Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen
Auch genannt: Carnot-Wirkungsgrad · Leistungszahl · Wärmepumpe
Kostenlose Übungsaufgaben zu Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: erster Hauptsatz eines Zyklus, Carnot-Grenze, Kältemaschinen und Wärmepumpen.
Kostenlose ÜbungsaufgabeLeicht
Eine Wärmepumpe mit einer Leistungszahl von 2,9 gibt 17 kW Wärme an ein Haus ab. Bestimme den Wärmestrom Q̇L, den sie der Außenluft entzieht.
Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen von Grund auf lernen
1Was eine Wärmekraftmaschine ist
Eine Wärmekraftmaschine wandelt Wärme in Arbeit um. Ein Automotor, eine Dampfturbine in einem Kraftwerk und ein Strahltriebwerk sind alle Wärmekraftmaschinen.
Jede Wärmekraftmaschine funktioniert auf dieselbe Weise. Sie nimmt Wärme QH von etwas Heißem auf, wandelt einen Teil davon in Arbeit W um und gibt den Rest QC an etwas Kaltes ab.
Die heißen und kalten Orte heißen Wärmereservoirs: eine Flamme, ein Kessel, die Außenluft, ein Fluss. Sie sind so groß, dass sich ihre Temperaturen nicht ändern.
Eine Maschine arbeitet in einem Kreisprozess: Nach jedem Umlauf ist sie wieder im selben Zustand. Energie kann sich in ihr also nicht anhäufen. Was hineingeht, muss auch wieder herauskommen:
QH = W + QC
Selbsttest Eine Maschine nimmt pro Zyklus 100 kJ Wärme auf und liefert 40 kJ Arbeit. Wie viel Wärme gibt sie ab?
140 kJ
2,5 kJ
40 kJ
60 kJ
Antwort: 60 kJ. Zugeführte Energie ist gleich abgegebener Energie: QC = QH − W = 100 − 40 = 60 kJ. Beim Addieren (140 kJ) wird die Arbeit als Zufuhr gezählt.
2Wirkungsgrad und die Carnot-Grenze
Der thermische Wirkungsgrad ist der Anteil der zugeführten Wärme, der zu Arbeit wird:
η = W / QH = 1 − QC / QH
Keine Maschine kann ihre gesamte Wärme in Arbeit umwandeln. Es muss immer etwas Wärme abgegeben werden. Das ist der zweite Hauptsatz der Thermodynamik.
Die bestmögliche Maschine zwischen zwei Temperaturen ist die ideale Carnot-Maschine. Ihr Wirkungsgrad hängt nur von den Temperaturen der Reservoirs in Kelvin ab:
ηmax = 1 − TC / TH
Rechne immer zuerst in Kelvin um: T(K) = T(°C) + 273,15. Mit °C liefert die Formel Unsinn.
Eine reale Maschine hat immer η < ηmax. Eine Maschine, die mehr als die Carnot-Grenze verspricht, ist unmöglich.
Selbsttest Was ist der höchstmögliche Wirkungsgrad einer Maschine, die zwischen 327 °C und 27 °C arbeitet?
100%
50%
8,3%
91,7%
Antwort: 50%. In Kelvin: 600,15 K und 300,15 K, also ηmax = 1 − 300,15/600,15 = 50 %. Setzt du die °C-Werte in die Formel ein, erhältst du 1 − 27/327 = 91,7 %, was falsch ist.
3Kältemaschinen und Wärmepumpen
Eine Kältemaschine lässt eine Maschine rückwärts laufen. Arbeit W wird zugeführt, und Wärme wird von der kalten Seite auf die heiße Seite gepumpt.
Eine Wärmepumpe ist dieselbe Maschine, die zum Heizen verwendet wird: Sie nimmt Wärme aus der kalten Außenluft auf und gibt sie an ein warmes Haus ab. Die Energiebilanz bleibt QH = W + QC.
Statt eines Wirkungsgrads verwenden wir die Leistungszahl (COP): das, was du haben willst, geteilt durch die Arbeit, die du bezahlst. Sie ist meist größer als 1.
COPR = QC / W COPHP = QH / W = COPR + 1
Die Carnot-Grenzen, wieder mit Temperaturen in Kelvin:
Selbsttest Eine Wärmepumpe liefert 6 kW Wärme an ein Haus und verbraucht dabei 2 kW Strom. Wie viel Wärme nimmt sie aus der Außenluft auf?
12 kW
3 kW
4 kW
8 kW
Antwort: 4 kW. QC = QH − W = 6 − 2 = 4 kW. Ihre Leistungszahl ist 6/2 = 3, also ist 3 kW die Leistungszahl, kein Wärmestrom.
4Das Verfahren Schritt für Schritt
Skizziere das Gerät zwischen seinen beiden Reservoirs und zeichne Pfeile für QH, QC und W ein. Entscheide, ob es eine Wärmekraftmaschine oder eine Kältemaschine / Wärmepumpe ist.
