Wärmeleitung: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen
Auch genannt: Wärmedurchgang · Wärmedurchgangskoeffizient · U-Wert
Kostenlose Übungsaufgaben zu Wärmeleitung mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: einschichtige Wand, mehrschichtige Wand, Wand mit Konvektion.
Kostenlose ÜbungsaufgabeLeicht
Eine Wand aus expandiertes Polystyrol ist 10 mm dick und hat eine Fläche von 6 m². Ihre Oberflächen haben 24 °C und -11 °C. Bestimme den Wärmestrom Q̇ durch die Wand.
k = 0,035 W/(m·K)L = 10 mmA = 6 m²T1 = 24 °CT2 = -11 °C
Wärme fließt immer von heiß nach kalt. In einem Festkörper wandert sie durch Wärmeleitung: Schnell schwingende Teilchen auf der warmen Seite geben ihre Energie an ihre Nachbarn weiter.
An einem Wintertag verlässt Wärme einen warmen Raum auf diese Weise durch die Wände. Wie viel entweicht, hängt vom Temperaturunterschied, von der Wandfläche, ihrer Dicke und vom Material ab.
Materialien unterscheiden sich enorm. Die Wärmeleitfähigkeitk in W/(m·K) gibt an, wie leicht Wärme hindurchgeht:
Beton: etwa 1,4 W/(m·K). Ziegel: etwa 0,72.
Holz: etwa 0,17.
Mineralwolle: etwa 0,04. Expandiertes Polystyrol: etwa 0,035.
Ein niedriges k bedeutet einen guten Dämmstoff. Deshalb haben Häuser in der Wand eine Schicht aus Wolle oder Schaum.
In diesem Thema ändern sich die Temperaturen nicht mit der Zeit. Das nennt man stationäre Wärmeleitung.
Selbsttest Welche Wand lässt die wenigste Wärme durch, wenn alle 100 mm dick sind?
Beton (k = 1,4)
Holz (k = 0,17)
Mineralwolle (k = 0,04)
Ziegel (k = 0,72)
Antwort: Mineralwolle (k = 0,04). Der Wärmestrom ist proportional zu k. Mineralwolle hat bei Weitem die niedrigste Wärmeleitfähigkeit, dämmt also am besten.
2Fouriersches Gesetz und Wärmewiderstand
Für eine ebene Wand der Dicke L und der Fläche A, deren Oberflächen die Temperaturen T1 und T2 haben, ergibt sich der Wärmestrom in Watt aus dem Fourierschen Gesetz:
Q̇ = k · A · (T1 − T2) / L
Die Temperatur fällt geradlinig durch die Wand ab. Die Wärmestromdichte ist der Wärmestrom pro Quadratmeter: q″ = Q̇ / A, in W/m².
Es hilft, sich die Wand wie in einem Stromkreis als Widerstand vorzustellen. Der Temperaturunterschied treibt die Wärme an, und die Wand setzt ihr einen Widerstand entgegen:
Q̇ = ΔT / R R = L / (k · A)
Der Wärmewiderstand R wird in K/W angegeben. Eine dickere Wand oder ein niedrigeres k ergibt einen höheren Widerstand und weniger Wärmeverlust. Ein Temperaturunterschied in °C hat denselben Zahlenwert in K.
Selbsttest Eine Betonwand (k = 1,4 W/(m·K)) ist 200 mm dick und hat eine Fläche von 10 m². Ihre Oberflächen haben 20 °C und 0 °C. Wie groß ist der Wärmestrom?
0,0007 W
1,4 W
140 W
1400 W
Antwort: 1400 W. Q̇ = 1,4 · 10 · 20 / 0,2 = 1400 W. Mit L = 200 (mm) erhältst du 1,4 W, und ohne die Fläche erhältst du 140 W.
3Wände mit mehreren Schichten
Eine echte Wand hat Schichten: Ziegel, Dämmung, Gipskarton. Dieselbe Wärme geht nacheinander durch jede Schicht, die Schichten sind also in Reihe geschaltete Widerstände. Addiere sie:
Rtotal = R1 + R2 + … Q̇ = (Tin − Tout) / Rtotal
Jede Schicht übernimmt einen Anteil am gesamten Temperaturabfall im Verhältnis zu ihrem Widerstand: ΔT1 = Q̇ · R1. Die Dämmschicht übernimmt den größten Abfall.
Auch die Luft an einer Wand setzt der Wärme einen Widerstand entgegen. Dieser Konvektionswiderstand ist R = 1/(h · A), wobei h der Wärmeübergangskoeffizient in W/(m²·K) ist. Addiere ihn wie eine Schicht in Reihe.
