Torsion von Wellen: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen
Auch genannt: Torsionsspannung · Verdrehwinkel
Kostenlose Übungsaufgaben zu Torsion von Wellen mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: Schubspannung, Verdrehwinkel, Leistungsübertragung.
Kostenlose ÜbungsaufgabeLeicht
Eine Vollwelle mit Kreisquerschnitt überträgt ein Drehmoment T. Bestimme die maximale Schubspannung τmax in der Welle.
Eine Welle ist ein rotierender Stab, der eine drehende Wirkung weitergibt: die Antriebswelle eines Autos, die Spindel einer Bohrmaschine, die Achse einer Pumpe.
Die drehende Wirkung ist das Drehmoment T. Es ist eine Kraft mal der Hebelarm, an dem sie angreift, in N·m. Drückst du mit 200 N am Ende eines 0,5 m langen Schraubenschlüssels, ergibt sich T = 200 · 0,5 = 100 N·m.
Eine durch ein Drehmoment belastete Welle ist auf Torsion beansprucht. Sie verdreht sich ein wenig, und ihr Werkstoff trägt eine Schubspannung τ (Tau): Benachbarte Scheiben der Welle versuchen, aneinander vorbeizugleiten.
Zwei Fragen sind bei der Auslegung wichtig: Ist die Schubspannung niedrig genug (Festigkeit), und ist die Verdrehung klein genug (Steifigkeit)?
Selbsttest Du drückst mit 200 N am Ende eines 0,5 m langen Schraubenschlüssels im rechten Winkel. Welches Drehmoment bringst du auf?
100 N·m
200 N·m
400 N·m
50 N·m
Antwort: 100 N·m. T = F·r = 200 · 0,5 = 100 N·m. Die Division durch 0,5 ergibt 400; vergisst man den Hebelarm, erhält man 200.
2Schubspannung und polares Flächenträgheitsmoment
Die Mitte der Welle verformt sich kaum. Je weiter ein Punkt von der Mitte entfernt ist, desto stärker wird er geschert. Die Schubspannung wächst also linear mit dem Radius, von null in der Mitte bis zu ihrem Maximum an der Oberfläche.
τ = T · ρ / J τmax = T · r / J
Hier ist ρ (Rho) der Abstand von der Mitte, r = d/2 der Außenradius und J das polare Flächenträgheitsmoment. J misst, wie gut der Querschnitt dem Verdrehen widersteht:
Für eine Vollwelle mit dem Durchmesser d und für eine Hohlwelle mit dem Außendurchmesser do und dem Innendurchmesser di:
J = π · d⁴ / 32 J = π · (do⁴ − di⁴) / 32
Bei einer Vollwelle lassen sich die beiden Formeln zu einer kurzen zusammenfassen:
τmax = 16 · T / (π · d³)
Arbeite in N·mm und mm, damit die Spannung in N/mm² = MPa herauskommt. 1 N·m = 1000 N·mm.
Selbsttest In einer Vollwelle ist τmax = 60 MPa. Wie groß ist die Schubspannung auf halbem Weg zwischen Mitte und Oberfläche?
0 MPa
15 MPa
30 MPa
60 MPa
Antwort: 30 MPa. Die Spannung wächst linear mit ρ, bei ρ = r/2 ist sie also halb so groß wie τmax: 30 MPa. Sie ist nicht überall gleich und nur in der Mitte null.
3Verdrehwinkel und Leistung
Das freie Ende der Welle dreht sich um den Verdrehwinkel φ (Phi). Eine längere oder dünnere Welle verdreht sich stärker; ein steiferer Werkstoff verdreht sich weniger:
φ = T · L / (G · J)
G ist der Schubmodul des Werkstoffs: etwa 80 GPa für Stahl und 26 GPa für Aluminium. Die Formel liefert φ in Radiant. Multipliziere mit 180/π für Grad.
Wellen übertragen oft die Leistung eines Motors. Leistung ist Drehmoment mal Winkelgeschwindigkeit, wobei die Drehzahl in rpm zuerst in rad/s umgerechnet werden muss:
P = T · ω ω = 2π · N / 60
Eine Aufgabe mit kW und rpm beginnt also mit T = P/ω, wobei P in Watt angegeben ist.