Schreibe die Energiebilanz QH = W + QC auf. Sie gilt für jedes Gerät, ideal oder nicht. Leistungen in kW funktionieren genauso wie Energiemengen in kJ.
Wenn Temperaturen gegeben sind, rechne sie in Kelvin um.
Verwende die richtige Kenngröße: η = W/QH für eine Wärmekraftmaschine, COPR = QC/W für eine Kältemaschine, COPHP = QH/W für eine Wärmepumpe.
Verwende für das bestmögliche Gerät die Carnot-Formel. Dann ergibt sich die unbekannte Wärme oder Arbeit aus der Energiebilanz.
„Meiste Arbeit“, „höchstmöglicher Wirkungsgrad“, „minimale Antriebsleistung“ und „reversibel“ weisen alle auf die Carnot-Grenze hin.
5Ein durchgerechnetes Beispiel
Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.
Durchgerechnetes Beispiel
Eine Wärmekraftmaschine arbeitet zwischen einem heißen Reservoir mit 500 °C und einem kalten Reservoir mit 25 °C. Sie nimmt pro Zyklus 3000 kJ Wärme auf. Bestimme die größtmögliche Arbeit, die sie liefern könnte. Ein Erfinder behauptet 2000 kJ pro Zyklus: Ist das möglich?
1
Die Maschine zeichnen
Die meiste Arbeit liefert eine ideale Carnot-Maschine zwischen denselben beiden Reservoirs.
2
In Kelvin umrechnen
TH = 500 + 273,15 = 773,15 K
TC = 25 + 273,15 = 298,15 K
3
Der Carnot-Wirkungsgrad
ηmax = 1 − 298,15 / 773,15 = 1 − 0,3856 = 0,614
Im besten Fall können 61,4 % der Wärme zu Arbeit werden.
4
Die größtmögliche Arbeit
Wmax = ηmax · QH = 0,6144 · 3000 = 1843 kJ
5
Antwort prüfen
Die ideale Maschine gibt QC = 3000 · 298,15/773,15 = 1157 kJ ab. Dann ist W + QC = 1843 + 1157 = 3000 kJ, was der zugeführten Wärme entspricht.
6
Die Behauptung beurteilen
2000 kJ sind mehr als die 1843 kJ, die selbst eine perfekte Maschine liefern könnte. Die Behauptung verstößt gegen den zweiten Hauptsatz, ist also unmöglich.
Antwort
Wmax ≈ 1843 kJ pro Zyklus (ηmax ≈ 61,4 %), eine Behauptung von 2000 kJ ist also unmöglich.
6Häufige Fehler
Temperaturen in °C in die Carnot-Formeln einsetzen. Verwende immer Kelvin.
Die beiden Leistungszahlen verwechseln. Eine Kältemaschine zählt QC (abgeführte Wärme), eine Wärmepumpe zählt QH (abgegebene Wärme).
Den Carnot-Wirkungsgrad für eine reale Maschine verwenden, wenn die Wärmen gegeben sind. Dann gilt η = W/QH aus den tatsächlichen Zahlen.
Vergessen, dass eine Kältemaschine die Arbeit ebenfalls als Wärme abgibt: QH = QC + W, sodass die Küche mehr Wärme erhält, als der Kühlschrank entzieht.
Einen Wirkungsgrad in einer Rechnung als 61,4 statt als 0,614 schreiben.
Selbsttest Was ist die höchstmögliche Leistungszahl einer Kältemaschine, die ihr Inneres bei 0 °C hält, in einer Küche mit 27 °C?
0,91
0
10,1
11,1
Antwort: 10,1. COPR,max = TC/(TH − TC) = 273,15/27 = 10,1. Setzt du TH in den Zähler, erhältst du den Wärmepumpenwert 11,1, und 0 °C direkt einzusetzen ergibt 0.
7So sehen Prüfungsaufgaben aus
Leicht: der erste Hauptsatz für einen Kreisprozess. Bestimme aus zwei der Größen QH, W und QC die dritte oder den Wirkungsgrad. Varianten verwenden Kraftwerke (MW) sowie Kältemaschinen und Wärmepumpen mit gegebener Leistungszahl.
Mittel: die Carnot-Grenze. Bestimme ηmax oder Wmax aus den Reservoirtemperaturen. Andere fragen nach einem Gütegrad nach dem zweiten Hauptsatz (η/ηmax), der Temperatur des kalten Reservoirs einer reversiblen Maschine oder der abgegebenen Wärme einer reversiblen Kältemaschine.
Schwer: Kältemaschinen und Wärmepumpen an der Carnot-Grenze: Bestimme COPmax oder die minimale Antriebsleistung. Andere verketten zwei Geräte oder fragen nach der Entropie, die eine reale Maschine erzeugt.