Der U-Wert fasst eine ganze Wand einschließlich der Luftschichten zusammen, als Wärmestrom pro m² und Kelvin:
U = 1 / (Rtotal · A) Q̇ = U · A · ΔT
4Das Verfahren Schritt für Schritt
Zeichne die Wand mit ihren Schichten. Schreibe jede Dicke in Metern und jedes k daneben.
Berechne den Widerstand jeder Schicht: R = L/(k·A). Wenn auf einer Seite Luft ist, addiere für diese Seite R = 1/(h·A).
Addiere alle Widerstände in Reihe.
Bestimme den Wärmestrom: Q̇ = (gesamter Temperaturunterschied) / Rgesamt.
Für eine Temperatur im Inneren der Wand beginnst du bei einer bekannten Temperatur und ziehst für jede durchquerte Schicht Q̇ · R ab.
Eine gute Kontrolle: Die Temperaturabfälle über alle Schichten müssen zusammen den gesamten Temperaturunterschied ergeben.
5Ein durchgerechnetes Beispiel
Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.
Durchgerechnetes Beispiel
Eine Wand besteht aus 200 mm Ziegel (k = 0,72 W/(m·K)) und 50 mm Mineralwolle (k = 0,04 W/(m·K)) bei einer Fläche von 10 m². Die äußeren Oberflächen haben 20 °C und 0 °C. Bestimme den Wärmestrom durch die Wand und die Temperatur an der Grenzfläche zwischen den Schichten.
1
Zeichne die Wand
Die Wärme fließt von der 20-°C-Seite durch den Ziegel, dann durch die Wolle zur 0-°C-Seite.
2
Widerstand jeder Schicht
R1 = 0,200 / (0,72 · 10) = 0,0278 K/W
R2 = 0,050 / (0,04 · 10) = 0,125 K/W
Die dünne Wollschicht setzt viel mehr Widerstand entgegen als der dicke Ziegel.
3
Gesamtwiderstand und Wärmestrom
Rtotal = 0,0278 + 0,125 = 0,1528 K/W
Q̇ = (20 − 0) / 0,1528 = 130,9 W
4
Temperatur an der Grenzfläche
Beginne an der warmen Oberfläche und durchquere den Ziegel:
Ti = 20 − Q̇ · R1 = 20 − 130,9 · 0,0278 = 16,4 °C
5
Antwort prüfen
Der Abfall über die Wolle beträgt 130,9 · 0,125 = 16,4 K, von 16,4 °C hinunter auf 0 °C. Die beiden Abfälle, 3,6 K + 16,4 K, ergeben zusammen die vollen 20 K.
Antwort
Q̇ ≈ 131 W, und die Grenzfläche hat Ti ≈ 16,4 °C.
6Häufige Fehler
Die Dicke in mm lassen. Die k-Werte gelten pro Meter, also muss L in Metern sein.
Die k-Werte zweier Schichten mitteln oder addieren. Addiere stattdessen die Widerstände L/(k·A).
Die Fläche vergessen: R = L/(k·A) gilt für die ganze Wand, R = L/k für einen Quadratmeter.
Bei der Bestimmung einer Grenzflächentemperatur von der falschen Seite beginnen. Die Temperatur fällt immer in Richtung des Wärmestroms.
Die Luftschichten (1/(h·A)) weglassen, wenn Innen- und Außenlufttemperaturen gegeben sind.
Selbsttest Ein Quadratmeter Wand hat 100 mm Mineralwolle (k = 0,04) und 100 mm Ziegel (k = 0,72). Die Oberflächen liegen 20 K auseinander. Wie groß ist der Wärmestrom?
152 W
38 W
7,6 W
8 W
Antwort: 7,6 W. R = 0,1/0,04 + 0,1/0,72 = 2,5 + 0,139 = 2,64 K/W, also Q̇ = 20/2,64 = 7,6 W. Mittelst du k, erhältst du 38 W, und ignorierst du den Ziegel, erhältst du 8 W.
7So sehen Prüfungsaufgaben aus
Leicht: eine einzelne Wand. Bestimme den Wärmestrom Q̇ oder die Wärmestromdichte q″ mit dem Fourierschen Gesetz.
Mittel: eine zusammengesetzte Wand aus zwei Schichten. Bestimme den Wärmestrom oder die Temperatur Ti an der Grenzfläche zwischen den Schichten.
Schwer: eine Wand mit Konvektion auf beiden Seiten, zwischen Raumluft und Außenluft. Bestimme den U-Wert, den Wärmeverlust oder die Temperatur Ts der Innenoberfläche.