Selbsttest Eine Welle dreht sich mit ω = 100 rad/s und überträgt 5 kW. Welches Drehmoment trägt sie?
0,05 N·m
20 N·m
50 N·m
500 000 N·m
Antwort: 50 N·m. T = P/ω = 5000 W / 100 rad/s = 50 N·m. 0,05 entsteht, wenn man 5 statt 5000 W verwendet; 20 teilt ω durch P.
4Das Verfahren Schritt für Schritt
Sind Leistung und Drehzahl gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment: ω = 2πN/60, dann T = P/ω.
Rechne in N und mm: T in N·mm (N·m × 1000), L in mm, G in MPa (GPa × 1000).
Bestimme J: π·d⁴/32 für eine Vollwelle, π(do⁴ − di⁴)/32 für eine Hohlwelle.
Schubspannung: τmax = T·r/J mit r als äußerem Radius.
Verdrehung: φ = TL/(GJ) in Radiant, dann × 180/π, wenn Grad gefragt sind.
Für eine Auslegungsaufgabe (d gesucht) setze τmax = 16T/(πd³) gleich der zulässigen Spannung und löse nach d auf.
5Ein durchgerechnetes Beispiel
Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.
Durchgerechnetes Beispiel
Eine Vollwelle aus Stahl (G = 80 GPa) mit dem Durchmesser 40 mm und der Länge 1 m ist an einem Ende eingespannt. Am freien Ende wirkt ein Drehmoment von 500 N·m. Bestimme τmax und den Verdrehwinkel φ in Grad.
1
Die Welle betrachten und Einheiten umrechnen
T = 500 N·m = 500 000 N·mm, L = 1000 mm, G = 80 000 MPa, r = 20 mm.
2
Polares Flächenträgheitsmoment
J = π · 40⁴ / 32 = 251 327 mm⁴
3
Maximale Schubspannung
τmax = T · r / J = 500 000 · 20 / 251 327 = 39,8 MPa
Etwas weniger als eineinhalb Grad auf einem Meter Stahlwelle ist eine sinnvolle Größe.
Antwort
τmax = 39,8 MPa und φ = 1,42°.
6Häufige Fehler
Den Durchmesser statt des Radius in τ = T·r/J verwenden. Das verdoppelt die Spannung.
Vergessen, N·m in N·mm umzurechnen, wodurch die Spannung 1000-mal zu klein wird.
rpm direkt in P = T·ω verwenden. Rechne zuerst mit ω = 2πN/60 in rad/s um.
φ in Radiant angeben, wenn Grad gefragt sind, oder umgekehrt.
Bei einer Hohlwelle: die Durchmesser subtrahieren, bevor man sie in die vierte Potenz erhebt. Verwende do⁴ − di⁴.
Selbsttest Eine Hohlwelle mit dem Außendurchmesser 40 mm hat J = 200 000 mm⁴. Sie trägt T = 1000 N·m. Wie groß ist τmax?
0,1 MPa
100 MPa
200 MPa
5 MPa
Antwort: 100 MPa. τ = T·r/J = 1 000 000 · 20 / 200 000 = 100 MPa. Mit r = 40 mm (dem Durchmesser) erhält man 200 MPa; lässt man T in N·m, erhält man 0,1 MPa; vergisst man r, erhält man 5.
7So sehen Prüfungsaufgaben aus
Leicht: Schubspannung. Eine Vollwelle mit dem Durchmesser d trägt T; bestimme τmax. Varianten fragen nach der Spannung bei einem gegebenen Radius oder dem zulässigen Drehmoment.
Mittel: Verdrehwinkel. Dir werden auch L und G gegeben; bestimme φ in Grad. Varianten verwenden eine Hohlwelle oder eine gestufte Welle.
Schwer: Leistungsübertragung. Leistung in kW und Drehzahl in rpm sind gegeben; bestimme das Drehmoment, dann τmax in einer Hohlwelle oder den kleinsten Durchmesser für eine zulässige Spannung.