Für die minimale Antriebsleistung: zuerst COPmax aus den Temperaturen, dann Wmin = QH/COPHP,max oder QC/COPR,max.
Für die pro Zyklus erzeugte Entropie: Sgen = QC/TC − QH/TH, die null oder positiv sein muss.
Eine Wärmepumpe mit einer Leistungszahl von 5 gibt 4 kW Wärme an ein Haus ab. Bestimme den Wärmestrom Q̇L, den sie der Außenluft entzieht.
COPHP = 5Q̇H = 4 kW
Gesucht: Q̇L(kW)
Tipps anzeigen
Der Nutzen einer Wärmepumpe ist die abgegebene Wärme: COPHP = Q̇H/Ẇ.
Energiebilanz über den Kreisprozess: Q̇L = Q̇H − Ẇ.
Ẇ = 0,8 kW.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.
Aufgenommene Leistung
Ẇ = Q̇H/COP = 4/5 = 0,8 kW
Von außen aufgenommene Wärme
Q̇L = Q̇H − Ẇ = 4 − 0,8 = 3,2 kW
Antwort
Q̇L = 3,2 kW
Beispiel 2Mittel
Eine reversible (Carnot-)Wärmekraftmaschine nimmt pro Zyklus 3100 kJ Wärme aus einem Reservoir mit 625 °C auf und gibt 977 kJ ab. Bestimme die Temperatur TL des kalten Reservoirs in °C.
TH = 625 °CQH = 3100 kJQL = 977 kJ
Gesucht: TL(°C)
Tipps anzeigen
Bei einem reversiblen Kreisprozess stehen die Wärmen im Verhältnis der absoluten Temperaturen: QL/QH = TL/TH.
Verwende absolute Temperaturen: K = °C + 273,15.
TH = 898,1 K.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.
Absolute Temperatur der Quelle
TH = 625 + 273,15 = 898,1 K
Wärmeverhältnis im reversiblen Fall
TL = TH·QL/QH = 898,1·977/3100 = 283,1 K = 9,912 °C
Antwort
TL = 9,912 °C
Beispiel 3Schwer
Eine Wärmepumpe hält ein Haus auf 20 °C, während es draußen 2 °C sind, und liefert 14 kW Wärme an das Haus. Bestimme die minimale Antriebsleistung Ẇmin.
TH = 20 °CTL = 2 °CQ̇H = 14 kW
Gesucht: Ẇmin(kW)
Tipps anzeigen
Die Leistungszahl einer Wärmepumpe ist die abgegebene Wärme geteilt durch die zugeführte Arbeit: COP = QH/W. Die reversible Grenze ist TH/(TH − TL).
Verwende absolute Temperaturen: K = °C + 273,15.
COP = 16,29.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
Grenzen durch den zweiten Hauptsatz: Kein Kreisprozess zwischen Reservoiren mit den absoluten Temperaturen TH und TL kann den reversiblen (Carnot-)Prozess übertreffen: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) und COPHP,max = TH/(TH − TL). Energie bleibt immer erhalten: QH = W + QL.
Die wenigste Arbeit braucht eine reversible Maschine, die die höchste Leistungszahl hat.
Ẇmin = Q̇H/COP = 14/16,29 = 0,8596 kW
Antwort
Ẇmin = 0,8596 kW
Fragen und Antworten
Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen: Worum geht es?
Eine Wärmekraftmaschine wandelt Wärme in Arbeit um. Ein Automotor, eine Dampfturbine in einem Kraftwerk und ein Strahltriebwerk sind alle Wärmekraftmaschinen.
Jede Wärmekraftmaschine funktioniert auf dieselbe Weise. Sie nimmt Wärme QH von etwas Heißem auf, wandelt einen Teil davon in Arbeit W um und gibt den Rest QC an etwas Kaltes ab.
Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen: Wie löst man die Aufgaben Schritt für Schritt?
Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.
Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen: Welche Fehler passieren am häufigsten?
COP = Q<sub>H</sub>/W liefert die Arbeit; die Wärme von außen ist dann Q<sub>L</sub> = QH − W.
Das ist die zugeführte Arbeit. Die Wärme von außen ist Q<sub>L</sub> = Q<sub>H</sub> − W.
Für einen reversiblen Kreisprozess gilt Q<sub>L</sub>/Q<sub>H</sub> = T<sub>L</sub>/T<sub>H</sub> nur mit absoluten Temperaturen. Rechne zuerst in Kelvin um, dann zurück in °C.
Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen: Was wird geübt?
Leicht: erster Hauptsatz eines Zyklus
Mittel: Carnot-Grenze
Schwer: Kältemaschinen und Wärmepumpen
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort. Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
So funktioniert das Üben
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort.
Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
Dein Fortschritt, deine Fehler und gespeicherten Aufgaben bleiben erhalten, damit du vor der Prüfung wiederholen kannst.