Rohrreibung und Verlusthöhe von Grund auf lernen
Davor: Kontinuität und Bernoulli
1Was Druckhöhenverlust ist
Die Bernoulli-Gleichung setzt voraus, dass das Fluid reibungsfrei strömt. In einem realen Rohr reibt das Wasser an der Wand und an sich selbst, und ein Teil seiner Energie wird zu Wärme.
Ingenieure messen diese verlorene Energie als Höhe des Fluids, den Druckhöhenverlust, in Metern. Ein Druckhöhenverlust von 3 m bedeutet, dass das Wasser so viel Energie verloren hat, wie es bräuchte, um 3 m anzusteigen.
Du kannst ihn mit zwei dünnen Röhrchen (Standrohren) an einem waagerechten Rohr sichtbar machen. Das Wasser steigt im stromabwärts gelegenen Röhrchen weniger hoch. Der Unterschied ist der Druckhöhenverlust dazwischen.
Der Druckhöhenverlust ist der Grund, warum lange Rohrleitungen Pumpen brauchen und warum ein Gartenschlauch einen schwächeren Strahl liefert, wenn er sehr lang ist.
Ein Druckhöhenverlust wird mit Δp = ρ · g · hf in einen Druckabfall umgerechnet. Für Wasser entspricht 1 m Druckhöhe etwa 9,81 kPa.
Selbsttest Wasser verliert entlang eines waagerechten Rohrs durch Reibung 2 m Druckhöhe. Wie groß ist der Druckabfall? (ρ = 1000 kg/m³, g = 9,81 m/s²)
- 19,6 kPa
- 196 kPa
- 2 kPa
- 9,81 kPa
Antwort: 19,6 kPa. Δp = ρ · g · hf = 1000 · 9,81 · 2 = 19 620 Pa = 19,6 kPa. Jeder Meter Wassersäule entspricht etwa 9,81 kPa.
2Reynolds-Zahl: laminar oder turbulent
Langsame Strömung in einem dünnen Rohr bewegt sich in glatten Schichten. Das ist laminare Strömung. Schnelle Strömung in einem weiten Rohr wirbelt und vermischt sich. Das ist turbulente Strömung.
Die Reynolds-Zahl sagt dir, welche von beiden vorliegt. Sie vergleicht den Schub des strömenden Fluids mit seiner Zähigkeit (Viskosität):
Re = V · D / ν = ρ · V · D / μ
- V: die mittlere Geschwindigkeit in m/s, V = Q/A.
- D: der Innendurchmesser in m.
- ν: die kinematische Viskosität in m²/s (etwa 1,0 × 10⁻⁶ m²/s für Wasser bei 20 °C), oder μ: die dynamische Viskosität in Pa·s, die zusammen mit der Dichte ρ verwendet wird.
Re hat keine Einheit. Unterhalb von etwa 2000 ist die Strömung laminar. Oberhalb von etwa 4000 ist sie turbulent. Die meisten Wasserleitungen sind turbulent.
Selbsttest Wasser (ν = 1,0 × 10⁻⁶ m²/s) strömt mit 0,5 m/s durch ein Rohr mit einem Innendurchmesser von 20 mm. Wie groß ist die Reynolds-Zahl?
- 0,01
- 10 000 000
- 10 000
- 5000
Antwort: 10 000. Re = 0,5 · 0,020 / 10⁻⁶ = 10 000, also ist die Strömung turbulent. Mit dem Durchmesser in mm erhältst du 10 000 000, mit dem Radius 5000.
3Reibungsverlust und Einzelverluste
Der Reibungsverlust entlang eines geraden Rohrs ergibt sich aus der Darcy-Weisbach-Gleichung:
hf = f · (L / D) · V² / (2g)
Hier ist f die Darcy-Reibungszahl (in der Aufgabe gegeben, typisch 0,015 bis 0,03) und L die Rohrlänge. Der Term V²/(2g) ist die Geschwindigkeitshöhe.
Der Verlust wächst mit dem Quadrat der Geschwindigkeit. Verdoppelst du den Durchfluss durch dasselbe Rohr, wird der Reibungsverlust viermal so groß.
Armaturen wie Krümmer, Ventile, der Einlauf aus einem Behälter und der Auslauf in einen Behälter verursachen zusätzliche Einzelverluste. Jede hat einen Verlustbeiwert K:
hm = ΣK · V² / (2g)
Typische Werte: ein scharfkantiger Einlauf K = 0,5, ein 90°-Krümmer etwa 0,3, der Auslauf in einen Behälter K = 1,0. Der Gesamtverlust ist hL = hf + hm.
Selbsttest Der Durchfluss durch ein Rohr verdoppelt sich. Um welchen Faktor ändert sich der Reibungsdruckhöhenverlust, wenn f gleich bleibt?
