Arbeit und Energie: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen
Auch genannt: Energieerhaltungssatz · Arbeitssatz
Kostenlose Übungsaufgaben zu Arbeit und Energie mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: freier Fall, Schräge mit Reibung, Rampe, Reibung und Feder.
Arbeit und Energie von Grund auf lernen
Davor: Newtonsche Gesetze
1Was Energie ist
Energie ist die Fähigkeit, etwas zu bewegen oder zu verändern. Sie wird in Joule (J) gemessen. Ein Joule ist die Energie, die nötig ist, um mit 1 N über 1 m zu schieben.
Energie wird nie erzeugt oder vernichtet. Sie ändert nur ihre Form. Ein fallender Ball wandelt Höhe in Geschwindigkeit um. Ein bremsendes Auto wandelt Geschwindigkeit in seinen Bremsen in Wärme um.
Das gibt dir eine mächtige Abkürzung. Statt die Bewegung Sekunde für Sekunde mit Kräften zu verfolgen, vergleichst du die Energie am Anfang mit der Energie am Ende.
In diesem Thema lernst du drei Formen mechanischer Energie kennen: Bewegungsenergie, Höhenenergie und in einer Feder gespeicherte Energie. Reibung entzieht Energie und wandelt sie in Wärme um.
Selbsttest Eine Kiste rutscht über einen rauen Boden und bleibt stehen. Was ist mit ihrer kinetischen Energie geschehen?
- Die Reibung hat sie in Wärme umgewandelt
- Sie steckt weiter als Geschwindigkeit in der Kiste
- Sie wurde vernichtet
- Sie wurde zu potenzieller Energie
Antwort: Die Reibung hat sie in Wärme umgewandelt. Energie kann nicht verschwinden. Auf einem ebenen Boden ändert sich die Höhe nicht, daher ging die ganze kinetische Energie durch Reibung in Wärme über.
2Arbeit und kinetische Energie
Eine Kraft verrichtet Arbeit, wenn sie etwas bewegt. Arbeit ist Kraft mal der Strecke, die in Kraftrichtung zurückgelegt wird:
W = F · d · cos α
Hier ist α der Winkel zwischen Kraft und Bewegung. Eine Kraft in Bewegungsrichtung (α = 0) verrichtet volle Arbeit. Eine Kraft im rechten Winkel (α = 90°) verrichtet überhaupt keine Arbeit.
Die Energie der Bewegung ist die kinetische Energie. Sie wächst mit dem Quadrat der Geschwindigkeit, eine doppelte Geschwindigkeit ergibt also die vierfache Energie:
Ek = ½ · m · v²
Die von allen Kräften zusammen verrichtete Arbeit ist gleich der Änderung der kinetischen Energie. Das ist der Arbeits-Energie-Satz.
Selbsttest Ein Seil zieht eine Kiste mit einer Kraft von 50 N über 4 m auf einem ebenen Boden, unter 60° über der Waagerechten. Wie viel Arbeit verrichtet das Seil?
- 100 J
- 12,5 J
- 173 J
- 200 J
Antwort: 100 J. W = 50 · 4 · cos 60° = 100 J. Ohne cos α erhält man 200 J, und mit sin 60° erhält man 173 J.
3Potenzielle Energie: Höhe und Federn
Ein Körper, der weiter oben ist, kann fallen und Geschwindigkeit aufnehmen. Die Energie, die er wegen seiner Höhe hat, ist die potenzielle Energie im Schwerefeld:
Ep = m · g · h
Nur die Höhenänderung zählt, du wählst das Nullniveau also selbst. Der tiefste Punkt der Bewegung ist meist die einfachste Wahl.
Eine Feder, die um eine Strecke x zusammengedrückt oder gedehnt wird, speichert elastische Energie. Hier ist k die Federsteifigkeit in N/m:
Es = ½ · k · x²
Fasse alles in einer Energiebilanz zusammen. Wf ist die Arbeit gegen die Reibung, die als Wärme abgeht:
Ek1 + Ep1 + Es1 = Ek2 + Ep2 + Es2 + Wf
Für einen freien Fall aus der Ruhe ohne Reibung ergibt das m·g·h = ½·m·v², also v = √(2gh). Die Masse kürzt sich.
Selbsttest Ein Stein wird aus der Ruhe aus 20 m Höhe fallen gelassen. Wie schnell ist er, wenn er den Boden erreicht, ohne Luftwiderstand? (g = 9,81 m/s²)
- 14,0 m/s
- 19,8 m/s
- 196 m/s
- 392 m/s
Antwort: 19,8 m/s. v = √(2 · 9,81 · 20) = √392,4 = 19,8 m/s. 392 m/s vergisst die Wurzel, und 14,0 m/s vergisst den Faktor 2 aus dem ½ in ½·m·v².
4Das Verfahren Schritt für Schritt
- Zeichne die Situation. Markiere den Startpunkt 1 und den Endpunkt 2 und wähle das Nullniveau für die Höhe.
- Schreibe die Energie an Punkt 1 auf: Ek1 = ½·m·v1², Ep1 = m·g·h1, und ½·k·x1², wenn eine Feder zusammengedrückt ist.