Schreibe das Drehmoment in N·mm vor allem anderen neben die Aufgabe. Es ist die Zahl, die jeder spätere Schritt verwendet.
Eine Vollwelle mit 40 mm Durchmesser überträgt ein Drehmoment von 750 N·m. Bestimme die Schubspannung τρ im Abstand 15 mm von der Mitte.
T = 750 N·md = 40 mmρ = 15 mm
Gesucht: τρ(MPa)
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Die Schubspannung in einer Kreiswelle ist proportional zum Abstand von der Mitte: τ = T·ρ/J.
Rechne durchgehend in N und mm: T in N·mm, L in mm, G in MPa (GPa × 1000), J in mm⁴.
J = 251327 mm⁴.
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Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τmax = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(do⁴ − di⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.
Polares Flächenträgheitsmoment
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
Schubspannung bei ρ
Zum Vergleich: An der Oberfläche ist τmax = 59,68 MPa.
T = 750 N·m = 750000 N·mm
τρ = T·ρ/J = 750000·15/251327 = 44,76 MPa
Antwort
τρ = 44,76 MPa
Beispiel 2Mittel
Eine Vollwelle aus Messing ist an der Wand eingespannt und wird an ihrem freien Ende durch ein Drehmoment T verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ des freien Endes in Grad.
T = 750 N·md = 40 mmL = 1,5 mG = 39 GPa
Gesucht: φ(°)
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Verwende φ = TL/(GJ); das ergibt Bogenmaß.
Rechne durchgehend in N und mm: T in N·mm, L in mm, G in MPa (GPa × 1000), J in mm⁴.
J = 251327 mm⁴.
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Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τmax = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(do⁴ − di⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.
Polares Flächenträgheitsmoment
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
Verdrehwinkel
φ = TL/(GJ) = 750·1000·1500/(39000·251327) = 0,1148 rad
φ = 0,1148·180/π = 6,576°
Antwort
φ = 6,576°
Beispiel 3Schwer
Eine Vollwelle soll 15 kW bei 1000 U/min übertragen, ohne dass die Schubspannung 75 MPa überschreitet. Bestimme den kleinsten geeigneten Durchmesser d.
P = 15 kWN = 1000 rpmτallow = 75 MPa
Gesucht: d(mm)
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Drehmoment aus der Leistung: T = P/ω mit ω = 2πN/60 in rad/s.
Setze τmax = 16T/(πd³) gleich der zulässigen Spannung und löse nach d auf.
T = 143,2 N·m.
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Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τmax = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(do⁴ − di⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.
Drehmoment
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 15000/104,7 = 143,2 N·m
Durchmesser aus der zulässigen Spannung
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·143239/(π·75)) = 21,35 mm
Antwort
d = 21,35 mm
In der Praxis würdest du auf die nächste Normgröße aufrunden.
Fragen und Antworten
Torsion von Wellen: Worum geht es?
Eine Welle ist ein rotierender Stab, der eine drehende Wirkung weitergibt: die Antriebswelle eines Autos, die Spindel einer Bohrmaschine, die Achse einer Pumpe.
Die drehende Wirkung ist das Drehmoment T. Es ist eine Kraft mal der Hebelarm, an dem sie angreift, in N·m. Drückst du mit 200 N am Ende eines 0,5 m langen Schraubenschlüssels, ergibt sich T = 200 · 0,5 = 100 N·m.
Torsion von Wellen: Wie löst man die Aufgaben Schritt für Schritt?
Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.
Torsion von Wellen: Welche Fehler passieren am häufigsten?
In τ = T·r/J den Durchmesser statt des Radius verwenden.
Vergessen, rpm in rad/s umzurechnen.
Den Verdrehwinkel im Bogenmaß angeben, wenn Grad verlangt sind.
Torsion von Wellen: Was wird geübt?
Leicht: Schubspannung
Mittel: Verdrehwinkel
Schwer: Leistungsübertragung
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort. Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
So funktioniert das Üben
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort.
Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
Dein Fortschritt, deine Fehler und gespeicherten Aufgaben bleiben erhalten, damit du vor der Prüfung wiederholen kannst.