- 2
- 4
- 8
- ½
Antwort: 4. Doppelter Durchfluss bedeutet doppelte Geschwindigkeit, und hf hängt von V² ab. Der Verlust wird also 2² = 4-mal so groß.
4Das Verfahren Schritt für Schritt
- Rechne die Einheiten um: Durchmesser in m, Durchflüsse in m³/s (L/s ÷ 1000).
- Bestimme die Fläche A = π·D²/4 und die mittlere Geschwindigkeit V = Q/A.
- Berechne die Geschwindigkeitshöhe V²/(2g). Fast jede Formel in diesem Thema verwendet sie.
- Für den Strömungszustand bestimme Re = V·D/ν. Für den Reibungsverlust hf = f·(L/D)·V²/(2g).
- Addiere die Einzelverluste mit ΣK·V²/(2g). Rechne bei Bedarf mit Δp = ρ·g·h in einen Druckabfall um.
L/D ist oft eine große Zahl (1000 oder mehr). Berechne sie zuerst für sich, damit du siehst, dass sie sinnvoll ist.
5Ein durchgerechnetes Beispiel
Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.
Durchgerechnetes BeispielWasser strömt mit 10 L/s durch ein 200 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 100 mm. Verwende die Darcy-Reibungszahl f = 0,02 und g = 9,81 m/s². Bestimme den Reibungsdruckhöhenverlust und den Druckabfall.
1Q = 10 L/s = 0,010 m³/s und D = 0,100 m.
2A = π · 0,1² / 4 = 0,007854 m²
V = Q / A = 0,010 / 0,007854 = 1,273 m/s
3V² / (2g) = 1,273² / 19,62 = 0,0826 m
L / D = 200 / 0,1 = 2000
4hf = 0,02 · 2000 · 0,0826 = 3,31 m
5Bei einem waagerechten Rohr zeigt sich die verlorene Druckhöhe als Druckabfall:
Δp = 1000 · 9,81 · 3,305 = 32 400 Pa ≈ 32,4 kPa
6Re = 1,273 · 0,1 / 10⁻⁶ ≈ 127 000, also ist die Strömung turbulent, und eine konstante Reibungszahl von 0,02 ist sinnvoll.
Etwa 1,7 m Verlust pro 100 m Rohr ist eine normale Größenordnung für Wasser bei etwa 1 m/s.
Antwort hf ≈ 3,31 m, das entspricht einem Druckabfall von etwa 32,4 kPa.
6Häufige Fehler
- Das 2g oder das Quadrat von V in der Geschwindigkeitshöhe V²/(2g) vergessen.
- Den Durchmesser in mm lassen, wodurch L/D tausendmal zu klein wird.
- Den Durchfluss Q anstelle der Geschwindigkeit V verwenden. Rechne zuerst mit V = Q/A um.
- Den Austrittsverlust (K = 1,0) doppelt zählen: einmal als Einzelverlust und einmal als Geschwindigkeitshöhe eines Strahls in einen Behälter.
- Eine Druckhöhe in Metern angeben, wenn ein Druck gefragt ist, oder umgekehrt.
Selbsttest Wasser strömt mit 1 m/s durch ein 100 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 100 mm und f = 0,02. Wie groß ist der Reibungsdruckhöhenverlust? (g = 9,81 m/s²)
- 0,00102 m
- 1,02 m
- 2,04 m
- 20 m
Antwort: 1,02 m. hf = 0,02 · (100/0,1) · 1²/19,62 = 1,02 m. Die Division durch g statt durch 2g ergibt 2,04 m, das Weglassen von 2g ergibt 20 m, und D in mm ergibt 0,00102 m.
7So sehen Prüfungsaufgaben aus
- Leicht: die Reynolds-Zahl. Bestimme aus der Geschwindigkeit oder dem Durchfluss, dem Durchmesser und der Viskosität (ν, oder ρ und μ) die Zahl Re und gib an, ob die Strömung laminar oder turbulent ist.
- Mittel: Darcy-Weisbach. Bestimme den Reibungsdruckhöhenverlust hf oder den Druckabfall Δp für ein gegebenes Rohr, einen gegebenen Durchfluss und eine gegebene Reibungszahl.
- Schwer: Einzelverluste und Gesamtdruckhöhe. Ein Rohr von einem Speicherbecken mit Einlauf, Krümmern und einem Ventil. Bestimme die für einen Durchfluss nötige Höhe des Speicherbeckens oder den Durchfluss zwischen zwei Speicherbecken.
Bei einem Rohr von einem Speicherbecken, das in einem freien Strahl endet, trägt der Strahl noch seine Geschwindigkeitshöhe: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g).
Zwischen zwei offenen Speicherbecken wird die Höhendifferenz allein durch die Verluste aufgezehrt: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g), wobei der Auslauf mit K = 1,0 in ΣK enthalten ist. Löse nach V auf, dann Q = A·V.
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