- Schreibe die Energie an Punkt 2 genauso auf. Lass die Unbekannte als Symbol stehen.
- Bestimme die Reibungsarbeit. Auf einer Schräge ist die Normalkraft N = m·g·cos θ, also Wf = μ·m·g·cos θ·d, mit d als gerutschter Strecke.
- Setze in die Energiebilanz ein und löse nach der Unbekannten.
Zeichne auch die Kräfte, selbst wenn du nur die Energie verwendest. Die Zeichnung zeigt, welche Kräfte Arbeit verrichten und welche nicht.
Die Normalkraft N steht senkrecht zur Bewegung und verrichtet daher keine Arbeit. Sie ist nur wichtig, weil die Reibung von ihr abhängt.
5Ein durchgerechnetes Beispiel
Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.
Durchgerechnetes BeispielEin 2-kg-Block rutscht aus der Ruhe eine Schräge mit 30° zur Waagerechten hinunter. Der Gleitreibungskoeffizient beträgt 0,2. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme seine Geschwindigkeit, nachdem er 5 m entlang der Schräge gerutscht ist.
1Punkt 1 ist der Start, Punkt 2 liegt 5 m weiter unten an der Schräge. Lege das Nullniveau für die Höhe auf Punkt 2.
2Der Block rutscht 5 m entlang der Schräge, sinkt aber nur um deren senkrechten Anteil:
h = d · sin θ = 5 · sin 30° = 2,5 m
Ep1 = m · g · h = 2 · 9,81 · 2,5 = 49,05 J
3Auf der Schräge ist die Normalkraft kleiner als die Gewichtskraft:
N = m · g · cos θ = 2 · 9,81 · cos 30° = 16,99 N
Wf = μ · N · d = 0,2 · 16,99 · 5 = 16,99 J
4Der Block startet aus der Ruhe, also ist Ek1 = 0. An Punkt 2 ist die Höhe null:
Ep1 = Ek2 + Wf
Ek2 = 49,05 − 16,99 = 32,06 J
5½ · 2 · v² = 32,06
v = √32,06 = 5,66 m/s
6Ohne Reibung würde der Block √(2 · 9,81 · 2,5) = 7,00 m/s erreichen. Reibung muss ihn langsamer machen, und 5,66 m/s ist langsamer. Die Antwort ist plausibel.
Die Masse kürzt sich am Ende: v² = 2·g·d·(sin θ − μ·cos θ) = 32,06, was dieselben 5,66 m/s ergibt.
Antwort Der Block erreicht nach 5 m Rutschen v ≈ 5,66 m/s.
6Häufige Fehler
- Die Gewichtskraft m·g als Normalkraft auf einer Schräge verwenden. Auf einer Schräge ist N = m·g·cos θ.
- Die Strecke entlang der Schräge als Höhe verwenden. Der Höhenverlust ist d·sin θ.
- Die Wurzel am Ende vergessen: ½·m·v² ergibt v², nicht v.
- Die Reibungsarbeit mit dem falschen Vorzeichen zur Endenergie addieren. Reibung entzieht der Bewegung immer Energie.
- Die Energie einer Feder als k·x statt ½·k·x² schreiben oder x in cm lassen.
Selbsttest Ein 1-kg-Block rutscht 2 m eine 30°-Schräge mit μ = 0,5 hinunter. Wie viel Arbeit wird gegen die Reibung verrichtet? (g = 9,81 m/s²)
- 19,6 J
- 4,91 J
- 8,50 J
- 9,81 J
Antwort: 8,50 J. Wf = μ · m · g · cos θ · d = 0,5 · 1 · 9,81 · cos 30° · 2 = 8,50 J. Mit m·g als Normalkraft erhält man 9,81 J, und mit sin θ statt cos θ erhält man 4,91 J.
7So sehen Prüfungsaufgaben aus
- Leicht: freier Fall und andere einzelne Umwandlungen. Ein fallender Ball (v oder Ek bestimmen), ein aus einem Winkel losgelassenes Pendel, ein Block, der auf eine Feder trifft, die Arbeit eines ziehenden Seils oder die Leistung eines Hebezeugs (P = m·g·h / t).
- Mittel: ein Block auf einer Schräge mit Reibung: die Geschwindigkeit nach einer Strecke oder die Arbeit gegen die Reibung bestimmen. Varianten sind ein Auto, das bis zum Stillstand rutscht, ein Federkatapult und die Leistung, die für eine Bergfahrt nötig ist.
- Schwer: mehrere Abschnitte in einer Aufgabe. Zum Beispiel eine glatte Rampe, dann ein rauer Streifen, dann eine Feder: die Geschwindigkeit an der Feder oder die maximale Stauchung bestimmen. Andere kombinieren einen gezogenen Block, eine Schleife oder zwei verbundene Blöcke.
Stelle bei den schweren Aufgaben eine einzige Energiebilanz vom allerersten bis zum allerletzten Punkt auf. Addiere die Reibungsarbeit jedes rauen Abschnitts.
Bei der maximalen Federstauchung bleibt der Block kurz stehen, die gesamte kinetische Energie steckt also in der Feder: ½·m·v² = ½·k·x².
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