dann Ay aus ΣFy = 0 und Ax aus ΣFx = 0.
Ax = 21,65 kN, Ay = 15,63 kN.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
Statisches Gleichgewicht: Für einen ruhenden Körper gilt ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0 um jeden Punkt. Ersetze jede Streckenlast durch ihre Resultierende (ihre Fläche), die im Schwerpunkt der Lastfigur angreift, und bilde die Momente um ein Auflager, damit dessen Auflagerkraft aus der Gleichung herausfällt.
Komponenten von P
Pv = 25·sin 30° = 12,5 kN
Ph = 25·cos 30° = 21,65 kN
Auflagerkräfte
ΣMA = 0: RB·4 = 12,5·3 + 25·2 → RB = 21,88 kN
Ay = 12,5 + 25 − 21,88 = 15,63 kN
Ax = Ph = 21,65 kN
Resultierende in A
RA = √(21,65² + 15,63²) = 26,7 kN
Antwort
RA = 26,7 kN
Fragen und Antworten
Auflagerkräfte am Balken: Worum geht es?
Ein Balken ist ein langes gerades Bauteil, das Lasten über eine Lücke trägt, wie ein Regal, ein Deckenbalken oder eine kleine Brücke.
Der Balken ruht auf Auflagern. Drücken Lasten den Balken nach unten, drücken die Auflager nach oben zurück. Diese Kräfte nach oben sind die Auflagerreaktionen.
Auflagerkräfte am Balken: Wie löst man die Aufgaben Schritt für Schritt?
Zeichne ein Freikörperbild und ersetze jedes Lager durch seine Lagerreaktionen.
Ersetze jede verteilte Last durch eine Einzelkraft in ihrem Schwerpunkt.
Bilde die Momente um ein Lager, um die Reaktion am anderen zu bestimmen.
Bestimme mit ΣFy = 0 die verbleibende Reaktion und kontrolliere mit einer zweiten Momentengleichung.
Auflagerkräfte am Balken: Welche Fehler passieren am häufigsten?
Den Hebelarm vom falschen Punkt aus messen.
Vergessen, eine verteilte Last in ihre Resultierende umzurechnen.
Verwechseln, welches Lager welche Reaktion aufnimmt.
Auflagerkräfte am Balken: Was wird geübt?
Leicht: 1 Einzellast
Mittel: 2 Einzellasten
Schwer: Einzellast + Streckenlast
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort. Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
So funktioniert das Üben
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort.
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