Für die Temperatur der Innenoberfläche beginnst du bei der Raumluft und durchquerst nur den inneren Luftfilm: Ts = TRaum − Q̇ / (hi · A).
Beispiel: Die obige Wand mit h = 8 W/(m²·K) innen und 25 W/(m²·K) außen hat Rgesamt = 0,0125 + 0,1528 + 0,004 = 0,1693 K/W, also U = 1/(0,1693 · 10) = 0,59 W/(m²·K).
Eine Wand aus Holz ist 150 mm dick und hat eine Fläche von 6 m². Ihre Oberflächen haben 20 °C und -9 °C. Bestimme den Wärmestrom Q̇ durch die Wand.
k = 0,17 W/(m·K)L = 150 mmA = 6 m²T1 = 20 °CT2 = -9 °C
Gesucht: Q̇(W)
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Fouriersches Gesetz für eine ebene Wand: Q̇ = k·A·ΔT/L.
Rechne die Dicke in Meter um, damit die Einheiten von k passen.
ΔT = 29 K.
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Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Fouriersches Gesetz
ΔT = 20 − (-9) = 29 K
Q̇ = kAΔT/L = 0,17·6·29/(150/1000) = 197,2 W
Antwort
Q̇ = 197,2 W
Beispiel 2Mittel
Eine Wand besteht aus 50 mm Mineralwolle und 50 mm Holz, mit einer Fläche von 12 m². Die Außenflächen haben 25 °C und 5 °C. Bestimme die Temperatur Ti an der Grenzfläche zwischen den beiden Schichten.
L1 = 50 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 25 °CT3 = 5 °C
Gesucht: Ti(°C)
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Jede Schicht ist ein Wärmewiderstand R = L/(kA). In Reihe addieren sie sich.
Durch beide Schichten fließt derselbe Q̇, also Ti = T₁ − Q̇·R₁.
R1 + R2 = 0,1287 K/W.
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Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Schichtwiderstände
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,04·12) = 0,1042 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,17·12) = 0,02451 K/W
Wärmestrom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 20/0,1287 = 155,4 W
Temperatur an der Grenzfläche
Über die erste Schicht fällt die Temperatur um Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 25 − 155,4·0,1042 = 8,81 °C
Antwort
Ti = 8,81 °C
Beispiel 3Schwer
Eine Wand aus 100 mm Mineralwolle und 25 mm Gipskarton trennt einen Raum mit 20 °C von der Außenluft mit -7 °C. Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen 6 W/(m²·K) und außen 20 W/(m²·K), und die Wandfläche beträgt 8 m². Bestimme den Wärmedurchgangskoeffizienten U der Wand.
L1 = 100 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 8 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -7 °C
Gesucht: U(W/(m²·K))
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Addiere vier Widerstände in Reihe: Konvektion innen, zwei leitende Schichten, Konvektion außen.
U ist der Wärmestrom pro Flächeneinheit und Grad: U = 1/(A·ΣR).
ΣR = 0,358 K/W.
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Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Widerstände in Reihe
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·8) = 0,02083 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,04·8) = 0,3125 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,17·8) = 0,01838 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·8) = 0,00625 K/W
ΣR = 0,358 K/W
Wärmedurchgangskoeffizient
U = 1/(A·ΣR) = 1/(8·0,358) = 0,3492 W/(m²·K)
Antwort
U = 0,3492 W/(m²·K)
Fragen und Antworten
Wärmeleitung: Worum geht es?
Wärme fließt immer von heiß nach kalt. In einem Festkörper wandert sie durch Wärmeleitung: Schnell schwingende Teilchen auf der warmen Seite geben ihre Energie an ihre Nachbarn weiter.
An einem Wintertag verlässt Wärme einen warmen Raum auf diese Weise durch die Wände. Wie viel entweicht, hängt vom Temperaturunterschied, von der Wandfläche, ihrer Dicke und vom Material ab.
Wärmeleitung: Wie löst man die Aufgaben Schritt für Schritt?
Wärmewiderstand: Stationärer Wärmestrom durch hintereinanderliegende Schichten verhält sich wie Strom durch Widerstände in Reihe: Q̇ = ΔT/ΣR, mit R = L/(kA) für eine leitende Schicht und R = 1/(hA) für eine Oberfläche mit Konvektion. Der Temperaturabfall über jede Schicht ist proportional zu ihrem Widerstand.
Wärmeleitung: Was wird geübt?
Leicht: einschichtige Wand
Mittel: mehrschichtige Wand
Schwer: Wand mit Konvektion
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort. Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
So funktioniert das Üben
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort.
Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
Dein Fortschritt, deine Fehler und gespeicherten Aufgaben bleiben erhalten, damit du vor der Prüfung wiederholen kannst.